立体几何专题复习.doc

立体几何专题复习一、2011年高考预测从近几年各地高考试题分析，三种题型都有立体几何题目，一般是一个解答题，1至3个填空或选择题并且以立体几何的内容为载体，首创了“开放题”，“类比题”。解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。 高考对立体几何的考查侧重以下几个方面： 1、从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变.除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作证求”，强调作图、证明和计算相结合。、从内容上来看，主要是：考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。 、从方法上来看，着重考查公理化方法，如解答题注重理论推导和计算相结合；考查转化的思想方法，如经常要把立体几何问题转化为平面几何问题来解决；考查模型化方法和整体考虑问题、处理问题的方法，如有时把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握形体，巧妙地把问题解决；考查割补法、等积变换法，以及变化运动的思想方法，极限方法等。 、从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：会画图根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；会识图根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；会析图对图形进行必要的分解、组合；会用图对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。 二、解题注意点1、我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“是我们所要求的角”、“线段AB的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、用向量来求两条异面直线所成角时，若求出cosx，则这两条异面直线所成的角为arccos|x|4、在求直线与平面所成的角、求二面角的时候，注意所求角与求出的角的关系。【小结】 解题口诀：立体几何点线面，做图识图鬼门关；理解概念和定理，定性定量分清楚；判定方法要清晰，计算之前作和证；审题一定要仔细，学会分析找思路；三种语言莫含糊，表述要过四大关；要用空间坐标系，选定原点和三轴；点的坐标莫写错，以免错误丢分数；转化思想解问题，回归课本要牢记；善于思考和勤问，观察想象常推理。第一讲 基本题型分析考点一、判断线面关系1、 设为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若若若其中真命题的序号是（ C ）ABCD2、设有如下三个命题：甲：相交直线、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时，( C )A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件3、如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（B ）A60B48C36D244、下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中真命题的编号是_5、P为所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所的角均相等，又PA与BC垂直，那么的形状可以是 。正三角形等腰三角形非等腰三角形等腰直角三角形解：由题意可知的外心在BC边的高线上，故一定有AB=AC选（1）（2）（4）。6、如图，正方体，则下列四个命题：在直线上运动时，三棱锥的体积不变；在直线上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；在直线上运动时，二面角的大小不变；M是平面上到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是过点的直线其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）7、已知二面角，直线，且a与l不垂直，b与l不垂直，那么（B ） Aa与b可能垂直，但不可能平行 Ba与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行 D.a与b不可能垂直，也不可能平行8、若平面，则下列命题中的假命题为（D ）A过点P垂直于平面的直线平行于平面 B过点P在内作垂直于l的直线垂直于平面 C过点P垂直于平面的直线在平面内D过点P垂直于直线l的直线在平面内9、（2009江西卷理）如图，正四面体的顶点，分别在两两垂直的三条射线，上，则在下列命题中，错误的为 答案：BA是正三棱锥 B直线平面 C直线与所成的角是 D二面角为 w .w.w. 【解析】将原图补为正方体不难得出B为错误，故选 B 10、（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是 A. B. C. 直线 D. 直线所成的角为4511、（2009浙江卷理）如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 答案： 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.考点二、求角与距离1、一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45，则这一正四棱锥的斜高等于（ B ）A2B2C4D22、在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，ab，E、F分别是AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，当时，二面角CEFB的平面角的余弦值等于（ C ） 3、.（2009全国卷理）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）（A） （B） （C） (D) 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D A0 B C D4、（理用）（2009全国卷理）已知二面角-l-为 ，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）(A) (B)2 (C) (D)4 解:如图分别作 ，连，又当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。 5、已知一个正四棱锥的各棱长均相等，则其相邻两侧面所成的二面角的大小为 （ D ） (A)arcos (B)arcsin(-) (C)arctan() (D)arccot()6、把边长为的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（D ）（A） （B）（C） （D）7、底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱ABCDAlBlClDl的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AAl的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O截得线段长为( D )A、 B、 C、 D、 8、在直角坐标系中，设A（3，2）B（-2，-3），沿y轴把直角坐标系平面折成120的二面角后，AB的长度是（ D）9 在三棱锥中，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到点，则蚂蚁经过的最短路程是 考点三、面积、体积问题1、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（C ）ABCD2、在正三棱锥SABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AMMN，若侧棱长SA=，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为 （A ）A9 B12 C16 D323、四面体的外接球球心在上，且，在外接球面上两点间的球面距离是（C）A BCD4、如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD的点A作截面AB1C1D1而截得的，且BB1=DD1.已知截面AB1C1D1与D1DABB1CC1底面ABCD成30的二面角，AB=1， 则这个多面体的体积为 （ D ）ABCD5、已知四面体中，与间的距离与夹角分别为3与，则四面体的体积为 （ A）（A） （B）1 （C）2 （D）ABDCA1D1C1B1PQ图16、如图1，在棱长为的正方体中， P、Q是对角线上的点，若，则三棱锥的体积为 （ A ）A B C D不确定7、（理用）四面体的一条棱长为，其它各棱长为，若把四面体的体积表示成的函数，则的增区间为 ，减区间为 8、（2009全国卷文）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 答案：8考点四、截面与轨迹 1、棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ） A B C DA解析：S=123+412=。2、已知长方体ABCDA1B1C1D1中，E在平面D1DCC1上运动且BE/平面AB1D1，则动点E的轨迹是 （B ）A一个圆B一条直线C一个椭圆D一个抛物线3、在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ B ）（B）（D）（C）（A）4、已知长方体ABCDA1B1C1D1中，E在平面D1DCC1上运动且BE/平面AB1D1，则动点E的轨迹是 （B ）A一个圆B一条直线 C一个椭圆D一个抛物线ABCDP5、如右图所示，ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD.点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC.则点M在正方形ABCDABCDABCDABCDCDAB内的轨迹为 （A ）6、平面、两两互相垂直，点，点A到、的距离都是3，P是上的动点，P到的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值是 （ A） A BC D7、如图3，在正方体1111中，为中截面的中心，则在该正方体各个面上的射影可能是_（要求：把可能的图的序号填上）图3A1B1C1D1ABCDP 8 .平面的一条斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ A ）A.一条直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线的一支第二讲 空间角与距离1、(理)如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，BAD60，再在的上侧，分别以与为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，APB90（1）求证：PQBD；（2）求二面角P-BD-Q的余弦值；（3）求点P到平面QBD的距离；2、在五棱锥中， （1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）求点C到平面PDE的距离.3、已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F为CD的中点. （）求证：AF平面CDE； （）求异面直线AC，BE所成角余弦值； （）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.4、如图al是120的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，DAB=90，C在内，ABC是等腰直角三角形ACB=（1） 求三棱锥DABC的体积；（2）求二面角DACB的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. 5(文理)四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角的正弦值 6.（文理）如图，在直三棱柱中， ，分别为棱的中点，为棱上 的点，二面角为（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离7、（文） 如图所示，AF是O的直径，AD与圆所在的平面垂直，AD=8，BC也是O的直径，AB=AC=6，OE/AD，且OE=AD。 （1）求二面角BADF的大小； （2）求直线BD与EF所成的角。PABCDD1A1B1C1114418、（文） 如图，是正四棱锥,是正方体，其中（）求证：；（）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（）求到平面的距离9、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为a，P为A1B上的点。 （1）试确定的值，使得PCAB； （2）若，求二面角PABC的大小； （3）在（2）条件下，求C1到平面PAC的距离。2,4,610、（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（）证明：直线垂直且平分线段AD：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。【解析】(1)由于EA=ED且点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.又ABCD是四方形线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点EF都居线段AD的垂直平分线上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以,直线EF垂直平分线段AD.(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分.设AD中点为M,在RtMEE中,由于ME=1, .ABCD又BCF=VCBEF=VCBEA=VEABC多面体ABCDEF的体积为VEABCDVEBCF=11、（2009江西卷文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离12、（2009江西卷理）（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.13、（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（）问7分，（）问6分）如题（18）图，在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面角的正切值第三讲 折展问题1、如图1所示，在边长为12的正方形中，点、在线段上，且，作，分别交、于点、，作，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱（）在三棱柱中，求证：平面；（）求平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比；（）在三棱柱中，求直线与直线所成角的余弦值2、已知正方形 、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为 (I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在 平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值 3、如图（1）所示，直角梯形有ABEF中，ABBCCEDA1，DF2，将ABEF沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成图（2）所示的一个空间图形。 求证：直线； 求二面角的大小。若F，A，B，C，D五点在同一个球面上，求该球的表面积。（四川乐山）4、 如图，在梯形ABCD中，CD/AB，AD=DC=CB=AB=a，E是AB的中点，将ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，设二面角P-DE-C的大小为a.（1）不论a的大小如何，求证DEPC（2）若a90120，求点E到平面PBC的距离d的取值范围.5.（2009福建卷文）（本小题满分12分）如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （）求三棱锥的侧面积。（I）证明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）解：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面