等比数列求和.ppt

2 5等比数列的前n项和 第一课时 问题提出 1 等比数列的内涵特征是什么 如何用递推公式描述 从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 或an 1 an 1 an2 n 2 2 等比数列的通项公式是什么 3 在等比数列 an 中的条件是什么 特别地 a1 an可以等于什么 m n p q a1 an a2 an 1 a3 an 2 4 国际象棋起源于古代印度 据传 国王要奖赏国际象棋的发明者 问他有什么要求 发明者说 请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒 在第2个格子里放上2颗麦粒 在第3个格子里放上4颗麦粒 在第4个格子里放上8颗麦粒 依次类推 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍 直到第64个格子 这是一个什么数学问题 国王能满足他的要求吗 等比数列的求和公式 知识探究 一 求和公式的推导 思考1 设S64 1 2 4 8 263 那么2S64的表达式如何 思考2 S64与2S64的表达式中有许多相同项 你有什么办法消去这些相同项 所得结论如何 思考3 上述算法实际上解决了求等比数列1 2 4 8 2n 1 前64项的和 利用这个算法 1 2 4 8 2n 1等于什么 思考4 上述算法叫做错位相减法 一般地 设等比数列 an 的公比为q 前n项和为Sn 利用错位相减法如何求Sn 所得结果如何 思考5 就是等比数列的前n项和公式 这个公式的使用条件是什么 思考6 当q 1时 如何求Sn q 1 知识探究 二 求和公式的变通 思考1 当q 1和q 1时 分别使用哪个公式更方便 思考2 当公比q 1时 结合等比数列通项公式 Sn可变形为什么 思考3 根据等比数列的定义 有 结合等比定理可以得到什么结论 思考4 等比数列的通项公式可变形为据此 等于什么 思考5 等比数列有5个相关量 即a1 an Sn q n 已知其中几个量的值就可以确定其它量的值 理论迁移 例1求下列等比数列的前8项的和 例2某商场今年销售计算机5000台 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10 那么从今年起 大约几年可使总销售量达到30000台 结果保留到个位 小结作业 1 错位相减法 不仅可以推导等比数列求和公式 而且可以用来求一类特殊数列的和 3 利用方程思想和等比数列前n项和公式 可以求等比数列的首项 公比和项数 作业 P58练习 1 2 3P61习题2 5A组 1 第二课时 2 5等比数列的前n项和 问题提出 1 等比数列的递推公式是什么 或an 1 an 1 an2 n 2 2 等比数列的通项公式是什么 3 等比数列前n项和的两个基本公式是什么 4 根据等差数列的定义 通项公式及前n项和公式 我们发掘出了等差数列的一系列性质 对于等比数列 我们也可以作些相应探究 等比数列前n项和的性质 探究 一 等比数列与前n项和的关系 思考1 的一般形式为 如果数列 an 的前n项和 那么数列 an 是等比数列吗 an 是等比数列 思考2 的一般形式为 如果数列 an 的前n和 那么数列 an 是等比数列吗 an 是等比数列 思考3 设数列 an 的前n项和为Sn 若数列 Sn 是公比不为1的等比数列 那么数列 an 是等比数列吗 不是 探究 二 等比数列前n项和的性质 思考1 设等比数列 an 的公比为q 那么Sn 1与Sn之间有什么关系 思考2 将Sn 1 Sn an 1代入上式可得什么结论 Sn 1 a1 qSn 思考3 在等比数列 an 中 Sn S2n S3n三者之间有什么关系 S2n Sn 2 S3n S2n Sn 理论迁移 例1已知数列 an 的前n项若数列 an 为等比数列 求实数a的值 例2已知数列 an 满足Sn 4an 2 求数列 an 的通项公式 例3在等比数列 an 中 已知Sn 10 S2n 30 求S3n的值 例4设等比数列 an 的各项都是正数 比较SnSn 2与 Sn 1 2的大小 S3n 70 小结作业 1 以等比数列前n项和为背景可引发出某些性质 作为研究性学习 其结论不要求记忆 但要了解探究这些性质的数学思想 方法和技巧 并在解题中灵活运用 2 等比数列的定义 通项公式 求和公式是等比数列的基本知识点 适当了解等比数列的一些基本性质 会给解题带来一定的帮助 3 对于与等比数列前n项和有关的问题 不一定要用求和公式进行运算或变形 有时作非公式化处理更简单 作业 P61习题2 5A组 2 3 6 2 5等比数列的前n项和 第三课时 1 等差数列的前n项和公式是什么 2 等比数列的前n项和公式是什么 当q 1时 Sn na1 当q 1时 问题提出 3 对于等差 等比数列的求和问题 可直接套公式求解 对于某些非等差 等比数列的求和问题 我们希望有一些求和的方法 这又是一个需要探究的课题 特殊数列的求和 知识探究 一 特殊数列的求和方法 思考2 上述求和方法叫做分组求和法 一般地 什么类型的数列可用分组求和法求和 思考1 如何求数列的各项之和 其和为多少 由几个等差 等比数列合成的数列 思考3 如何求数列的各项之和 其和为多少 思考4 上述求和方法叫做裂项求和法 一般地 什么类型的数列可用裂项求和法求和 每一项都能拆分为两项的差 累加后能抵消若干项 思考5 如何求数列2 4a 6a2 2nan 1 a 0 的各项之和 其和为多少 思考6 上述求和方法叫做错位相减法 一般地 什么类型的数列可用错位相减法求和 由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积组成的数列 当a 1时 当a 1时 知识探究 二 特殊数列的求和技巧 思考2 如何求数列12 22 32 n2的各项之和 其和为多少 思考1 如何求数列4 44 444 的各项之和 其和为多少 例1求数列的各项之和 首项为 理论迁移 例2求数列 1 3 5 7 1 n 2n 1 的各项之和 1 n n 小结作业 1 特殊数列的求和问题是建