2019_2020学年高中数学第1章推理与证明3反证法学案北师大版.docx

3反证法学 习 目 标核 心 素 养1了解间接证明的一种基本方法反证法2理解反证法的概念及思考过程和特点(难点)3掌握反证法证明的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题(重点、难点)1通过反证法的概念及思考过程的学习，提升逻辑推理的核心素养2通过用反证法证明数学问题，培养数学建模和逻辑推理的核心素养.1反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法2反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：1应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的有()与结论相反的判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论ABC DC根据反证法的定义，可以作为条件使用2用反证法证明“如果ab，那么”，则假设的内容应是()A如果ab，那么B如果ab，那么b，那么且b，那么或1)，证明：方程f(x)0没有负数根证明假设x0是方程f(x)0的负数根，则x00，x01且ax00，所以ax0.又当x00时，0ax01，故01，即011,12，解得x02这与x00矛盾， 所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根用反证法证明“至多”“至少”问题【例2】已知x，y，z均大于零，求证：x，y，z这三个数中至少有一个不小于4.思路探究：本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明证明假设x，y，z都小于4，即x4，y4，z4，于是得12，而2 2 2 12，这与12矛盾，因此假设错误，即x，y，z中至少有一个不小于4.把本例改为“若a1，则三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解”怎样证明？证明假设三个方程都没有实数解，则三个方程的判别式都小于0，即a0，y0，且xy2，求证：与至少有一个小于2证明假设与都不小于2，即2，2x0，y0，1y2x,1x2y，两式相加得2(xy)2(xy)，xy2，这与已知中xy2矛盾，假设不成立，原命题成立故与至少有一个小于2用反证法证明“唯一性”命题探究问题1用反证法证明数学命题的步骤是什么？提示(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立2如何证明两条相交直线有且只有一个交点？提示假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以两条相交直线有且只有一个交点【例3】用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行思路探究：证明由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行假设过点A还有另外一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.又ba，bb.这与假设bbA矛盾，所以假设不成立，所以过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行用反证法证明唯一性命题的注意点1当所证命题的结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一一个”“存在唯一”等形式出现时，反设其结论易于导出矛盾，因此可用反证法证明该类命题2用反证法证明唯一性命题时，如果其结论的反面呈现多样性，必须罗列出所有可能的各种情况，缺少任何一种情况时，反证都是不完全的3证明“有且只有”等形式的问题时，需要证明两个方面，即证明存在性和唯一性3若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点证明由于f(x)在a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即0B，则ab”的结论的否定应该是()AabBabCab DabB“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.4已知非