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第二讲：“未雨绸缪”应挑战中考数学难题破解策略我们都知道，在学习数学的过程中，所积累的知识、经验经过加工，会得出具有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型数学模型，利用数学模型去解决新问题，是破解中考数学难题的一个非常重要的策略而这一策略的重要体现往往是“熟悉化原则”和“简单化原则”将综合题化陌生为熟悉或者分解为若干个基本问题，因而要想掌握好这一解题策略，就得多多积累“基本问题”当我们具有了一定的“基本问题”的积累量以后，遇到一个新问题时，通过审题辨认，联想起与此类似的基本数学模型，从而提取出相应的方法来加以解决例1：如图，已知直线，分别经过点和点，并且当两直线同时相交于轴正半轴的点时，恰好有经过点、的抛物线的对称轴与直线交于点（1）求点的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和轴一次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由（3）当直线绕点旋转时，与抛物线的另一个交点为，请找出使为等腰三角形的点，简述理由，并写出点的坐标首先，函数背景的问题由于已知条件“恰好有”促使我们想到几何中最常见的基本图形“双垂直”图形：在中，于，其中，于是，则点进而，由待定系数法可直接求出直线，以及抛物线的解析式分别为，其次，考虑到点，分别是抛物线的对称轴分别与，抛物线，轴的交点，根据上面求得的解析式可依次得出这四点的坐标：，把所得坐标转化为线段长，所以三条线段由函数解析式联立求交点坐标，由线段端点的坐标得出线段长，是同学们比较熟悉的解题步骤最后，常规的等腰三角形的存在性问题，典型的分类讨论三种情况，这都是我们平常学习中的基本功已知两点，确定第三点的位置，使得称为等腰三角形，分别以，为圆心，长为半径画弧，再作的垂直平分线，各自与抛物线的交点即为所求点而利用抛物线的对称性不难求得点的坐标，例2：在中，点在线段上，垂足为，与相交于点（1）当时，（如图1），；求的值；（2）当时（如图2），求的值（用含的式子表示）已知条件中的“”这样的倍角、半角关系，通常在图形中转化为等角关系要么作出的二倍角等于，要么作出的半角等于而另一个条件“”显然要求作出的二倍角等于，这样就能形成最基本的等腰三角形的“三线合一”至于与的比值，经验判断三角形相似，有了前面等腰三角形“三线合一”的基本图形，考虑到已知条件中的直角，自然又产生了相似三角形的基本图形，从而问题得解我们先来分析一般情况：当时如图3，延长至点，使得，连结，交于，易证是等腰三角形，那么，所以，由得分析至此，这道题的高明与巧妙之处就显露出来了原来点是三条高的交点，再连结并延长交于，则，联想到相似三角形的“斜”、“蝶形”等基本图形，所以，于是得到由特殊与一般的关系，第（1）问中当时，即，所以
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