复变函数与积分变换.doc

目录第一章 复数与复变函数1第二章 解析函数3第三章 复变函数的积分5第四章 解析函数的级数表示6第五章 留数及其应用8第八章 傅里叶变换9第九章 拉普拉斯变换10第一章 复数与复变函数1复数的基本概念：复数：，称为复数单位，并规定，与是任意实数，依次称为的实部与虚部，分别表示为。2共轭复数：设是一个复数，称为的共轭复数，共轭复数的性质： 3复数的四则运算：设，是两个复数，则：加（减）法：乘法：除法：4复数的模与辐角：如果是一个不为零的复数，我们把它所对应向量的长度叫做的模，记作；把它所对应向量的方向角叫做辐角。用记号Arg 作为的辐角的一般表示，再用arg 表示的辐角中介于与之间（包括）的那一个角，并把它称为的主辐角，即 arg 。5模的性质：= =， ， ，6复数的三角表示：设是一个不为零的复数，是的模，是的任意一个辐角，则：，一个复数的三角表示不是唯一的，因为其中的辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示相等：=，则可推出，其中为某个整数。7用复数的三角表示作乘除法：乘法：除法：8复数的乘方与开方：设是一个复数，是一个正整数，则：设，则复数开方有：9平面曲线：以坐标原点为中心，以为半径的圆周，写成复数的形式为： 10复变函数：设是复平面上的一个点集，如果对于中任意的一点，有确定的（一个或多个）复数和它对应，则说在上定义了一个复变函数，记作。11复变函数的极限与连续性：设函数，则的充要条件是，函数在处连续的充要条件是与在处连续12在有界闭区域上的复连续函数，具有下列几个性质：有界闭区域上的连续函数是有界的有界闭区域上的连续函数，在上其模至少取得最大值与最小值各一次有界闭区域上的连续函数，在上是一致连续的第二章 解析函数1复变函数的导数：2解析函数：如果在及的领域内处处可导,则称在处解析;如果在区域内每一点解析,则称在内解析,或说是内的解析函数;如果在处不解析,则称为的奇点。函数在一点处解析，则一定在该点可导，但反过来不一定成立；函数在区域内解析与在区域内处处可导是等价的。解析函数的求导法则：（）四则运算法则：设和都是区域上的解析函数，则：（）复合函数的求导法则：设，则有：函数解析的充分必要条件：函数在处可导的充分必要条件是在点出可微，且满足柯西黎曼方程（方程）：调和函数：如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。定理：设函数在区域内解析，则的实部和虚部都是区域内得调和函数。对于函数，其中的和的求法：初等函数：（）指数函数：对于复数，称为指数函数。 欧拉公式：性质：设，则是以为周期的函数，即：复变量指数函数当趋向于时没有极限（）对数函数：，令，则：性质：运算性质：，解析性：的各分支在除去原点及负实轴的平面内也解析，且有相同的导数值。（）幂函数：（为复常数，）性质：当为正整数时，是一个单值函数当为零时，当为有理数（与为互质的整数，）时，当为无理数或复数时，（）三角函数：函数与分别称为复变量的余弦函数与正弦函数，记作与，即：；性质：与均为单值函数 与均为以为周期的周期函数 为偶函数，为奇函数 ； 与在复平面上均为解析函数，且第三章 复变函数的积分1定理：设在光滑曲线上连续，则它的积分：2设曲线的参数方程为 ，则解析函数的积分就变成：3圆的参数方程：，则积分4复积分的基本性质: ,其中5柯西积分公式：设在简单闭曲线所包围的区域内解析，在上连续，是内任一点，则6解析函数的高阶导数：第四章 解析函数的级数表示1定理：设，则的充分必要条件是，2复数项级数：，部分和序列：如果极限存在，则称级数是收敛的，称为级数的和；如果没有极限，级数发散3定理：级数收敛的充分必要条件是级数和级数都收敛4定理：级数收敛的必要条件是：；若，则级数必然发散5定理：如果收敛，则也收敛6复变函数项级数：7幂级数：，或者：8定理：若幂级数在处收敛，那么该级数对任意满足的都绝对收敛；在处发散，则该级数对任意满足的都发散9定理：对幂级数，如果下列条件之一成立：（1） （2） ，那么级数收敛。收敛半径：10幂级数和函数性质：若幂级数的和函数在收敛圆内解析，则在收敛圆内可逐次求导和逐次积分，即：11泰勒级数：设函数在圆盘内解析，则在内的泰勒级数展式为：12迈克劳林展开式：在泰勒级数的基础上取，则有：13基本泰勒展式： 14洛朗级数（含有负指数幂）： （式）它可以分为： （式）和 （式）性质：若式的收敛半径为，则当时，式绝对收敛；若式的收敛半径为，则当时，式绝对收敛，式的收敛性如下：（1） 若，那么级数同时在圆环内收敛，从而级数在该圆环内收敛；（2） 若，级数处处发散；（3） 若，则级数可能收敛，也可能发散15定理：设函数在圆环上解析，则在内有：，其中第五章 留数及其应用1孤立奇点：在处不解析，但在的某一个去心邻域内处处解析，则称为的孤立奇点2孤立奇点的分类：（1）可去奇点：当时，有，则称为函数的可去奇点，此时洛朗展式为（2）极点：对于分子式的函数，若该函数的分母的阶导数，使得将孤立奇点代入阶导数后不为零，则称是该函数的阶极点（3）本性奇点：若得洛朗展式有无限个，则称为函数的本性奇点3定理：设在内解析，则是的可去奇点，极点本性奇点的充要条件是：；不存在也不为无穷大4留数：设在内解析，而是的孤立奇点，作圆，称 为函数在处的留数，记作即： 5留数的求法：（1）当为的可去奇点时，（2）当为的本性奇点时，只能通过的洛朗展式来求（3）当孤立奇点为的极点时，有：如果为的简单极点（一阶极点）时，若，其中，则有：如果为的阶极点，则：6留数定理：设有有限个孤立奇点：，则：第八章 傅里叶变换1定理：设是以为周期的实值函数，且在上满足狄氏条件：连续或只有有限个第一类剪短点；只有有限个极值点，则有：其中2傅氏积分定理：如果在上的任一有限区间满足狄氏条件，且在上绝对可积（即），则有：3.傅里叶变换：傅里叶逆变换：4单位冲击函数（函数）：定义： 定义5单位冲击函数的性质：（1）对任意连续函数有： ；（2）函数为偶函数，即（3）相似性质：设为实常数，则有：（4）函数是单位阶跃函数的导数。单位阶跃函数：6函数的傅氏变换：第九章 拉普拉斯变换1拉普拉斯变换：设函数是定义在上的实值函数，如果对于复