高等数学课堂教学的通俗化.docx

高等数学课堂教学的通俗化郭永发( 青海大学基础部 ,青海 西宁 810016)摘要 :阐述了高等数学的概念 、定理 、公式 、解题等课堂教学各个方面的通俗化问题及目的 ,并列举了课堂教学的实践例子 。关键词 :高等数学 ;课堂教学 ;通俗化中图分类号 :O13文献标识码 :C文章编号 :1006 - 8996 (2004) 06 - 0093 - 05Popularization of cla ssroom teaching in higher mathematicsGuo Yong2fa(Department of Basic Research ,Qinghai University ,Xining 810016 ,China)Abstract :The questions and objectives of popularizing classroom teaching in higher mathematics were ex2 pounded through citing numerous living examples in respects of concepts ,formulas ,solving problemes ,and methods.Key words :higher mathematics ; classroom teaching ;popularization随着高等教育改革的不断深入 ,新世纪人才培养目标的明确定位 ,高等数学的教学改革也逐步深化 。众所周知 ,课堂教学的改革是高等数学教学改革的主要内容之一 ,也是核心内容之一 ,其改革关键 :概念如何引入及概念所隐含的实际背景如何切入 ; 概念的文字说明如何抽象为概念的数学符号表 达 ; 概念所生成的属性如有关性质和数学公式的恰当表示 ; 概念的扩展属性如定理等的讲授方式的 确定 ; 概念的属性检验过程的有效说明 (主要指实例计算) 。这五个方面的课堂教学都存在一个“知识流”的传授方式问题 ,如何才能达到知识点的有效传递 、 “知识流”的正确走向 ,如何才能发挥传递的最大效益 ,笔者在课题“欠发达地区高等数学模块教学的研究和实践”中曾对此进行了课堂教学实践 ,用了各种教学方法1 ,虽然取得了一定成效 ,但总不尽如人 意 。在以后的教学中大胆采取概念通俗化处理 ,并作为上述课题研究的一个内容连续进行了多次课堂实践后 ,教学效果明显提高 。数学课堂教学通俗化的对象及意义通俗化 ,是指适合人的水平和需要 ,人们容易理解和接受的行为 。数学课堂教学的通俗化问题就是 针对学生的认知水平和可接受程度 ,适当处理教材中的数学概念 、数学定理和数学解题 ,使学生达到易 接受的教学行为 。111数学课堂教学通俗化的对象和目的数学课堂教学通俗化的对象主要包括 : 数学概念的通俗化 、 数学定理和公式的通俗化 、数学问题求解过程的通俗化 。课堂教学中概念的通俗化 ,试图从根本上实现 抽象 - 具体 - 抽象的认知过程 ,克服数学概念的高度抽象性所带来的理解上的困难 ,使学生对数学概念 各层面的认识可以通过在生活中已掌握的实形物体的常识来完成 ,在某种意义上 ,达到从感性认识到理 性认识的飞跃 。同时 ,概念通俗化也考虑到学生的认知水平 ,淡化“严格”的数学语言 ,消除数学上的“之 乎者也”。定理和公式在高等数学教学中所占比例较大 ,这部分也是学生最感到头疼的地方 。将它们适1收稿日期 :2003 - 09 - 24作者简介 :郭永发(1964 ) ,男 ,青海湟中人 ,教授。研究方向 :数学教育。青海大学学报第 22 卷94度通俗化处理 ,其目的在于 : 力争符合学习心理学概况迁移理论 。迁移理论的关键是将抽象层次的数学模型 (如定理和公式等) 与模型的原形 (客观世界中的物体) 两者的共同原理概括出来 。 尽量遵循学 生认知的“序”的规律 。即从具体到抽象 、感性到理性 、已知到未知 、局部到整体 、异化到同化和现象到本 质的认知规律 。 增强数学的诠释能力 。通过对具体事物的认识 ,学生在学习时更易得到生活原形的 启发 ,凭借已知感性材料和理性知识对认知对象形成一个初步印象 ,类比联想 ,从而到达对定理和公式的理解和诠释 。 激发学生学习兴趣 ,增强记忆效果 ,加大理解力度 。“不理解的记忆 ,三个月后一定会 遗忘”。实行解题过程的通俗化 ,其主要目的 :把抽象的数学题解思想与现实生活中的某种具有相似思 想的事件类比 ,深化对解题方法和理论的理解 。112 数学课堂教学通俗化的意义 数学课堂教学的通俗化 ,其意义体现在以下四个方面 :(1) 符合数学教育教学心理学的规律 。根据数学教学的心理学 ,学生在学习数学过程中 ,有其自身 的心理特点 ,例如题的解答历程 、应用题的文字叙述向数学语言的转译等 ,学生在不同年龄 、不同年级学 习数学的能力不同 。数学教学与学生的心理发展有直接的关系 ,数学教育心理学研究表明 :数学教学中 有一些行之有效 、具有心理学意义的方法 ,如应用词对直观图像的调节作用 ;充分发挥表象作用 ;对比相 似材料 ,培养分化能力 ;通俗化的实质也在于此 。(2) 符合学生的认知结构 。认知结构论认为 ,学生在掌握知识 、认识客观事物的过程中 ,头脑中已 经形成了知识经验系统 。人的认识活动是以一定的阶段顺序形成和发展的 ,美国学者奥苏伯尔2 阐述 了认知结构与课堂学习的关系 ,他认为已有的认知结构对新的学习材料直接作用 ,新的学习材料与已有 的观念体系之间的可辨别程度直接影响学习效果 。笔者认为课堂教学的通俗化处理在一定程度上可使 这种辨别程度提高 。(3) 符合学习的可接受性原则 。可接受性原则也成为量力性原则 ,是教学原则之一 。指教学建立 在学生通过一定的努力可能达到的知识水平与智力发展水平上 ,并据此确定知识的广度和难度 。中国 古代的学记中明确指出“: 语之而不知 ,虽舍之可也”。捷克教育家跨美涅斯提出 “: 教给学生的知识 , 必须是青年人的年龄和心理力量所许可的”。数学的抽象性特点 ,使学生在学习过程中产生了一定的理 解难度 ,也可能超出了可接受的限度 。所以通俗化教学的目的就是在一定的程度上 ,教师所传授的知识 尽可能满足学生的可接受性 。(4) 充分体现奥苏伯尔2 的“有意义学习 ( meaningful learning) ”和维特洛克的“生成学习 ( generative learning) ”的思想 。“有意义学习”强调学习者积极建立新旧概念之间的联系 ,找出它们之间的异同 ,从而 获得新的意义 。“生成学习”强调学习过程 ,即学习者原有的认知结构与从环境中接受的感觉信息间的 相互作用 ,主动建构信息意义的生成过程 。人们对所学习的事物产生某种意义时 ,总是与先前经验相结 合 ,对已有的信息进行对照 ,检验新信息的意义是否建构成功 ,若建构成功 ,就达到了对新信息意义的理解 。通俗化是一种比较 ,是一种“喻”,通过通俗化 ,为新旧对象之间建立必要的相似 ,从而达到对新对象 理解的目的 。通过课堂教学的通俗化 ,不仅克服了数学概念的抽象化所带来的困惑 ,而且实现了数学语言的生活 化 ,学生对数学的理解更加贴近他们所积累的对实际有形物的认识 ,符合人的认知发展规律 ,使学生真 正感觉到数学不再抽象 ,不再难懂 。2 数学课堂教学通俗化的实践211 概念的通俗化例 1 函数概念 。一般在函数定义教学中 ,大多数教师首先给出变量的定义 : y = f ( x ) , x D , 随之 是定义域 、值域及性质和表示等 , 学生对函数的两个变量之间的关系理解不够 , 因为函数关系在某种程度上表现为隐形 、具有一定的抽象性 , 学生往往有雾里观花的感觉 , 造成概念传授上的迷惑 。对此进行 如下的通俗化处理 。以加工厂的简单生产流程图为例 :第 6 期郭永发: 高等数学课堂教学的通俗化95说明 :函数中的自变量 x , 作为原材料输入 , 因变量 y , 作为成品输出 , 则加工厂的功能就是 f , 相当于函数的对应法则 。由此围绕加 工厂的许多话题 , 可以将函数的有关定界说得清清楚楚 。下面仅举 几则 : 原材料选取不当 , 则成品不纯 = 函数有定义域和值域 , 两 者都有一定的范围 。 非属原材料者 , 加工出非需成品 = 函数要 求分母非 0 ; 根式非负 ; 对数其真数为正 。 一种原材料 , 可以加工出 一种成品 , 也可以加工出多种成品 = 函数有单值函数 , 也有多值函 数 。图 1 函数概念的理解例 2周期函数的概念。对一个函数 f ( x) , 如果存在一个正数 T , 使得 f ( x + T) = f ( x) , 则称 f ( x )为周期函数 , 并且 T 为 f ( x) 的一个周期 。笔者借助生活中的“一星期 7 天”的常识将周期函数进行了通俗解释 :f ( x) f ( x + 7) f ( x + 2 7)星期一星期一星期一f ( x) = 星期一; 则 f ( x + 7) = f ( x + 2 7) = 星期一。例 3 一元函数的连续性概念。旨在讨论函数 y = f ( x) 在 x = x0 的连续性 , 一般要解决两个问题 : 一是说明函数在 x = x0 连续的含义 ; 二是介绍何为间断点 。从数学理论方面探讨这个问题 , 学生理解上 存在困难 , 它涉及极限 ( 左右极限) 、函数值等概念 , 进行通俗化处理 :室外有一根晾衣服的铁丝 , 如下简 图所示 :图 2 函数连续性的概念说明 :图 2 中的三个图形分别表示一根铁丝的三种不同的状况 , 图 2 (a) 表示铁丝是光滑的 , 上面的 小环能够顺利地从一端滑到另一端 ; 图 2 ( b) 表示铁丝中间有一处断开 , 小环无法通过; 图 2 ( c) 表示铁丝 中间有一处打了结 , 同样其上的小环也无法通过 。利用上面的这种情况 , 可以实现函数连续性概念的通 俗化 , 下面列举几则通俗化过程 :y = f ( x) 表示铁丝曲线 , 其上的小环若从一端滑到另一端 ( 假如在滑行过程中小环始终保持与铁 丝有接触点) , 就认为函数在其上的任意点处处连续 , 图 2 ( a) 。 如果小环滑不过去 , 则铁丝中间可能 发生问题 , 如中间断开 , 图 2 ( b) , 或中间某处打了结 , 图 2 ( c) , 这两种情况 , 我们都认为函数在此处不连 续 ( 或称为间断) 。间断的情况下 , 一般有两种类型 , 一是比较严重的 , 图 2 ( b) , 称为第二类间断点 ; 二 是可以“原谅的”, 称为第一类间断点 , 图 2 (c) 。2. 2定理和公式的通俗化例 4夹逼定理的通俗化。夹逼定理 :设Lim g ( x ) = Lim h ( x ) = A , 且在点 x0 的某一个去心邻域里x x0x x0青海大学学报第 22 卷96有 g ( x) f ( x) h ( x) , 则Limf ( x) = A 。x x0夹逼定理的实质就是通过 g ( x) , h ( x) 向 A 逐步逼近 , 迫使 f ( x ) 不得不向 A 逐步逼近 。笔者在课堂教学中采取了如下的通俗化处理 : 将 A , g ( x) , h ( x) 和 f ( x) 分别标注在一个数轴上 , 并根据大小关 系顺次排列 。 将 g ( x) , h ( x) 和 f ( x) 拟人化 , 分别表示三个人 。 将 A 比喻成一面红旗 。 则Lim gx x0( x) = Lim h ( x) = A 对应的解释为 : g ( x) , h ( x) 二人同时奔向红旗 , 力争先拿到 ; 其结论Limf ( x ) = A则顺理成章地解释为 :加在二人之间的此人必然被挤向红旗 。例 5零点定理的通俗化。零点定理 :设函数 y = f ( x) 在区间 a , b 上连续 , 且 f ( a) f ( b) 0 , 则一 定存在 x0 a , b , 使得 f ( x0) = 0 。笔者曾多次在课堂教学中采取不同的方法进行讲授 , 但效果总不理想 , 迫不得已 , 采取通俗化处理 ,请看下图 :x x0x x0图 3 零点定理的解释说明 :对一个在区间 a , b 上连续的函数 y = f ( x ) , 如 f ( a) f ( b) 0 ,则 A B 。三个和尚没水吃 ,J 0 ,则 A B 。( 7) 存在一个 , 任意一个 公共汽车上有人丢了钱包 , 则一定有人偷了钱包 , A 表示乘客的集合 ,其元素为 x , 则存在 x0 A , x0 存在 , 不知是那一个 , 决不是 A 中的任意一个 。(8) 任给一个 , 必存在 用 A 表示已婚男人的集合 , B 表示已婚女人的集合 , 则对任给一个 x A , 必存在 y B , ( x , y) 表示夫妻关系 。3结语数学课堂教学的通俗化不仅克服了数学概念的抽象性给学习者所带来的困惑 ,而且实现了数学语 言的生活化 、数学概念的形象化 。学生对数学的理解更加贴近他们所积累的