有限脉冲响应数字滤波器的设计(数字信号处理).ppt

第九章有限脉冲响应数字滤波器的设计 9 1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点 网络结构的特点 1 线性相位条件对于长度为N的h n 传输函数为 9 1 1 9 1 2 式中 Hg 称为幅度特性 称为相位特性 注意 这里Hg 不同于 H ej Hg 为 的实函数 可能取负值 而 H ej 总是正值 H ej 线性相位是指 是 的线性函数 即 为常数 9 1 3 如果 满足下式 0 0是起始相位 9 1 4 严格地说 此时 不具有线性相位 但以上两种情况都满足群时延是一个常数 即 也称这种情况为线性相位 一般称满足 9 1 3 式是第一类线性相位 满足 9 1 4 式为第二类线性相位 下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是 h n 是实序列且对 N 1 2偶对称 即h n h N n 1 9 1 5 满足第二类线性相位的条件是 h n 是实序列且对 N 1 2奇对称 即h n h N n 1 9 1 6 1 第一类线性相位条件证明 将 9 1 5 式代入上式得 令m N n 1 则有 9 1 7 按照上式可以将H z 表示为 将z ej 代入上式 得到 按照 9 1 2 式 幅度函数Hg 和相位函数分别为 9 1 8 9 1 9 2 第二类线性相位条件证明 9 1 10 令m N n 1 则有 同样可以表示为 因此 幅度函数和相位函数分别为 9 1 11 9 1 12 2 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg 的特点1 h n h N n 1 N 奇数按照 9 1 8 式 幅度函数Hg 为 式中 h n 对 N 1 2偶对称 余弦项也对 N 1 2偶对称 可以以 N 1 2为中心 把两两相等的项进行合并 由于N是奇数 故余下中间项n N 1 2 这样幅度函数表示为 令m N 1 2 n 则有 9 1 13 9 1 14 式中 按照 9 1 13 式 由于式中cos n项对 0 2 皆为偶对称 因此幅度特性的特点是对 0 2 是偶对称的 2 h n h N n 1 N 偶数推导情况和前面N 奇数相似 不同点是由于N 偶数 Hg 中没有单独项 相等的项合并成N 2项 3 h n h N n 1 N 奇数将 9 1 11 式重写如下 令m N 2 n 则有 9 1 15 9 1 16 4 h n h N n 1 N 偶数类似上面3 情况 推导如下 令m N 1 2 n 则有 9 1 17 9 1 18 令m N 2 n 则有 9 1 19 9 1 20 3 线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足 9 1 7 式和 9 1 10 式 综合起来用下式表示 9 1 21 图9 1 1线性相位FIR滤波器零点分布 4 线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数 则有 令m N n 1 则有 9 1 22 如果N为奇数 则将中间项h N 1 2 单独列出 9 1 23 图9 1 2第一类线性相位网络结构 图9 1 3第二类线性相位网络结构 9 2利用窗函数法设计FIR滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为Hd ej hd n 是与其对应的单位脉冲响应 因此 相应的单位取样响应hd n 为 9 2 1 9 2 2 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器 只有将hd n 截取一段 并保证截取的一段对 N 1 2对称 设截取的一段用h n 表示 即h n hd n RN n 9 2 3 我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h n 长度为N 其系统函数为H z 图9 2 1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路 另外 我们知道Hd ej 是一个以2 为周期的函数 可以展为傅氏级数 即 对 9 2 3 式进行傅里叶变换 根据复卷积定理 得到 9 2 4 式中 Hd ej 和RN ej 分别是hd n 和RN n 的傅里叶变换 即 9 2 5 RN 称为矩形窗的幅度函数 将Ha ej 写成下式 按照 9 2 1 式 理想低通滤波器的幅度特性Hd 为 将Hd ej 和RN ej 代入 9 2 4 式 得到 将H ej 写成下式 9 2 6 图9 2 2矩形窗对理想低通幅度特性的影响 通过以上分析可知 对hd n 加矩形窗处理后 H 和原理想低通Hd 差别有以下两点 1 在理想特性不连续点 c附近形成过渡带 过渡带的宽度 近似等于RN 主瓣宽度 即4 N 2 通带内增加了波动 最大的峰值在 c 2 N处 阻带内产生了余振 最大的负峰在 c 2 N处 在主瓣附近 按照 9 2 5 式 RN 可近似为 下面介绍几种常用的窗函数 设h n hd n w n 式中w n 表示窗函数 1 矩形窗 RectangleWindow wR n RN n 前面已分析过 按照 9 2 5 式 其频率响应为 2 三角形窗 BartlettWindow 9 2 8 其频率响应为 9 2 9 3 汉宁 Hanning 窗 升余弦窗 当N1时 N 1 N 图9 2 3汉宁窗的幅度特性 4 哈明 Hamming 窗 改进的升余弦窗 9 2 11 其频域函数WHm ej 为 其幅度函数WHm 为 当N 1时 可近似表示为 5 布莱克曼 Blackman 窗 9 2 13 其频域函数为 其幅度函数为 9 2 14 图9 2 4常用的窗函数 图9 2 5常用窗函数的幅度特性 a 矩形窗 b 巴特利特窗 三角形窗 c 汉宁窗 d 哈明窗 e 布莱克曼窗 图9 2 6理想低通加窗后的幅度特性 N 51 c 0 5 a 矩形窗 b 巴特利特窗 三角形窗 c 汉宁窗 d 哈明窗 e 布莱克曼窗 6 凯塞 贝塞尔窗 Kaiser BaselWindow 式中 I0 x 是零阶第一类修正贝塞尔函数 可用下面级数计算 一般I0 x 取15 25项 便可以满足精度要求 参数可以控制窗的形状 一般 加大 主瓣加宽 旁瓣幅度减小 典型数据为4 9 当 5 44时 窗函数接近哈明窗 9 865时 窗函数接近布莱克曼窗 凯塞窗的幅度函数为 9 2 16 表9 2 1凯塞窗参数对滤波器的性能影响 表9 2 2六种窗函数的基本参数 下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤 1 根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd n 如果给出待求滤波器的频响为Hd ej 那么单位取样响应用下式求出 9 2 17 9 2 18 根据频率采样定理 hM n 与hd n 应满足如下关系 例如 理想低通滤波器如 9 2 1 式所示 求出单位取样响应hd n 如 9 2 2 式 重写如下 2 根据对过渡带及阻带衰减的要求 选择窗函数的形式 并估计窗口长度N 设待求滤波器的过渡带用 表示 它近似等于窗函数主瓣宽度 3 计算滤波器的单位取样响应h n h n hd n w n 4 验算技术指标是否满足要求 设计出的滤波器频率响应用下式计算 例9 2 1用矩形窗 汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器 设N 11 c 0 2 rad 解用理想低通作为逼近滤波器 按照 9 2 2 式 有 用汉宁窗设计 用布莱克曼窗设计 图9 2 7例9 2 1的低通幅度特性 9 3利用频率采样法设计FIR滤波器 设待设计的滤波器的传输函数用Hd ej 表示 对它在 0到2 之间等间隔采样N点 得到Hd k 再对N点Hd k 进行IDFT 得到h n 9 3 1 9 3 2 式中 h n 作为所设计的滤波器的单位取样响应 其系统函数H z 为 9 3 3 9 3 4 1 用频率采样法设计线性相位滤波器的条件FIR滤波器具有线性相位的条件是h n 是实序列 且满足h n h N n 1 在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是 9 3 5 9 3 6 9 3 7 奇数 偶数 在 0 2 之间等间隔采样N点 将 k代入 9 3 4 9 3 7 式中 并写成k的函数 9 3 8 9 3 9 奇数 偶数 9 3 10 9 3 11 设用理想低通作为希望设计的滤波器 截止频率为 c 采样点数N Hg k 和 k 用下面公式计算 N 奇数时 9 3 12 N 偶数时 9 3 13 2 逼近误差及其改进措施如果待设计的滤波器为Hd ej 对应的单位取样响应为hd n 则由频率域采样定理知道 在频域0 2 之间等间隔采样N点 利用IDFT得到的h n 应是hd n 以N为周期 周期性延拓乘以RN 即 由采样定理表明 频率域等间隔采样H k 经过IDFT得到h n 其Z变换H z 和H k 的关系为 图9 3 1理想低通滤波器增加过渡点 例9 3 1利用频率采样法设计线性相位低通滤波器 要求截止频率 c 2rad 采样点数N 33 选用h n h N 1 n 情况 解用理想低通作为逼近滤波器 按照 9 3 12 式 对理想低通幅度特性采样情况如图9 3 2所示 将采样得到的 图9 3 2对理想低通进行采样 图9 3 3例9 3 1的幅度特性 图9 3 4例9 3 1 N 65 有两个过渡点幅度特性 9 4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器 如果用E ej 表示Hd ej 和所设计滤波器H ej 之间的频响误差E ej H d ej H ej 9 4 1 其均方误差为 9 4 2 1 切比雪夫最佳一致逼近准则设希望设计的滤波器幅度特性为Hd 实际设计的滤波器幅度特性为Hg 其加权误差E 用下式表示 E W Hd Hg 9 4 3 为设计具有线性相位的FIR滤波器 其单位脉冲响应h n 或幅度特性必须满足一定条件 假设设计的是h n h n N 1 N 奇数情况 将Hg 代入 9 4 3 式 则 9 4 4 式中M N 1 2 最佳一致逼近的问题是选择M 1个系数a n 使加权误差E 的最大值为最小 即 该定理指出最佳一致逼近的充要条件是E 在A上至少呈现M 2个 交错 使得 2 利用最佳一致逼近准则设计线性相位FIR滤波器设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器 其幅度特性为 如果我们知道了A上的M 2个交错点频率 0 1 M 1 按照 9 4 4 式 并根据交错点组准则 可写出 9 4 5 将 9 4 5 式写成矩阵形式 9 4 6 1 在频域等间隔取M 2个频率 0 1 M 1 作为交错点组的初始值 按下式计算 值 9 4 7 9 4 8 一般初始值 i并不是最佳的极值频率 也不是最优估计误差 它是相对于初始值产生的偏差 然后利用拉格朗日 Lagrange 插值公式 求出Hg 即 9 4 9 9 4 10 9 4 11 2 对上次确定的 0 1 M 1中每一点 都检查其附近是否存在某一频率 E 如有 再在该点附近找出局部极值点 并用该点代替原来的点 3 利用和第二步相同的方法 把各频率处使 E 的点作为新的局部极值点 从而又得到一组新的交错点组 图9 4 2雷米兹算法流程图 3 线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式在9 1节 我们已推导出线性相位的四种情况 它们的幅度特性H g 分别如下式 奇数 奇数 偶数 偶数 经过推导可把H g 统一表示为Hg Q P 9 4 13 式中 P 是系数不同的余弦组合式 Q 是不同的常数 四种情况的Q 和P 如表9 4 1所示 表9 4 1线性相位FIR滤波器四种情况 表中 和与原系数b n c n 和d n 之间关系如下 9 4 14 9 4 15 9 4 16 将 9 4 13 式代入 9 4 3 式 得到 9 4 17 9 4 18 图9 4 3利用切比雪夫逼近法设计线性相位FIR滤波器程序框图