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分析数学物理方程及其基本任务中山大学工学院动力工程专业学号：11250906 姓名：卢振威 摘要：在经典数学物理方程中，以二阶线性偏微分方程为主要研究对象。二阶线性偏微分方程从数学上的分类，在物理上的对应过程及其方程的标准形式。 数学物理方程有两大基本任务：导出定解问题和求解相应的定解问题。关键词：经典数学物理方程；二阶线性偏微分方程；两大基本任务一、 二阶线性偏微分方程在经典数学物理方程中，以二阶线性偏微分方程为主要研究对象。（一）二阶线性偏微分方程从数学上的分类弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程，这三类方程的形状很特殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往往可以从对这三类方程的研究中得到。我们先研究两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类问题。一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状：它关于未知函数及其一、二阶偏导数都是线性的，其中都是自变量的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域内都连续，而且不全为0 。若方程的主部系数在区域中某一点(x0，y0)满足， 则称方程在点(x0，y0)是双曲型的； 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的； 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。（二）二阶线性偏微分方程在物理上分别对应的过程如果方程在所讨论的区域D内每一点都是双曲型的，那么我们就称方程在区域内是双曲型的。同样，如果方程在所讨论的区域D内每点均为抛物型或椭圆型，那么方程在区域D内就称作是抛物型或椭圆型的。由于方程的系数是连续函数，若方程在点(x0，y0)是双曲型的；若方程在点(x0，y0)是椭圆型的，则在点(x0，y0)的领域内也是椭圆型的；但方程在点(x0，y0)是抛物型的，就不一定在点(x0，y0)的领域内也是抛物型的。由上述定义，显然弦振动方程是双曲型的；一维热传导方程是抛物型的；二维拉普拉斯方程和珀松方程都是椭圆型的。由于弦振动方程描述的是波的传播现象，它具有对时间是可逆的性质；热传导方程反映了热的传导、物质的扩散等现象，这些现象总是由高到低，由密到疏的，因而是不可逆的；而拉氏方程所描述的是稳定和平衡状态。这三种方程所描述的自然现象的本质完全不同，所以它们的类型也不相同。三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的表现。对于一般的变系数方程，情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。对于不同类型的方程来说，解的光滑性可以很不相同。对于弦振动方程来说，如果初始条件中高阶的导数不存在，那么解的高阶导数也就不存在；对于热传导方程，只要初始条件是有界的，那么其解是无穷可微的；对于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定义域内都是解析函数。 热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速，某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因此不存在扰动传播的问题。（三）各类方程的标准形式变换是研究微分方程的一个有效手段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易求解的方程转化为容易求解的。方程(1)的二阶导数项称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化。设(x0,y0)是区域内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。为此我们作下面的自变量变换在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微的，且雅可比行列式在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆的，也就是存在逆变换也就是说，方程(1)可以采用新的自变量,表示为运用复合函数的求导法则(7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程的两个函数无关的解1(x,y)和2(x,y)，那么，将变换取为=1 (x,y)和=2 (x,y)，方程(6)的系数 这样就达到了简化方程(1)的主部的目的。方程(8)的求解可以转化为下述常微分方程在(x,y)平面上的积分曲线问题：设1(x,y)=c 是方程(9)的一族积分曲线，则z=1(x,y)是方程(8)的一个解。称方程(9)的积分曲线为方程(8)的特征线，方程(9)有时也称为方程(8)的特征方程。显然方程(9)可以分解为两个方程这样根据 的符号不同，我们可以选取相应的变换代入方程(6) ，从而得到不同的化简形式这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。二、 数学物理方程数学物理方程有两大基本任务：导出定解问题和求解相应的定解问题。（一）定解问题的定义数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。具体地说，包括以下两个方面的内容：1、写出定解问题将物理问题表述成数学方程在我们将要讨论的物理问题中，物理量除了随着时间变化，还在空间中有一定的分布。也就是说，自变数除了包括时间，还包括空间坐标。例如，一根绳子上各点位移随时间的变化；平面上各点温度随时间的变化；某种物质在空间各点浓度随时间的变化。对于这类问题，常微分方程将变成偏微分方程。相应地，由于引入了空间变量，因此求解方程除了需要初始条件以外，还需要边界条件。这就是数学物理定解问题。定解问题由泛定方程和定解条件组成。泛定方程是描述物理问题的偏微分方程本身。定解条件包括反映研究区域边界状况的边界条件，和反映初始状态的初始条件。在给定的定解条件下，求解偏微分方程，就称为数学物理定解问题。一般来讲，从物理问题中导出的数学物理方程既可以是微分方程，也可以是积分方程，或者微分积分方程。这门课程仅限于二阶线性偏微分方程。偏微分方程：含有未知多元函数及其偏导数的方程。方程的阶：偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数。线性方程：偏微分方程中对于未知函数及其所有偏导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。例如 ut = 4 uxx; 二阶线性，x2uyy = y3uxx; 二阶线性，(ux)2 + (uy)2 = 1; 一阶非线性为什么要强调线性呢？这是因为只有线性方程，才可以应用叠加原理（或独立作用原理）；而对于非线性方程，线性叠加原理不再适用，处理起来十分复杂。叠加原理：如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件。2、求解定解问题求出满足方程和定解条件的解虽然我们要求解的方程是偏微分方程，但可以通过分离变量法，将方程中关于时间微分和空间微分的部分分离开来，分别讨论。其中，定解问题的求解是主要内容。在研究方程求解之前，我们先看看数学物理方程是如何从物理问题中导出来的。（二）定解问题的基本要素定解问题的基本要素泛定方程和定解条件。定解问题包括泛定方程和定解条件两部分。前面讨论了三类泛定方程的导出，接下来，我们讨论定解条件，即初始条件和边界条件。对于每一类泛定方程而言，正是由于定解条件的不同，才会出现解的不同。对于初始条件导致解的不同比较容易理解。如在篮球场上，正是球员给球的初始速度决定球的运动轨迹。又如夏天，你从太阳暴晒的户外进到屋子里面，你会觉得很凉爽，因为你的体温正从一个高温水平下降低温水平，但若是你从一个空调屋子走到没有空调的屋子，你就会觉得很热，这是因为体温经历的是一个上升过程，这就是由于初始条件所导致的温度变化的不同。由于边界条件导致的解的不同也不难理解。如握住绳的一端抖动，绳的另一端固定或者自由这两种不同的边界条件下，其振动轨迹将完全不同。又如冬天的屋子里有暖气，将窗户关上和将窗户打开这两种不同的边界条件下，室内温度也将完全不同。我们下面就来具体介绍各种定解条件。1、初始条件 ，（1） 振动过程对于振动过程(弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿传输线传播，声振动和声波，电磁波)，初始条件包括初始“位移”u (x, y, z, t)| t = 0 = j (x, y, z),和初始“速度”ut (x, y, z, t)| t = 0 = f (x, y, z),其中，j (x, y, z)和f (x, y, z)都是已知函数。注意 初始条件应当给出整个系统的初始状态，而不仅是系统中个别地点的初始状态。例 一根长为l而两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。写法：，（2）输运过程对于输运过程(扩散、热传导)，初始状态指的是所研究的物理量u的初始分布(初始浓度分布、初始温度分布)。因此，初始条件是u (x, y, z, t)| t = 0 = j (x, y, z),其中，j (x, y, z)是已知函数。（3）稳恒运动 稳定场如果振动过程或输运过程受到周期性外源或外力的作用，讨论时间足够长以后的振动或输运过程，可以忽略初始条件的作用，形成所谓的稳恒运动。为什么可以忽略初始条件呢？没有外加力，只是由于初始偏离或初始速度引起的振动叫作自由振动（自由振动方程）。经过足够长时间以后，由于阻尼作用，自由振动过程消失，因此可以忽略初始条件。没有外源，只是由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运（自由输运方程）。经过足够长时间以后，自由输运过程消失，因此可以忽略初始条件。对于稳定场的定解问题，讨论的是状态不随时间变化的体系，体系状态与时间无关，没有初始时刻，也就没有初条件。注意 振动过程有2个初始条件，输运过程有1个初始条件，稳恒运动和稳定场则没有初始条件。2、边界条件常见的线性边界条件，数学上分为三类：（1）第一类边界条件 第一类 ，直接规定未知函数在边界上的数值；例 弦的端点固定，则边界条件是. 细杆导热问题，若杆的一个端点的温度u按已知的规律变化，则该端点的边界条件是。如果温度恒定，即u (t) = u0，则u (x, t)| x = a = u0.（2） 第二类边界条件 第二类 ，规定未知函数在边界外法线方向上方向导数的数值；例如，在一维情况下，对x = 0的端点，对x = l的端点，。A 振动问题作纵振动的杆，某个端点受到外力作用，写出其边界条件。将外力投影到外法线方向上，其值记为F(t)，根据胡克定律，有，即该端点边界条件为。特别地，若端点自由，则。B 细杆导热问题一根导热杆，某个端点x=a有热流，写出其边界条件。热传导定律。将热流投影到外法线方向上，其值记为q，则有，即该端点边界条件。特别地，若端点绝热，则注意 区分边界条件与泛定方程中的外力或外源。例如，一维扩散问题，如果在某端点x = a有粒子流注入，流的强度q是已知的，这是一种边界条件，即。如果处处有强度为的粒子流注入（或产生），则这是一种外源，即泛定方程为。如果所讨论区域是无限长杆等，则没有边界条件。3、衔接条件若在所研究的区域里出现跃变点，使得的左右极限不同，没有意义，从而泛定方程在跃变点失去意义。这样，我们只能在跃变点两端分别考虑。跃变点的条件就称为衔接条件。 弦振动问题。如果有横向力F(t)集中地作用于x = x0，这点就成为跃变点。将跃变点左边各点的位移记作，右边记作，分别讨论左右两边的定解问题。在跃变点，位移是连续的，其左右极限相同，于是得在跃变点，横向力与弦中张力是作用力与反作用的关系，其大小相等，方向相反，于是有而，因此有 杆的纵振动设有一根长为l的杆，它由A与B两段连接而成，连接点为x0。设两部分的密度分别为r1与r2，杨氏模量分别为Y1与Y2。将x0左边各点的位移记作，右边记作，分别讨论左右两边的定解问题。在跃变点，位移是连续的，得在连接处，段右端点的应力与段左端点应力是作用力与反作用力的关系，其大小相等，方向相反。将二者分别投影到其外法线方向上，有根据胡克定律（详见第12讲补充材料），有，于是有（二）求解定解问题的主要方法求解定解问题的主要方法有以下4种：1、分离变量法2、行波法（平均核法）3、积分变换法4、格林函数法1、分离变量法分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。 问题1：研究一根长为l，两端（ ）固定的弦作微小振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题式中， 均为已知函数。这个定解问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每个单音总可以表示成 的形式，这种形式的特点是：二元函数 是只含变量x的一元函数与只含变量t的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。若对于的某些 值，常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种 的取值为该问题的固有值（或特征值）；同时称相应的非平凡解为该问题的固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题（或固有值问题）。（1）当 时，方程没有非平凡解。 （2）当 时，方程也没有非平凡解。 （3）当 时，方程有如下形式的通解： (+0称为固有值问题 的一系列固有值，相应的非零解 为对应的固有函数。将固有值 代入方程 中，有可得其通解为这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的特解式中， 是任意常数。由于初始条件式中的 与 是任意给定的，一般情况下，任何一个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。为了选取 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令由初始条件得傅里叶级数（补充）：（1）设 是周期为 的周期函数，则其中2）设 是周期为 的周期函数，则其中（3）当 为奇函数时 为奇函数， 为偶函数。正弦级数为（4）当 为偶函数时， 为偶函数， 为奇函数。余弦级数为 和 分别是函数 、 在区间 上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即取级数的一般项，并作如下变形：式中， 最大振幅相位 频率表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。这种振动波还有一个特点，即在 范围内有 个点在整个过程中始终保持不动，即在 的那些点，这样的点在物理上称为 的节点。这说明 的振动是在 上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波称为驻波。另外，驻波还在另外的一些点 处振幅达到最大值，这样的点叫做腹点。 是一系列驻波，它们的频率、相位和振幅都随n而异。因此，可以说原定解问题的级数解是由一系列频率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，每一个驻波的波形由固有函数和初值确定，频率则由固有值确定，与初值无关。因此，分离变量法也称为驻波法。问题2：一个半径为 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边界上的温度已知，求达到稳恒状态时圆盘的温度分布规律。由于稳恒状态下温度满足拉普拉斯方程，并且区域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程采用极坐标形式将是方便的，用 来表示圆板内点 的温度，则区域的边界是圆周 ，所以边界条件可以表示为式中 为圆周边界上的已知温度，且 。令 ，则这样所述问题可以表示为下列定解问题：周期性边界条件：有界性条件：设泛定方程的解为 （1）当 时，方程的通解为式中A与B是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。（2）当 时，的解为原定解问题的解为 （3）当 时，方程的通解为固有值为相应的固有函数为 和 ，在这里，一个固有值对应多个线性无关的固有函数。欧拉（Euler）方程 它的通解为补充：欧拉方程的解法： 令 ，有 ，则代入欧拉方程中，得到有通解原定解问题的一些列特解式中2、行波法行波法只能用于求解无界区域上的波动方程定解问题，虽然有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数学物理方程的基本解法之一。 无界弦振动的柯西问题 ：式中 均为已知函数。 引入新变量 原柯西问题的通解为初始条件代入其中，有无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ）为：函数 称为左传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向左传播的行波。函数 称为右传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向右传播的行波。 积分所代表的也是类似的沿着x轴的正负方向传播的波，不过是由初速度 引起的。 达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波的形式分别向x轴的正负两个方向传播出去，其传播速度恰恰是弦振动方程中出现的常数a。基于这种原因，达朗贝尔解法又称为行波法。 称为点 的依赖区间。它是过点 分别作斜率为 的直线与x轴相交所截得的区间。初始时刻 时，取x轴的一个区间x1,x2， 作直线 与直线 ，它们和区间x1,x2一起构成一个三角形区域，称为决定区域。在平面上由不等式 所确定的区域称为区间x1,x2 的影响区域。在 平面上，斜率为 的两族直线称为一维波动方程的特征线。波动实际上是沿着特征线传播的，因此行波法又称为特征线法。 无累积效应 ：有累积效应：三维波动方程初值问题：其中 和 均为已知函数。 平均值法：不考虑函数 本身，而是研究 在以点 为球心，以r为半径的球面上的平均值 ，当暂时选定 后， 就是关于r，t的函数。当我们很方便地求出 后，令 则 ，问题就得到了解决。 把达朗贝尔公式改写为：（1）积分 是函数 在区间 上的算术平均值，记作 。（2）由叠加原理知，都是一维波动方程 的解。三维波动方程的解（泊松公式 ）为：其中曲面积分采用球坐标形式表示：二维波动方程初值问题式中 与 为已知函数。降维法：由高维问题的解引出低维问题解的方法。二维波动方程初值问题的解（泊松公式 ）：3、积分变换法积分变换法不受方程类型的限制，一般应用于无界区域的定解问题，但对于有界区域的定解问题也能应用。 变换： 原问题 变换 较易解决的问题直接求解较难 求解 原问题的解 逆变换 在变换域里的解例如：对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换；在积分中的变量代换和积分运算化简；在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换；复变函数的保角变换；积分变换。 积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。积分域 ；积分变换的核 ；象原函数 ； 称为 的象函数。 当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。傅里叶（Fourier）变换：变换核为 ；积分域拉普拉斯（Laplace）变换：变换核为 ；积分域 Z变换、梅林(Mellin)变换、汉科尔(Hankel)变换，小波变换。 一般来说，当用积分变换去求解微分方程或其它方程时，在积分变换之下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程；原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使得在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，就得到原来要在函数类A中所求的解。（当然，上述求变换与求逆变换是可以依赖于积分变换表来完成的）。 用积分变换法求解定解问题的步骤大致为：（1）根据自变量的变化范围及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换。然后对方程两端取变换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程。（2）对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件。（3）求解所得的常微分方程，求出的解即是原定解问题的解的像函数。（4）对求得的像函数取逆变换，得到原定解问题的解。4、格林函数法(1) 拉普拉斯方程的对称解与格林公式a. 拉普拉斯方程的对称解 定义：如果在维空间的一个区域内，函数具有二阶连续偏导数，且满足维