用构造法求数列通项公式.doc

用构造法求数列通项公式已知数列的递推公式，求其通项公式是数列中重要的题型之一，在近年的高考试卷中也经常出现此类题型，解决这个问题除验算猜想证明的方法外；利用公式的变形构造一个新数列来求解也是重要的手段，下面通过例题分析阐述常用的变形方法，供参考。一、配凑构造例1 数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3)，求an.解析：an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，整理得nSn+1=2(n+1)Sn,即=2，故数列是以=a1=1为首项，2为公比的等比数列，即=2n-1,Sn=n2n-1，当n2时，an=Sn-S n-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适合，故an=(n+1)2n-2nN*.二、相除构造例2 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2);a1=,求通项an.解析:当n2时, an=Sn-Sn-1=-2 SnSn-1,两边同除以SnSn-1得- =2,又=2, 数列是以2为首项,2为公差的等差数列,则=2+2(n-1)=2n, Sn=,由a1=,n2时,an=Sn-Sn-1=-=- ,二式不能合并.三、平方构造例3 已知函数f(x)=(x-2).(1)求f-1(x),(2)若a1=1,an=-f-1(an-1),求数列an的通项公式.解析:(1)f-1(x)=- (x0),(2)由an=-f-1(an-1),an=,两边平方得an2-an-12=4,数列an2是以a12=1为首项,公差为4的等差数列,an2=1+(n-1)4=4n-3,又an0,an=.四、开方构造例4 已知函数f(x)=(+)2(x0),设正项数列an的首项a1=2,前n项和Sn满足Sn=f(Sn-1)(n2且nN*),求通项an.解析:an0,Sn0,由Sn=f(Sn-1)=(+)2两边开方得=+,数列是以=为首项,公差d=的等差数列,即=+(n-1)=n,则Sn=2n2,当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-2,当n=1时,a1=2也适合上式,故an=4n-2(nN*).五、待定系数法例5 已知数列an中,a1=1,且an+1=3an-1(nN*),求an.解析:设an+1+x=3(an+x),则an+1=3an+2x,又an+1=3an-1,则2x=-1,即x=-,故而an+1-=3(an-),则数列an-是以首项a1-=,公比为3的等比数列,an-=3n-1,即an=3n-1+.六、公式变形例6 已知正项数列an的前项和Sn满足Sn=(an+)，求通项an.解析：由S1=a1=(a1+)得a1=1，又an=Sn-Sn-1(n2)Sn=(an+)=(Sn-Sn-1+)可得Sn+Sn-1=，即Sn2-Sn-12=1,数列Sn2是首项为S12=a12=1,公差为1的等差数列.Sn2=1+(n-1)1=n，又Sn0，Sn=,当n2时，an=Sn-Sn-1=-,当n=1时，a1=1也适合，故通项an=-.七、取倒数例7 已知数列an中，a1=2,an=(n2)，