第5章 控制系统的频域分析.ppt

第5章控制系统的频域分析 5 1频率特性的基本概念5 2典型环节的频率特性5 3系统开环频率特性的绘制5 4奈奎斯特稳定判据5 5稳定裕度 主要内容 5 1频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应 它是系统 或元件 对不同频率正弦输入信号的响应特性 输出的振幅和相位一般均不同于输入量 且随着输入信号频率的变化而变化 红色 输入信号 蓝色 动态响应 黑色 稳态响应 u t y t yss t 红色 输入信号 蓝色 动态响应 黑色 稳态响应 u t y t yss t 频率特性是类似于传递函数的另一种系统模型表示方式 它定义为 系统输出量y t 的傅立叶变换与输入量u t 的傅立叶变换之比 即 从上图可见 其定义与传递函数非常类似 下面研究两者的关系 设f t 为单边函数 即当t 0时 f t 0 根据定义 f t 的傅立叶变换为 5 1 1频率特性的定义 图5 1频率特性数学模型 比较 根据 得出 显然有 结论 当传递函数中的复变量s用j 代替时 传递函数就转变为频率特性 反之亦然 而f t 的拉氏变换为 到目前为止 我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种 微分方程 传递函数和频率特性 它们之间的关系如下 图5 2各种数学模型之间的关系 频率特性的物理意义 即频率特性的幅值等于输出正弦与输入正弦信号的幅值之比 频率特性的相角等于输出正弦与输入正弦的相位差 通常称A 为幅频特性 为相频特性 5 1 2频率特性的几何表示方法 3 对数幅相频率特性图 也称尼柯尔斯 Nichols 图 它是以相位 为横坐标 以20lgA 为纵坐标 以 为参变量的一种图示法 工程上常用图形来表示频率特性 常用的有 1 极坐标图 也称奈奎斯特 Nyquist 图 是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标 以其虚部为纵坐标 以 为参变量的幅值与相位的图解表示法 2 对数坐标图 也称伯德 Bode 图 它是由两张图组成 以lg 为横坐标 对数分度 分别以20lgA 和 作纵坐标的一种图示法 1 极坐标频率特性曲线 又称奈魁斯特曲线 它是在复平面上用一条曲线表示 由0 时的频率特性 即用矢量G j 的端点轨迹形成的图形 是参变量 在曲线的上的任意一点可以确定实频 虚频 幅频和相频特性 由于 G j 是偶函数 所以当 从 0和0 变化时 奈魁斯特曲线对称于实轴 根据上面的说明 可知 频率特性曲线是S平面上变量s沿正虚轴变化时在G s 平面上的映射 图5 3极坐标频率特性曲线 2 对数频率特性曲线 又称波德图 它由两条曲线组成 幅频特性曲线和相频特性曲线 波德图坐标 横坐标是频率 纵坐标是幅值和相角 的分度 横坐标分度 它是以频率 的对数值lg 进行分度的 所以横坐标 称为频率轴 上每一线性单位表示频率的十倍变化 称为十倍频程 或十倍频 用Dec表示 如下图所示 由于 以对数分度 所以零频率线在 处 图5 4 的对数坐标 纵坐标分度 幅频特性曲线的纵坐标是以lgA 或20lgA 表示 其单位分别为贝尔 Bl 和分贝 dB 直接将lgA 或20lgA 值标注在纵坐标上 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上 使用同一个横坐标 频率轴 当幅频特性值用分贝值表示时 通常将它称为增益 幅值和增益的关系为 增益 20lg 幅值 使用波特图描述频率特性的优点 可以展宽频带 频率是以10倍频表示的 因此可以清楚的表示出低频 中频和高频段的幅频和相频特性 可以将乘法运算转化为加法运算 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线 渐近线 近似表示 对实验所得的频率特性用对数坐标表示 并用分段直线近似的方法 可以很容易的写出它的频率特性表达式 频率特性为 K 5 2 1比例环节的频率特性 幅频特性为 比例环节的幅相频率特性 极坐标图 为实轴上的一个定点 其坐标为 K j0 如图5 5所示 5 2典型环节的频率特性 1 幅相频率特性 极坐标图 比例环节的传递函数为 相频特性为 图5 5比例环节的极坐标图 相频特性为 比例环节的对数幅频特性为 比例环节的对数幅频特性是一条水平线 分贝值为20lgK 对数相频特性是一条与0o线相重合的直线 图5 6比例环节的伯德图 2 对数频率特性 伯德图 积分环节的极坐标图为负虚轴 频率 从0 特性曲线由虚轴的 趋向原点 5 2 2积分环节的频率特性 1 幅相频率特性 极坐标图 频率特性为 幅频特性为 积分环节的传递函数为 相频特性为 图5 7积分环节的极坐标图 积分环节的对数幅频特性为过横轴 1处斜率为 20dB dec的直线 对数相频特性与 无关 其值垣为 90o 积分环节的频率特性如图5 8所示 当有两个积分环节时可见斜率为 40dB dec 2 对数频率特性 伯德图 相频特性为 积分环节的对数幅频特性为 图5 8积分环节的伯德图 微分环节的极坐标图为正虚轴 频率 从0 特性曲线由原点趋向虚轴的 5 2 3纯微分环节的频率特性 1 幅相频率特性 极坐标图 频率特性为 幅频特性为 积分环节的传递函数为 相频特性为 图5 9纯微分环节的极坐标图 2 对数频率特性 伯德图 相频特性为 纯微分环节的对数幅频特性为 纯微分环节的对数幅频特性为过横轴 1处斜率为20dB dec的直线 对数相频特性与 无关 其值垣为90o 纯微分环节的频率特性如图5 10所示 与积分环节的频率特性正好相反 图5 10纯微分环节的伯德图 5 2 4惯性环节的频率特性 1 幅相频率特性 极坐标图 频率特性为 幅频特性为 惯性环节的传递函数为 相频特性为 可以证明极坐标图是一个圆 对称于实轴 证明如下 整理得 惯性环节的幅相频率特性曲线为圆 圆心是 1 2 j0 半径为R 1 2 下半个圆对应于正频率部分 而上半个圆对应于负频率部分 把频率特性分解为实部和虚部 即 图5 11惯性环节的极坐标图 在低频时 即 低频时对数幅值曲线是一条0分贝的直线 称低频渐近线 注意 惯性环节的对数幅频特性的渐近线与精确曲线之间存在误差 图5 12表示了一阶惯性环节的精确对数幅频特性曲线及渐近线 以及精确 Exactcurve 的相角曲线 见下页 在高频时 即 高频时对数幅频值曲线是一条斜率为 20分贝 dec的直线 称高频渐近线 5 29 2 对数频率特性 伯德图 1 惯性环节的对数幅频特性为 低频高频渐近线的交点 称为转折频率或交接频率 图中 红 绿线分别是低频 高频渐近线 蓝线是实际曲线 图5 12一阶惯性环节的对数频率特性 渐近线和精确曲线 精确曲线 2 惯性环节的相频特性为 作图时先用计算器计算几个特殊点 由图不难看出相频特性曲线在对数坐标系中对于 0 45 点是斜对称的 这是对数相频特性的一个特点 当时间常数T变化时 对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变 仅仅是根据转折频率1 T的大小整条曲线向左或向右平移即可 而当增益改变时 相频特性不变 幅频特性上下平移 5 30 5 2 5一阶微分环节的频率特性 1 幅相频率特性 极坐标图 频率特性为 惯性环节的传递函数为 幅频特性为 相频特性为 一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线 频率w从0 特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位 图5 13一阶微分环节的极坐标图 1 前面讲到惯性环节的对数幅频特性的渐近线是由一条0dB的低频渐近线和一条斜率为 20分贝 dec的高频渐近线组成 由式可以看出 一阶微分环节与惯性环节的对数频率特性只差一个符号 也就是说 一阶微分环节的对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性分别对称于0dB线和0o线 5 35 2 对数频率特性 伯德图 一阶微分性环节的对数幅频特性和对数相频特性分别为 5 36 与惯性性环节的对数幅频特性和对数相频特性的表达式比较 5 29 5 30 一阶微分环节的精确对数频率特性曲线见图5 14 下页 图5 14一阶微分环节的对数频率特性 图5 12一阶惯性环节的对数频率特性 5 2 6振荡环节 或二阶惯性环节 的频率特性 1 幅相频率特性 极坐标图 频率特性为 幅频特性为 振荡环节的传递函数为 相频特性为 振荡环节的幅相频率特性曲线起始于 1 j0 点 终止于 0 j0 曲线与负载实轴交点坐标为 0 j 2 此时的振荡频率为无阻尼自然振荡频率 n 由图5 15可以看出 无论是欠阻尼还是过阻尼系统 其图形的基本形状是相同的 当过阻尼时 阻尼系数越大其图形越接近圆 图5 15振荡环节的极坐标图 在低频段 振荡环节的对数幅频曲线是一条近似0dB的直线 此水平线即为对数幅频特性曲线的低频渐近线 在高频段 对数幅频曲线是一条斜率为 40 dB dec 与横轴交于 n的斜线 此斜线即为对数幅频特性曲线的高频渐近线 5 41 2 对数频率特性 伯德图 振荡环节的对数幅频特性为 低频 高频渐近线的交点 称为转折频率或交接频率 振荡环节对数相频特性为 渐近线 振荡环节的对数幅频特性的渐近线如图所示 对数幅频特性的精确曲线与 之间的关系如图所示 振荡环节的对数幅频特性的渐近线如图所示 对数幅频特性的精确曲线与 之间的关系如图所示 振荡环节的对数幅频特性的渐近线如图所示 对数幅频特性的精确曲线与 之间的关系如图所示 振荡环节的对数幅频特性的渐近线如图所示 对数幅频特性的精确曲线与 之间的关系如图所示 振荡环节的对数幅频特性的渐近线如图所示 对数幅频特性的精确曲线与 之间的关系如图所示 振荡环节的对数幅频特性的渐近线如图所示 对数幅频特性的精确曲线与 之间的关系如图所示 图5 16振荡环节的对数幅频特性曲线 振荡环节的对数幅频特性的渐近线如图所示 对数幅频特性的精确曲线与 之间的关系如图所示 仿真 相频特性与 关系 相频特性与 关系 相频特性与 关系 相频特性与 关系 相频特性与 关系 图5 17振荡环节的对数相频特性曲线 相频特性与 关系 5 2 7二阶微分环节的频率特性 1 幅相频率特性 极坐标图 频率特性为 幅频特性为 振荡环节的传递函数为 相频特性为 二阶微分环节的幅相频率特性曲线起始于 1 j0 点 终止于 j 曲线与负载实轴交点坐标为 0 j2 此时的振荡频率为无阻尼自然振荡频率 n 图5 18二阶微分环节的极坐标图 在低频段 二阶微分环节的对数幅频曲线是一条近似0dB的直线 此水平线即为对数幅频特性曲线的低频渐近线 在高频段 对数幅频曲线是一条斜率为40 dB dec 与横轴交于 n的斜线 此斜线即为对数幅频特性曲线的高频渐近线 5 47 2 对数频率特性 伯德图 二阶微分环节的对数幅频特性为 低频 高频渐近线的交点 称为转折频率或交接频率 二阶微分环节对数相频特性为 图5 19二阶微分环节的对数频率特性曲线 延时环节的极坐标图是一个圆心在原点 半径为1的圆 延迟环节的奈氏图 5 2 8延时环节的频率特性 1 幅相频率特性 极坐标图 输出量y t 完全复现输入量x t 但比输入量x t 滞后一个固定时间 即 频率特性为 幅频特性为 延时环节的传递函数为 相频特性为 图5 20延时环节的极坐标图 2 对数频率特性 伯德图 延时环节的对数幅频和相频特性分别为 延时环节的对数频率特性曲线见图5 21所示 其对数幅频特性是一条0dB直线 其对数相频特性随 增加而滞后增加 当 1 时 图5 21延时环节的对数频率特性 5 3系统开环频率特性的绘制 任何复杂的开环系统都是由若干典型环节构成 故开环传递函数可表示成 这里不包括延时环节 5 56 1 幅相频率特性 极坐标图 频率特性为 5 57 开环系统幅相频率特性图 极坐标图 的绘制方法 1 找出起点 对于0型 v 0 系统幅相频率特性的起点为 K j0 对于1型 v 1 幅相频率特性的起点为 90o的无穷远 对于2型 v 2 幅相频率特性的起点为 180o的无穷远 在低频段由上式可知 当 0时 有 2 找出终点 在高频段由上式可知 当 时 因为n m 即曲线以 n m 2的角度终于坐标原点 如下图所示 5 59 5 58 低频段频率特性 高频段频率特性 下图为0型 型和 型系统在低频和高频段频率特性示意图 图5 22不同类型系统的幅相频率特性的起点与终点示意图 至于中频部分 可计算一些特殊点的来确定 如与实轴 横坐标 虚轴 纵坐标 的交点等 例5 1 已知某单位反馈系统 其开环传递函数为 解 系统的开环频率特性为 试概略绘制系统的开环幅相曲线 1 曲线的起点 由式可知系统是0型 幅相频率特性起始于实轴上的点 K j0 2 曲线的终点 根据 本系统的n 2 m 0 即系统以 的角度终于原点 3 与虚轴的交点 由于 根据以上三点可以根略画出系统的幅相频率特性曲线如上图所示 则系统的开环频率特性为 5 60 2 对数频率特性 伯德图 前已述及 任何复杂的开环系统都是由若干典型环节串联构成 故开环传递函数可表示成 对数幅频特性 相频特性 5 61 5 62 根据以上分析可得 系统开环对数频率特性曲线的绘制方法 先画出每一个典型环节的波德图 然后相加 例 5 1 开环系统传递函数为 试画出该系统的波德图 解 该系统由四个典型环节组成 一个比例环节 一个积分环节 两个惯性环节 各环节的对数幅频及相频如下 将以上各环节幅频特性和相频特性分别相加后即得开环系统对数幅频特性和相频特性 如下图 对数渐近曲线由两段直线0 20组成 转折频率为1 T1 对数渐近曲线由两段直线0 20组成 转折频率为1 T2 1 20lgK 幅频特性Bode图的具体作图步骤如下 1 先将G s 化为以下所示的标准形式 找出 1 20lgK的点 由此点往左画斜率为 20vdB 10倍频程的直线 其中v为积分环节个数 2 求出各转折频率 并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上 3 画出低频渐近线 相频特性的作图比较麻烦 还是需要点点相加 才可画出 我们不作要求 遇到 一阶惯性 时 遇到 二阶惯性 时 画好低频渐进线后 从低频开始沿频率增大的方向 每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率 遇到 一阶微分 时 遇到 二阶微分 时 4 画其他频段的渐近线 斜率增加 20dB Dec 斜率增加 40dB Dec 斜率下降 20dB Dec 斜率下降 40dB Dec 例5 2 系统开环传递函数为 试画出波德图 解 1 首先将G s 化为如 4 19 式的标准形式 2 求出系统的四个转折频率 并在图上标示出来 3 画出低频渐近线 L 28dB L 8dB L 6dB L 18dB L 48dB 4 依次画出其他频段的渐近线 L 18dB 稳定性是控制系统分析一个十分重要的内容 也是控制系统设计最关心的主要问题 我门即将介绍的奈魁斯特稳定判据 是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性 不仅能判断系统的绝对稳定性 而且可根据相对稳定的概念 讨论闭环系统的动态性能 指出改善系统性能的途径 第三章时域分析法中的劳斯稳定判据 是根据闭环系统特征方程系数 间接获得特征根在复平面上的分布状况 从而判断系统的稳定情况 由于闭环系统的稳定性取决于闭环系统的特征根的性质 而开环模形中包含了闭环所有元部件 包含了所有环节的动态结构和参数 因此我们可以从开环与闭环特征根的关系入手 进而寻找闭环特征根的规律性 5 4奈奎斯特 Nyquist 稳定判据 5 4 1系统开环特性与闭环特征式的关系 式中N s 为开环系统特征式 M s N s 为闭环系统的特征式 设系统的框图如下图所示 其开环传递函数为 则系统闭环传递函数为 5 4 1 5 4 2 进一步将 5 3 式的辅助函数表示成因式相乘形式 比较 5 4 1 5 4 1 5 4 1 式 可以看出辅助函数F s 具有以下三个特点 1 F s 的零点zi为闭环传递函数 s 的极点 F s 的极点pj为开环传递函数G s H s 的极点 2 F s 的零点和极点数目相同 3 F s 和G s H s 只差常数1 5 4 4 设辅助函数 5 4 3 上式中分子分母的阶次相同 式中K为常数 zi和pj进分别为辅助函数F s 的零点和极点 F s 是复变量s的单值有理函数 如果函数F s 在s平面上指定的区域内是解析的 则对于此区域内的任何一点ds都可以在F s 平面上找到一个相应的点df df称为ds在F s 平面上的映射 映射到F s 平面上的点df为 0 j1 见下图 例 辅助方程 则s平面上任何一点ds 1 j1 5 4 2幅角原理 在F s 平面上 F s 是对应于从B点出发又回到B的围线 设 在s平面上选择一个A点开始 作一条顺时针包围F s 某个零点的围线 其不包围也不通过F s 的其它极点和零点 同样 对于s平面上任意一条不通过F s 任何奇异点的封闭曲线 也可在F s 平面上找到一条与之相对应的封闭曲线称为关于函数F s 的映射 设 分别是向量沿着围线顺时针绕行一周的相角增量 由图可以看出 同理 若在s平面的顺时针围线内 包围的是某个极点 则在F s 平面上 F s 曲线将绕原点逆时针方向转一圈 即 则F s 的相角增量为 这表明 F s 曲线从B开始 绕原点顺时针方向转了一圈 一般情况下 如果在围线内含有F s 的Z个零点和P个极点 当s沿着围线顺时针转一圈时 则在F s 平面上 F s 曲线将绕原点逆时针转过N P Z圈 这一关系称为幅角原理 当N为负 表明是顺时针包围的圈数 5 4 3奈魁斯特稳定判据 对于一个控制系统 若其特征根处于s右半平面 则系统是不稳定的 对于上面讨论的辅助方程F s 1 G s H s 其零点恰好是闭环系统的极点 因此 只要搞清F s 的的零点在s右半平面的个数 就可以给出稳定性结论 如果F s 的右半零点个数为零 则闭环系统是稳定的 我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性 因此开环频率特性是已知的 设想 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面 则根据幅角原理知 该封闭曲线在F s 平面上的映射包围原点的次数应为 开环系统右半极点数 闭环系统右半极点数 闭环系统稳定的充分必要条件是它在右半平面没有极点 即Z 0 即N P 其中N是F s 曲线逆时针绕原点的圈数 P是开环传递函数在右半平面的极点数 由此得奈奎斯特稳定判据 若开环系统在s右半平面有P个极点 则使闭环系统稳定的充分必要条件是辅助函数F s 的曲线必须逆时针绕原点P圈 由于F s F j 1 G j H j 或G j H j F j 1 F j 与G j H j 相比较 仅实数部分差1 所以将F j 向左移动 1 个单位就可得到G j H j 如下图所示 向左移动1个单位 若开环系统在s右半平面有P个极点 开环不稳定 则使闭环系统稳定的充分必要条件是 当 由 变化时 开环幅相频率特性G j H j 曲线必须逆时针绕包围 1 j0 P圈 这是最重要的稳定判据 因为它能根据开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 由图可以看出F j 包围原点的圈数等于G j H j 包围 1 j0 的圈数 因此 奈奎斯特稳定判据又可重新表述为 向左移动1个单位 推论 若开环开环系统稳定 即P 0 则奈奎斯特稳定判据又可重新表述为 若开环系统在s右半平面无极点 则闭环系统稳定的充分必要条件是 开环幅相频率特线G j H j 曲线不包围 1 j0 点 由于G j H j 是 的偶函数 当 由 0和0 变化时 幅相频率特性曲线关于实轴对称 而我们一般只绘制 由0 变化时的幅相频率特性曲线 这时G j H j 包围 1 j0 的圈数为P 2 向左移动1个单位 例5 3设单位反馈系统的开环传递函数为 解 1 绘制G j 的曲线 试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性 系统为0型 当 0时G j K 时G j 0 与虚轴相交于 K T1T2 T1 T2 2 由于开环系统无右极点 即P 0 根据奈氏稳定判据 开环幅相频率特线G j H j 曲线不包围 1 j0 点 故闭环系统是稳定的 例5 4某单位反馈系统的开环传递函数为 试分析闭环系统的稳定性 解 1 绘制奈氏曲线 2 开环系统有一个右极点 即P 1 根据奈氏稳定判据 要使闭环系统稳定 G j 曲线必须包围 1 j0 1圈 即当K 1 时系统闭环稳定 当K 1时 系统闭环临界稳定 若N N0 1 当K 1时 系统闭环不稳定 系统为0型 当 0时G j K 时G j 0 仅与惯性环节的符号相反 前面已证明惯性环节的幅相频率特性曲线是一个园位于右半平面 故本系统的幅相频率特性曲线是位于左半平面的一个园 见右图所示 例5 5设一个闭环系统的开环传递函数为 试确定该闭环系统的稳定性 H s G s 在右半s平面内有一个极点 s 1 T P 1 因此 开环系统是不稳定的 右图表明H s G s 轨迹顺时针方向包围 1 j0 点一次 因此 N 1 因为Z P N 2这表明闭环系统有两个极点在右半s平面 因此系统是不稳定的 例5 6设一个闭环系统具有下列开环传递函数 试确定该闭环系统的稳定性 极坐标图 H s G s 在右半s平面内有一个极点s 1 P 1 因此 开环系统是不稳定的 右图表明右图表明H s G s 轨迹顺时针方向包围 1 j0 点一次 因此 N 1 因为Z P N 0 这说明闭环系统在s右半平面内没有极点 闭环系统是稳定的 这是一个开环系统不稳定 但是回路闭合后 变成稳定系统的例子 2 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的 180度相位线 5 4 4对数频率稳定判据 对数频率稳定判据的依据与奈氏稳定判据的依据是一样的 关键是在对数频率特性图 对数幅频图和对数相频图 上如何确定N 开环系统的极坐标图 奈氏图 和对数坐标图 波德图 有如下的对应关系 1 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线 奈氏图频率特性曲线在 1 上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系 在对数坐标图上L 0 A L 1的范围内 当 增加时 相频特性曲线从下向上穿过 180度相位线称为正穿越 因为相角值增加了 反之称为负穿越 增加时 相角增大 频率特性曲线对 1 j0 点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示 当 增加时 频率特性从上半s平面穿过负实轴的 1 段到下半s平面 称为频率特性对负实轴的 1 段的正穿越 这时随着 的增加 频率特性的相角也是增加的 意味着逆时针包围 1 j0 点 反之称为负穿越 正穿越一次对应G j 曲线逆时针包围 1 j0 点一周 反之顺时针包围 1 j0 点一周 对照图如下 对数坐标图上奈氏稳定判据如下 设开环频率特性G j H j 在s右半平面的极点数为P 则闭环系统稳定的充要条件是 对数坐标图上幅频特性L 0的所有频段内 当频率 增加时 对数相频特性 对 180线的正负穿越次数差为P 2 闭环系统在右半s极点数为Z P 2N 式中N为正负穿越次数之差 若Z 0 闭环系统稳定 若Z 0 闭环系统不稳定 对于开环稳定的系统