矩阵的应用.doc

矩阵的应用矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门很有实用价值的数学理论。随着科学技术的发展，这一理论业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具，而计算机的广泛应用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵分析法提供了更为广阔的发展和应用前景。应用一 矩阵运算的应用1.1 矩阵加法在产品的增量问题中的应用甲、乙两化工厂在2001年和2002年所生产的3种化工产品， ，的数量如表1（单位:万吨）所示：表1 化工产品数量 年份 产品工厂2001 2002 甲 45 36 28 47 37 28乙 41 32 33 42 31 35 （1）作矩阵A和B分别表示2001年和2002年工厂甲、乙生产各化工产品数量； （2）计算矩阵A+B和B-A，并说明其经济意义。 解：（1）， （2）， 矩阵A+B说明这两年甲、乙两厂生产的3种化工产品的数量，B-A说明甲、乙两厂在2001年比2002年生产的3种化工产品的增量。1.2 矩阵乘法在生产中的应用 例1某股份公司生产四种产品，各类产品在生产过程中的生产成本以及在各季度的产量分别由表2和表3给出。表2 产品生产成本产品消耗 A B C D原材料 0.5 0.8 0.7 0.65劳动力 0.8 1.05 0.9 0.85经营管理 0.3 0.6 0.7 0.5 表3 各季度产量 季度产品 春 夏 秋 冬A 9000 10500 11000 8500B 6500 6000 5500 7000C 10500 9500 9500 10000D 8500 9500 9000 8500在年度股东大会上，公司准备用一个单一的表向股东们介绍所有产品在各个季度的各项生产成本，各个季度的总成本，以及全年各项的总成本。此表应如何做法？解：将表2和表3分别写成如下矩阵：M=N=并计算：MN=利用乘积MN可做如下的符合题意的表4：表4 总表春 夏 秋 冬 全年原材料 22575 22875 22400 22375 90225劳动力 30700 31325 30775 30375 123175经营管理 18200 18150 17750 18000 72100总成本 71475 72350 70925 70750 2855001.3.矩阵乘法在产品利润中的应用例. 今有甲、乙两种产品销往，两地，已知销售量、总价值与总利润如表5所示（销售量单位：吨，总价值与总利润单位：万元），求甲乙两产品的单位价格与单位利润。表5 产品销售量、总价值与总利润 销售地产品 总价值 总利润甲 200 240 600 68乙 350 300 870 95解：设矩阵A为产品的销售量，矩阵B为甲乙两产品销往两地产品的总价值与总利润，矩阵C为销往两地产品的单位价值与单位利润，则有，其中是的伴随矩阵所以 即甲乙两种产品的单位价格分别为1.2与1.5，甲乙两种产品的单位利润分别为0.1与0.2。1.4 逆矩阵在密码问题中的应用矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种就是基于利用可逆矩阵的方法。现在26个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是：若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E。不幸的是这种编码很容易被人破译。在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现的频率最高的数值二猜出它代表的是哪个字母，比如说上述编码中出现最多次的数值是5，人们会自然想到它代表的字母是E，因为统计规律告诉我们，字母E是英文单词中出现频率最高的。我们可以利用矩阵乘法来对“SEND MONEY”进行加密，让其变成“密文”后再进行传递，以增加非法用户破译的难度，而让合法用户轻松解密。如果一个矩阵A的元素均为整数，而且其行列式，那么由即知，的元素均为整数。我们可以利用这样的矩阵来对明文加密，使加密之后的密文很难破译。现在取 明文“SEND MONEY”对应的9个数值按3列排成以下矩阵： 矩阵乘积 对应着将发出去的密文编码：43，105，81，45，118，77，49，128，93。合法用户用去左乘上述矩阵即可解密得到明文。 为了构造“密钥”矩阵A，我们可以从单位阵I开始，有限次地使用第三类初等变换，而且只用某行的整数倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使用。这样得到的矩阵A，其元素均为整数，而且由于可知，的元素必然均为整数。 1.5 矩阵初等变换在套利投资组合中的应用设有一位投资者投资于三种资产上，且具有三种状态可能发生，资产的回报矩阵为： 要求：（1）证明状态价格不存在； （2）以下两种投资组合都是套利组合 和进一步，对此应选择哪一组合？解：设为状态价格向量。对给定的R，为解方程对以下增广矩阵实行行初等变换：由此可知，矩阵方程无解，从而状态价格不存在。（2）注意到：， 可得知，这两个投资组合都是套利组合，且Z得到的套利更大应用二 矩阵在产品利润中的应用在工农业生产、经济管理以及交通运输等方面，经常要涉及到使用或分配劳动力、原材料和资金等，而使得费用最小或利润最大，这就是线性规划问题，而线性规划是帮助我们解决这类问题的一个常用方法。例：某企业生产甲、乙两种产品，要用三种不同的原料。从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需要三种原料分别为1，1，0单位；每生产一件产品乙，需要三种原料分别为1，2，1单位；每天原料供应能力分别为6，8，3单位。又知道，每生产一件产品甲，企业利润收入300元，每生产一件产品乙，企业利润收入为400元，企业应如何安排计划，使一天的总利润最大？解：为了解决这一实际问题，应先建立该问题的数学模型。将问题中条件列表6如下：表6 利润、原材料供应 产品原料 甲 乙 原材料供应A 1 1 6B 1 2 8C 0 1 3利润 300 400设产品甲的日产量为件，设产品乙的日产量为件，显然，企业一天所获得总利润为S，则S是、的线性函数，即 这个线性函数称为目标函数。求目标函数的最大值，记为 但在追求目标函数的最大值时，同时要满足问题中的一些限制条件，这些限制条件称为线性规划问题的约束条件，在本例中约束条件为：，。 这样，这个问题的数学模型可写成 （2） 对约束条件的线性不等式，可以 通过适当添加新变量，使其转化为线性等式，如（2）式可转化为 这种形式称为线性规划问题的标准形式。 按照线性方程组的方法可求解：得到对应的同解方程组 所以方程的通解为： （）当时，得到方程组的一个特解 ，则目标函数值为S=4300+2400=2000 可以证明，当，时，目标函数值达到最大值。应用三 矩阵特征值在种群繁殖中的应用利用矩阵的对角化方法可以简化方阵的乘幂运算。现在，更进一步，可以用此方法解某些递归关系式。意大利数学家Fibonacci在1202年所著算法之书中，提出了这样一个问题：有小兔一对，第二个月成年，第三个月产下小兔一对，以后每个月都生产一对小兔。而所生的小兔也在第二个月成年，第三个月开始每月生产一对小兔。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有几对小兔？解：根据题设可知，从三月份开始，每月的兔子总数恰等于它前面两个月的兔子总数之和，按此规律可写出数列：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12兔子对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144可见一年后的兔子有144对。将此有限项数列按上述规律写成无限项数列就叫做 Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。Fibonacci数列可用递推关系式表示： ，n=1，2， （3）其中，。为了求出通项，我们将（3）式写成 即，若记，则有 ，n=1，2， （4）由此可得 ，n=1，2， （5）于是求的问题就归结为求的问题。解特征方程，即可得特征值 ， （6）将，代入方程组，可得相应的特征向量 ，记，则于是 ，所以，注意到，从而 将（6）式代入上式，有 应用四 矩阵在投入产出模型中的综合应用投入产出分析是线性代数理论在经济分析与管理中的一个重要应用，它从数量上考察经济系统内部各部门间生产和分配的线性关系。投入产出分析是美国哈佛大学教授列昂节夫（Leontief）在20世纪30年代提出的一种数量经济分析方法，通过编制投入产出表，运用矩阵和线性方程组的方法，通过电子计算机的运算，来揭示国民经济各部门的内在联系。因此获得1973年诺贝尔经济学奖。投入产出分析方法以表格形式反映经济问题，比较直观，便于推广应用，因此已成为一种应用较广的数量分析方法，无论是国家、地区、部门还是企业都可以应用。投入产出模型是一种进行综合平衡的经济数学模型，它是研究某一经济系统中各部门之间的“投入”与“产出”关系得线性模型，它通过投入产出表来反映经济系统中各部门之间的数量依存关系。一、价值型投入产出数学模型经济系统是由许多经济部门组成的一个有机总体，每一经济部门的活动，可以分为两个方面：一方面，作为消耗部门，为了完成其经济活动，需要供给它所需要的物质，叫做投入；另一方面，作为生产部门，把它的产品分配给各部门作为生产资料或提供社会消费和留作积累，叫做产出。我们把一个经济系统分成n个物质生产部门，将这n个部门同时作为生产（产出）部门和消耗（投入）部门，按一定顺序列出一张表称为投入产出表。投入产出表分为实物型表和价值型表两种类型。实物型表采用实物计量单位编制，其特点是经济意义明确，适合于实际工作的需要；价值型表采用货币计量单位编制，其特点是单位统一，适合于对经济系统进行全面的分析研究。我们按统一货币计量单位编制的投入产出表，称为价值型投入产出表，如表7所示。将投入产出表及由此得出的平衡方程组，统称为投入产出数学模型。 表7 价值型投入产出表 产出投入消耗部门最终产品总产品1 2 n消费积累合计生产部门11nx11 x12 x1nx21 x22 x2n xn1 xn2 xnny1y2ynx1x2xn新创造的价值报酬利润合计v1 v2 vnm1 m2 mnz1 z2 zn总产品价值x1 x2 xn注：xi（i=1,2,n）表示第i个生产部门的总产品或相应消耗部门的总产品价值。在表1中，由双线将表分成四部分，左上角（）部分由n个部门交叉组成。其中xij称为部门间的流量，它既表示第j个部门消耗第i个部门的产品数量，也表示第i个部门分配给第j个部门的产品数量。这部分反映了各部门之间的生产技术联系，它是投入产出表的最基本部分。表中右上角（）部分反映各生产部门从总产品中扣除生产消耗后的最终产品的分配情况，其中yi表示第i个部门的最终产品。表中左下角（）部分反映各部门的新创造价值，它包括劳动报酬、利润等。其中vj, mj, zj分别表示第j个部门的劳动报酬、利润和净产值。 zj= vj+ mj （j=1,2, ,n） （7）表中右下角（）部分反映国民收入的再分配情况，如非生产部门工作者的工资、非生产性事业单位和组织的收入等。由于再分配过程非常复杂，故常常空出不用。表1中（）、（）部分的每一行有一个等式，即每一个生产部门分配给各部门的生产消耗加上该部门的最终产品等于它的总产品，可用方程组 （8）表示，或简写为 （） （9）称式（8）或（9）为分配平衡方程组。表1中（）、（）部分的每一列也有一个等式，即每一个消耗部门对各部门的生产消耗加上该部门新创造的价值等于它的总产品价值，可用方程组 （10）表示，或简写为 （） （11）称式（10）或（11）为消耗平衡方程组。一般地 （） （12）即第k部门的总产出等于第k部门的总投入，且 ，即整个经济系统的最终产品价值等于该系统新创造的价值，但 （）即 （） 例1 设三个经济部门某年的投入产出情况如表8所示 表8 投入产出 （单位：万元） 产出投入消耗部门最终产品 总产品 生产部门 196 102 70192 x1 84 68 42146 x2 112 34 28106 x3新创造的价值 z1 z2 z3 总产值 x1 x2 x3求：（1）各部门的总产品x1，x2，x3； （2）各部门新创造价值z1，z2，z3。解：（1）将表2中xij，yi的值代入分配平衡方程组 （）得 即三个部门的总产品分别为560万元，340万元，280万元。（2）将表2中xij的值和（1）中所求xj的值代入消耗平衡方程组 （）得 即三个部门新创造的价值分别为168万元，136万元，140万元。二、直接消耗系数：为了确定经济系统各部门间在生产消耗上的数量依存关系，我们引入直接消耗系数的概念。定义1 第j部门生产单位价值产品直接消耗第i部门的产品价值量，称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作,即 （） （13）直接计算可求得例1中第部门每生产一个单位价值产品要消耗第个部门的产品价值量为 同理可求得，,。直接消耗系数是以生产技术性联系为基础的，因而是相对稳定的，通常也叫做技术系数。各部门之间的直接消耗系数构成的n阶矩阵 ，称为直接消耗系数矩阵（或技术系数矩阵）。经上述计算可知例1中所示系数的直接消耗系数矩阵为 直接消耗系数具有下列性质：性质1 （） （14）性质2 （） （15）三、投入产出分析：1.分配平衡方程的解：将 （）代入分配平衡方程组（8）得 （16）设 ，则方程组（15）可写成矩阵形式 或 （17）其中，A为直接消耗系数矩阵。定理1 如果n阶方阵具有以下性质：（）及（），那么，方程，当为已知且为非负时，存在非负解 （18）根据定理1，关系式（17）和（18）建立了分配平衡方程组总产量与最终产品之间的关系，若已知，中的某一个，就可以由式（17）或（18）求出另外一个。例2 已知三个部门在某一生产周期内，直接消耗系数矩阵为 （1）已知三个部门的总产值分别是200亿元，240亿元，140亿元，求各部门的最终产品；（2）已知各部门的最终产品分别为20亿元，10亿元，30亿元，求各部门的总产值。解：（1）已知，将，代入得 即各部门的最终产品分别为30亿元，8亿元，34亿元。（2）已知，将，代入，其中 于是 所以各部门的总产值为160.93亿元，201.99亿元，118.54亿元。2.消耗平衡方程组的解：将 （）代入消耗平衡方程组（11）得 （）于是当（）为已知时，可求出新创造的价值 （） （19）当（）为已知时，可求出总产品价值 （） （20） 在例2中，已知三个部门的总产品价值分别为200亿元，240亿元，140亿元时，根据（19）可求出三个部门新创造的价值，分别是 ， ， 。 3.完全消耗系数：经济系统各部门之间的生产与消耗，除了直接消耗外，还有间接消耗。如汽车制造需要消耗电力、钢铁、橡胶等，而生产钢铁和橡胶也需要消耗电力，又生产钢铁需要矿石，生产矿石也需要电力，。依此类推，汽车制造部门对电力的消耗包括直接消耗和一次（透过钢铁）甚至多次（透过矿石）的间接消耗。我们把第j部门生产产品时，通过其他部门间接消耗第i部门的产品，称为第j部门对第i部门的间接消耗。直接消耗与间接消耗之和称为完全消耗。由，令（），则 可写成 （21）由式（21）可以看出，当增加一个单位产品时，相应增加，个单位产品，所以第一部门实际增加的消耗为个单位产品，同理，当增加一个单位产品时，相应增加，个单位产品，所以第二部门实际增加的消耗为个单位产品，其余类推。我们把矩 称为完全消耗矩阵，记作，矩阵中的元素叫做完全消耗系数。由 知 （22）完全消耗系数全面地反映了各部门之间相互依存、相互制约的关系。利用完全消耗系数可以分析最终产品与总产品的关系。根据关系式（22）有 那么分配平衡方程组的解 （23）若已知报告期的完全消耗系数及计划期的各部门最终产品，可由式（23）求出各部门的总产品。 例3 一个经济系统有三个部门，下一个生产周期的最终产品为：部门60亿元，部门70亿元，部门60亿元，该系统的完全消耗系数矩阵为 ，问各部门的总产品要达到多少才能完成计划？解：因为 由式（23）有 即、部门应完成的总产品分别为100亿元，200亿元和100亿元。 四、投入产出数学模型的应用： 投入产出数学模型常用于分析经济系统的部门结构和各类比例关系，制定或调整经济计划，研究价格变动的影响以及预测就业水平等各个方面。下面仅介绍投入产出数学模型在经济计划方面的应用。 1.在经济预测中的应用：假定根据例1所示经济系统得生产发展状况，预计该系统三个部门的计划期总产品将在报告期总产品的基础上分别增长10%、12%、8%。由于在生产过程中系统内部存在着复杂的产品消耗关系，故一般说来，各个部门最终产品的增长幅度与总产品的增长幅度并不一致。为此，可利用投入产出数学模型对该系统计划期最终产品的增长情况进行预测。将该系统的计划期总产品和最终产品分别记为和。根据表8中报告期总产品数据以及预计的计划期总产品增长幅度，该系统三个部门的计划期总产品应分别为：部门：部门：部门： 由（23）式得 即 由此可对该系统三个部门的计划期最终产品及其相对于报告期最终产品的增长幅度作出预测：部门：，增长9.7% ；部门：，增长14.3% ；部门： ，增长4.6% 。有了以上的预测结果，就能对该系统的计划期最终产品和实际需求是否相符有一个事先的了解或估计，避免出现大的偏差。2.在制定计划中的应用：投入产出数学模型为合理制定经济系统各部门的生产计划提供了一套科学方法。即根据以社会需求确定社会产品的原则，先通过对计划期需求量的调查或预测，确定系统各个部门的最终产品，再利用投入产出数学模型相应推算出各个部门的总产品，在此基础上编制出经济系统的计划期投入产出表，作为安排各个部门计划期生产活动的依据。例4 设某经济系统三个部门报告期的投入产出如表9所示，并且该系统的生产技术条件不变。如果该系统三个部门的计划期最终产品分别确定为，试编制该系统的计划期投入产出表。 表9 投入产出 单位：亿元 产出部门间流量投入消耗部门最终产品 总产品农业 工业 服务业生产部门农业 196