2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变形3二倍角的三角函数第2课时半角的正弦、余弦和正切学案北师大版.docx

第2课时半角的正弦、余弦和正切学 习 目 标核 心 素 养1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)1.通过用二倍角公式推导出半角公式，体会逻辑推理素养2.通过利用三角恒等变换对三角函数式化简求值，体会数学运算素养.半角公式(1)sin ；(2)cos ；(3)tan .思考：利用tan 和倍角公式能得到tan 与sin ，cos 有怎样的关系？提示tan ，tan .1若cos ，且(0，)，则sin 的值为()ABCD答案B2已知cos ，则cos 的值为()A B CD答案B3tan 15等于()A2 B2 C1D1B由tan ，得tan 152.4若cos 22a，则sin 11_，cos 11_(用a表示)sin 110，cos 110，所以sin 11，cos 11.应用半角公式求值【例1】已知cos ，为第四象限角，求sin 、cos 、tan .解sin ，cos ，tan .为第四象限角，为第二、四象限角当为第二象限角时，sin ，cos ，tan ；当为第四象限角时，sin ，cos ，tan .在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan ，还要注意运用公式tan 来求值.1已知sin ，且3，求cos 和tan .解sin ，3，cos .由cos 2cos2 1得cos2.cos .tan 2.利用半角公式化简求值【例2】化简：.思路探究利用半角公式将角进一步统一为，注意角的取值范围解2，原式cos2 sin2cos .对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数2化简：(180x360)解原式.因为180x360，所以cos 0，所以原式cos x.三角恒等变换的综合应用探究问题1半角公式适用的条件是什么？提示cos ，sin ，R.tan 中，2k，kZ，tan 中，k，kZ.2如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？提示例如可以看成的倍角，也可以看成2的半角3怎样把asin xbcos x化成Asin(x)形式？提示asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin (x).【例3】已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的最大值及相应的x值思路探究把f(x)化成Asin(x)的形式，再研究其性质解f(x)2sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin.(1)令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由x，可得2x.当2x，即x时，f(x)取最大值，最大值为2.将例3中的函数变为“f(x)sin2xsin2，xR”，试求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)在x上的最值解(1)由已知，得f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f，f，f.所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如yAsin(x)的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将x看成一个整体去讨论最值及单调性问题1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中满足：与点(a，b)同象限；tan .1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)半角公式对任意角都适用()(2)tan ，只需满足2k(kZ)()(3)sin xcos xsin.()(4)sin xcos x2sin.()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)2sin sin的最大值等于()ABC1D2Af(x)2