勒让德函数.doc

在特殊函数中的应用1 作出0-4阶勒让德函数图形x=0:0.01:1;y0=legendre(0,x);y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x); plot(x,y0(1,:),g*,x,y1(1,:),b+,x,y2(1,:),ro,x,y3(1,:),k:,x,y4(1,:),r:) legend(P_0,P_1,P_2,P_3,P_4);title(Legendre)（仿真结果）2 作出二阶连带勒让德函数图形x=0:0.01:1;y=legendre(2,x);plot(x,y(1,:),g*,x,y(2,:),b+,x,y(3,:),ro) legend(P_20,P_21,P_22)3 作出三阶连带勒让德函数图形x=0:0.01:1;y=legendre(3,x);plot(x,y(1,:),g*,x,y(2,:),b+,x,y(3,:),ro,x,y(4,:),k:)legend(P_30,P_31,P_32,P_33)4 作出整数阶贝塞尔函数的图形cleary=besselj(0:5,(0:0.2:10);plot(0:0.2:10),y)ylabel(j_v(x)xlabel(x)legend(J_0,J_1,J_2,J_3,J_4,J_5)text(1,0.8,J_0(x)text(2,0.6,J_1(x)text(3,0.5,J_2(x)text(4.2,0.4,J_3(x)text(5.1,0.4,J_4(x)text(6.5,0.4,J_5(x)Legendre函数2007年12月13日 星期四 01:00Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。1. 氢原子波函数的角度部分：用MATLAB来画一画：l=0,m=0，即s轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y0n=legendre(0,cos(t),sch);polar(t,y0n(1,:).2);l=1,m=0,+1,-1 即p轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y1n=legendre(1,cos(t),sch);polar(t,y1n(1,:).2,r);hold on;polar(t,y1n(2,:).2,g);l=2,m=0,+1,-1,+2,-2 即d轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y2n=legendre(2,cos(t),sch);polar(t,y2n(1,:).2,r); %d(z2)hold on;polar(t,y2n(2,:).2,g); polar(t,y2n(3,:).2,b);Legendre多项式 函数 （7.12） 由于展开式 （7.13） 而称为Legendre（勒让德）多项式的母函数。展开项系数 称为Legendre多项式，下节将证明它满足Legendre方程式（7.11）。称为阶。 将式（7.13）左边利用二项式定理展开，有 在上式中，含有 的项只出现在含 的项和以前各项中。在这些项中，将含 的各项展成幂级数，并找出所有含 的项，其系数合为 （7.13） 其中， 这是因为当 时，求和中最低幂项是 ，当 时，最低幂项是 。Legendre多项式的具体形式写成 （7.14） Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues（洛德利格）公式 （7.15） （7.14）式和（7.15）的正确性可以代入Legendre方程式（7.11）直接证明。 由式（7.14）和（7.15）可得出前几阶Legendre多项式具体形式 图7.1显示 在区间1，1上的图形，一般有 图7.1 Legendre函数第二类Legendre函数 值得一提的式，Legendre方程（7.11）应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre函数，记为 。其形式为 等一般的形式是 由于 的对数形式，第二类Legendre函数在边界 是无界的（并非全部 ）。因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对 将不在作讨论。 Legnedre多项式的零点 的零点都是一阶的，全部位于区域1，1内。且 与 的零点相互穿插，在 的两个相邻零点之间必有一个 的零点；反之亦然。 2.3 Legnedre多项式的性质 Legendre多项式的性质如下： 递推公式 (7.16) (7.17) (7.18) (7.19) (7.20) 对称性 (7.21) 特殊点的值 (7.22) (7.23) (7.24) 积分表达形式 (7.25) Laplace第一积分 (7.26) 取 ，由式（7.26）得 取 ，由式（7.26）得 (7.27) Laplace第二积分 (7.28) 积分公式 （7.29） （7.30） （7.31） 利用Rodrigues公式（7.15）可证明积分公式，下面证明方程（7.31）。利用式（7.15），有 将积分作 次分部积分，然后设 ，并利用积分公式 得 下面由母函数入手，证明Legendre多项式得递推公式，将母函数式（7.12）写下 （7.12） 对式（7.12）两边取 导数，得 用 乘上两边，得 将上式左边中母函数再作展开，得等式 （7.32） 比较（7.32）式两边项得系数，得递推关系。 这是式（7.20）的结果。 同理，对式（7.12）两边的求导，得 将上式两边乘以 ，并将左边母函数展开，得 （7.33） 比较 项的系数，得 这就是式（7.19）。其它递推公式可依此导出，这里不再证明。 利用母函数，已证明Legendre式多项式（7.14）满足递推公式（7.16）（7.20），则式（7.14）是Legendre方程（7.11）的解。下面证明定理。 定理 设函数是 在1，1区间上有一、二阶连续倒数的连续函数， 若 满足递推公式（7.16）和式（7.17）（7.20） ， 则 是Legendre方程 的解。 将递推公式（7.16）两边对 求导，得 （7.34） 再将式（7.16）乘以 ，得 （7.35） 将式（7.34）乘以 ，并与式（7.35）相加，得 （7.36） 由式（7.17），将 换 成，有 （7.37） 将式（7.37）两边对 求导，得 （7.38） 或写成 （7.39） 将式（7.39）代入式（7.36），得 （7.40） 再由式（7.16）将式（7.40）中的 项替代，最后，得到Legendre方程 2.4 FourierLegendre级数 第6章1.3讨论了区间1，1上，Legendre方程的本征值为 （7.41） 相应的本征函数是Legendre多项式 （7.42） 由Legendre方程（7.11）知 ， 。在 边界， 因而Legendre方程的解满足自然边界条件，因而有本征函数正交性 （7.43）第6章1.4还讨论了函数 在区间1，1上用Legendre函数展成的广义Fourier级数，称为FourierLengendre级数。 模 计算如下：将母函数式（7.12）两边平方，得 （7.47） FourierLengendre级数展开定理 若在区间1，1上连续，或有限第一类间断点，那么，FourierLengendre级数 （7.44） 其中 （7.45） （7.46） 在1，1上的连续点收敛于 ；在 的间断点，则收敛于平均值 ；在 ，收敛于 ；在 ，级数收敛于 。 将方程（7.47）两边对 从1到1积分，并利用正交关系式（7.43）可知式（7.47）右边的第二项积分等于零。于是，有 （7.48） 式（7.48）左边的积分可完成为 （7.49） 将式（7.49）与式（7.48）的右边相比较，得 【例7.1】在1，1区间上，试求 展成FourierLengendre级数。 解 设 根据积分公式（7.30）可知，当 时，所有积分等于零，即 利用式（7.29），计算得 （被积函数是奇函数） 于是有 由上述计算可得出以下结论：在的FourierLengendre级数中，若是奇数，只含奇数阶Lengendre多项式；若为偶数，只含偶数阶Lengendre多项式。且Lengendre多项式的阶数最高阶为。 下面列出部分的FourierLengendre多项式的阶数： 2.5具有轴对称性的物理问题举例 由本章1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。把对称轴取作求坐标的轴，Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为 （7.50） Laplace方程描写的轴对称问题的形式解： (7.51) 对于球内问题，有 对于球外问题， 应为零。 【例7.2】半径为的均匀带电圆环，总电量为 ，如图7.2，求圆环周围空间的电势。 图 7.2 带电的圆环解 先由Coulomb（库仑）定律求在 轴上的电势， （7.52） 将式（7.52）作Laurant（罗朗）展开，得 （7.53） 势（7.53）可看成是形式解（7.51）在 的边界条件。比较两式，且有 ，得 【例7.3】半径为的半球导体，球面温度保持在，底面温度保持为，如图7.3，求半导体球内的稳定温度分布。 图7.3 半圆形导体解 稳定时，导体内的温度分布满足Laplace方程。温度分部具有轴对称性。对于球内问题，由式（7.51）有 （7.54） 边界条件是 （7.55） （7.56） 由式（7.55），有 显然，只有当 为奇数 时才有 。因而，式（7.54）成为 （7.57） 由式（7.56），有 利用FourierLegendre级数展开定理，有 （7.58） 最后一步积分是利用习题7.2第3 题的结果求得的。将式（7.58）换写成 表达式，并代入式（7.57），有 （7.59） 3* 连带LEGENDRE多项式 3.1 连带LEGENDRE多项式 上节讨论了对称的定解问题，当 时，式（7.5）转变成Legendre方程（7.10）。当物理问题是非轴对称时， 将式（7.5）写下： （7.59） 类似地，作代换，令 ，式（7.5）变成连带Legendre方程 （7.60） 式（7.60）的本征值是 ，只有当 取 等整数时，式（7.60）才有本征函数解。设 （7.61） 于是,有 将上述结果代入式（7.60）得 （7.62） 另则，由Legen