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年 级高三学 科数学版 本苏教版（文）内容标题高三第一轮复习：双曲线编稿老师杨行保【本讲教育信息】一、教学内容：双曲线高考要求：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。二、知识要点1、双曲线的两种定义（1）平面内与两定点F1，F2的 常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线注：当2a|F1F2|时，p点的轨迹是 2a|F1F2|时，p点轨迹不存在（2）平面内动点P到一个定点F和一条定直线l （F不在l上）的距离的比是常数e，当 时动点P的轨迹是双曲线设P到的对应准线的距离为，到对应的准线的距离为，则2、双曲线的标准方程（1）标准方程：，焦点在 轴上；，焦点在 轴上其中：a 0，b 0， （2）双曲线的标准方程的统一形式：3、双曲线的几何性质（对进行讨论）（1）范围： ， （2）对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 （3）顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 （4）离心率= ，且 ，越大，双曲线开口越 ，越小，双曲线开口越 ，焦准距P （5）焦半径公式，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线右支上任意一点， ， ，若是双曲线左支上任意一点， ， （6）具有相同渐近线的双曲线系方程为 （7） 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 （8）的共轭双曲线方程为 【典型例题】例1、根据下列条件，写出双曲线的标准方程（1）中心在原点，一个顶点是（0，6），且离心率是1.5（2）与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M（2，2）（3）已知双曲线的渐近线方程为，且过点（2，6），求双曲线的方程；（4）已知双曲线的右准线为x4，右焦点为F（10，0），离心率为e2，求双曲线的方程解：（1）顶点为（0，6），设所求双曲线方程为 又 故所求的双曲线方程为（2）令与双曲线x22y22有公共渐近线的双曲线为x22y2k 双曲线过M（2，2） 424k 得k4 x22y24即（3）设（4）例2、中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程答案：例3、可以证明函数（b0）的图象是双曲线，试问双曲线C：的离心率e等于 答案：（提示：）解：列表如下：x0y00y极大值2无意义极小值2根据上表，可作出的草图如下：渐近线有两条，一条为y轴，另一条可设为ykx由渐近线的意义知：设P（x，y）为双曲线上任一点，则点P到渐近线ykx的距离为d显然： 即故双曲线的离心率.例4、直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由解：（1）将ykx1代入2x2y21后并整理得：（k22）x22kx20依题意有：2k（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由得：x1x2，x1x2 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0），则FAFB，因此0即（x1c）（x2c）y1y20 又y1kx11，y2kx21（k21）x1x2（kc）（x1x2）c210 把及c代入得：5k2k60解得：k（2，）或k（2，）（舍去）因此当k时，符合题给要求例5、在双曲线的一支上有不同的三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3）与焦点F（0，5）的距离成等差数列（1）求y1y3；（2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标解：（1）依题意，A、B、C均在双曲线的上支，则|AF|ey1， |BF|6e， |CF|ey3|AF|，|BF|，|CF|成AP 6e 即y1y312（2）A、C在双曲线上，两式相减得：于是AC的垂直平分线方程为：y6即yx故直线恒过定点（0，）例6、一双曲线以y轴为其右准线，它的右支过点M（1，2）， 且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列试求：（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的右焦点F的轨迹方程；（3）过点M，F的弦的另一端点Q的轨迹方程解：（1）依题意，2a=b+c， b2=（2ac）2 = c2a2， 5a24ac=0， 两边同除以a2，得；（2）设双曲线的右焦点F（x，y）， 由双曲线的定义，点M到右焦点的距离与点M到准线的距离之比为e=， =， F的轨迹方程为（x1）2+（y2）2=（3）设Q（x，y）， 点Q到右焦点的距离与点Q到准线的距离之比为5/4，|QF|=， 又设点F（x1，y1）， 则点F分线段QA的比为=：= x ，x1= ， y1= ， 代入（x11）2+（y12）2=整理得：点Q的轨迹方程为 9x216y2+82x+64y55=0例7、若、为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支，在右准线上，且满足，（1）求双曲线离心率；（2）若双曲线过点N（2，），它的虚轴端点为，（在轴正半轴上）过作直线与双曲线交于A、B两点，当时，求直线的方程。（1）解：由得点P在MOF1的角平分线上。且，得四边形OMPF1为菱形。PM=OM=c，得（2）由（1）知双曲线方程可设为：将点N（2，）代入得双曲线方程为。将其与直线联立消去y得：设，当时得，。故所求直线l的方程为：例8、已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知点D（0，3），点M、N在动点p的轨迹上且，求实数的取值范围解：（1）由题意得：C25设|PF1|PF2|2a （a）则由余弦定理有：cosF1PF2又|PF1|PF2|当且仅当|PF1|PF2|时，|PF1|PF2|取最大值此时，cosF1PF2取得最小值令又c b24故所求P的轨迹方程为（2）设N（s，t），M（x，y）则由可得：（x，y3）（s，t3）故M、N在动点P的轨迹上 且 又由| t |2 得：例9、已知等轴双曲线C：上一定点P（）及曲线C点上两个动点A、B，满足（1）M、N分别为PA、PB中点，求证：（O为坐标原点）；（2）求|AB|的最小值及此时A点坐标（1）证明：设，AP、BP中点分别M、N则，同理，则 ，则（2）解：，易知O、M、N、P四点共圆，且MN为圆的直径，OP为圆之一弦，故|MN|OP|，又AB2MN，ABMN| AB |2| OP |所求|AB|的最小值为此时| MN | OP |，则ONPM为矩形从而OMAP，且M为AP中点，则O在AP的中垂线上，由，则故A点为或小结归纳：1、复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a、b、c、e的关系2、双曲线的渐近线的探求是一个热点已知双曲线方程求渐近线方程；求已知渐近线方程的双曲线方程3、求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（由条件求参数）4、求双曲线的方程的常用方法：（1）定义法（2）待定系数法涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”5、对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断【模拟试题】（答题时间：60分钟）1、A、B是平面内两定点，动点P到A、B两点的距离的差是常数，则P的轨迹是（ ）A、双曲线B、椭圆 C、双曲线的一支D、不能确定2、（04年高考湖南卷）如果双曲线上一点p到右准线的距离等于，那么点p到右焦线的距离是（ ）A、B、13 C、5D、 3、已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为（ ）A、B、 C、D、4、（2005年高考湖南卷）已知双曲线（a0，b0）的右焦点为F，右焦线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为，（O为原点）则两条渐近线的夹角为（ ）A、30B、45 C、60D、90 5、已知双曲线，则过点A（3，1）且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有（ ）A、1条B、2条 C、3条D、4条6、（2005年江苏高考最后冲刺题）设双曲线16x29y2144的右焦点为F2，M是双曲线上任意一点，点A的坐标为（9，2），则|MA|MF2|的最小值为（ ）A、9B、 C、D、 7、中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为的双曲线方程为 8、设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为 9、（2006年高考湖南卷）过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|BC|，则双曲线M的离心率是 10、根据下列条件求双曲线方程（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点（3，2）；（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）11、双曲线的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围12、设双曲线C：与直线l：xy1相交于两个不同的点（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）设直线l与y的交点为P，且，求a的值【试题答案】1、D 2、A 3、B 4、D 5、D （提示：两切线：x3与y（x3）1及两平行于渐近线的直线）6、B 7、8、 9、10、（1）设所求双曲线方程为（0），将点（3，2）代入得，所以双曲线方程为（2）设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为111、解：设M（0）是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于到左准线的距离即，由双曲线定义可知，由焦半径公式得而，即