4.5梯形导学案(2)常见辅助线做法.doc

街子镇学校八年级数学学案4.5梯形（2）常见辅助线的做法 学案【学习目标 】学会用添加辅助线的方式将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题求解。【学习重点、难点 】 用适当的方法添加辅助线【学习过程】一、自学例题，探索规律：例1：如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm和49cm，则它的腰长为_.ABCD总结：本题添加辅助线的方法是_。例2：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求CD的长。BCAD总结：本题添加辅助线的方法是_。例3：在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，若AD=2，BC=8，BD=6，求对角线AC的长.BCADO总结：本题添加辅助线的方法是_。2、 课堂检测：1.等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰长与下底的夹角是（ ）. A.5 B.60 C.45 D.302.梯形ABCD中，ADBC，ACBD，若BD=3，AC=4，求该梯形中位线长度.BCADOBCADE3. 如图16-3-7，梯形ABCD中，ABCD，且BMCM，M是AD的中点，试说明AB+CDBC 4.在梯形ABCD中，ADBC，BAD=90，E是DC上的中点，连接AE和BE，求AEB=2CBE。 3、 知识归纳：梯形常见辅助线做法【学习反思】 【知识回顾】 知识点1 梯形的概念 梯形是学生已经认识的平面图形，之所以放在平行四边形这一章，主要是考虑到梯形经常通过划分成一个平行四边形与个三角形来解决有关问题 等腰梯形、直角梯形、梯形的定义是它们的特征，同时也可以作为识别方法，当判定一个梯形时，判定两边不平行常有困难，可以用判定平行的两边不相等的方法 梯形与平行四边形均是特殊的四边形，它们之间的区别是平行四边形的两组对边平行。梯形只有一组对边平行，而明确要求另一组对边不平行实际上平行四边形要求一组对边平行且相等梯形要求一组对边平行但不相等，所以判定一个四边形是梯形，即要说明一组对边平行，且它们不相等知识点2 解决梯形问题的基本思路 常用辅助线为图16-3-1 知识点3 等腰梯形的特征及识别 (1)特征：两底平行，两腰相等； 同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补； 两条对角线相等； 是轴对称图形 对于这些结论的得出，应引导学生通过测量、归纳与猜想来探索认识，从中体会科学发现的方法 (2)识别定义； 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形 说明：等腰梯形同一底边上的两个内角相等，不能说成“等腰梯形两底角相等” 剖析经典例题 题型一 梯形的有关计算 例1 如图16-3-2，梯形ABCD中，ADBC，B70，C40，AD6cm，BC15cm，求CD长 分析：关键是作出辅助线，将线段AD平移到BC上，再利用角度的关系找到DC=EC 解：过D作EDAB交BC于E，则DECB， 四边形ABED是平行四边形，ADBE， B70，DEC70 C40，EDC180-DEC-C70， DEC=EDC70，CDCE 又CEBC-BE=BCAD1569CD9(cm) 反思：梯形常通过作辅助线分成个平行四边形和个三角形 例2 如图16-3-3，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD，对角线ACBD，AD4cm，BC10cm，求梯形的面积 分析：欲求梯形面积必须先求高，根据已知对角线，可以作辅助线构造平行四边形和三角形，从而利用平行四边形和三角形的知识来解决问题 解：过D作DFAC交BC的延长线于F，作DEBC于E 四边形ACFD是平行四边形，DFAC, CFAD4 ACBD，ACDF，BDFBOC90 ACBD，BDDF，BFBC+CF14，DEBF7 反思：作对角线的平行线把梯形转化成平行四边形是常见的引辅助线方法同时梯形的面积也等于DBF的面积 例3 等腰梯形的两底之差为8，高为4，则等腰梯形的锐角为( ) A30 B. 45 C60 D75 分析：如图16-3-4，关键是作辅助线，将AD平移到BC上。即CF8，由于等腰CDFDE是高，所以CE=4 所以CDE是等腰直角三角形 故C=45 解：选B 拓展创新应用 题型一 拓展与创新 例1 梯形上、下底长分别是2cm和7cm，一腰长为3 cm，则另一腰x的长度取值范围是 分析：如图16-3-5：要求CD的取值情况，需先将梯形分成平行四边形与三角形，所以可求得DF3，EC5，故x的范围可在CDE中求出 解：填2cmx8cm 例2 如图16-3-6，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，E为梯形内一点，且EAED，试说明EBEC 分析：充分利用等腰梯形的对称性来解决此题特别方便 解：作AD的垂直平分线GF 四边形ABCD是等腰梯形，EF是梯形ABCD的对称轴 EAED 点E在对称轴GF上，B、C是关于GF的组对称点， EBEC 例3 分析：关键是将AB、CD转化到一条直线上去，再通过中心对称的知识将问题解决 解：延长BM交CD延长线于N点 M是AD的中点，ABCD，ABM与DNM关于点M成中心对称， ABDN，MBMN，BMCM，CBCN，CD+NDBC ABDN，AB+CDBC 反思：遇到梯形腰的中点，往往连结顶点与一腰的中点并延长交底的延长线于一点，构成中心对称的两个三角形 题型二 实践应用 分析：本题考查梯形的性质、直角三角形及矩形 解：作AECD于E，BFCD于F， ABCD，则ABFE为矩形 四边形ABCD是等腰梯形BC=AD， BCF与ADE能重合，CF=DE 又C45，BFCF=DE， 题型三 探究开放 分析：在梯形中，设BC2x，则ABADDCx，容易得BC60，由于分成的是四边形，并且大小、形状完全一样，因此可以作出梯形两腰中点的连线，再进行分割 作法：(1)作AB、CD的中点E、F，连结EF； (2)作EF的三等分点M、N； (3)作出BC的四等分点，G、H、O； (4)连结AM、MG、DN、NH，则四边形ABGM,AMND、DNHC、MNHG是符合条件的四个四边形，如图16-3-10所示 聚焦中考热点 1 命题方向 本节主要考查梯形的特征与识别，会把梯形问题转化成三角形和平行四边形问题在中考中以填空、选择题出现，还常和三角形、四边形一起以综合题的形式出现 2 热点考题举例 例1 (2004黑龙江)若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为( ) A. 21 B. 29C21或29 D. 21或22或29 分析：本题需进行讨论，确定另一条边，事实上3，3，4，11和4，4，3，11都不能组成梯形，只有11，11，3，4一种情况，故选D 解：选A 例2 (2004河南)如图16-3-11，在梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD，且AC12，BD9，则此梯形的中位线是( ) 分析：四边形问题在不能得到直接解决时。可以转换为三角形问题解决 学科综合实践应用创新题 一、学科综合题 例l (学科内综合)梯形的上、下底的长是16cm，23cm，腰长为20cm，另一腰长为x cm，求x的取值范围 解：平移一腰得平行四边形和三角形，三角形是由两底差和两腰构成的，根据三角形三边关系，所以有20-7x20+7，即13x27 二、实践应用题 例2 如图16-3-13，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD24 cm，BC26 cm，动点P从A开始沿AD边以1 cms的速度向D运动，动点Q从C开始沿CB边以3cms的速度向B运动，P、Q分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形? 解：(1)要使PQCD为平行四边形，已有PDCQ，而PD24-t，CQ3t，得24-t3t，t=6，所以当t6s时，PQCD为平行四边形 (2)要使PQCD为等腰梯形，而PQCD，连P、Q两点分别作PEBC，DFBC，垂足分别为E、F点，易知四边形ABFD和PEFD都是矩形 所以BF=AD=24cm，FC=26-24=2，EF=PD=24-t，由等腰梯形轴对称性得QECF2cm，QC3t，EF3t-2-23t-4，所以24-t3t-4，t7(s)，当t=7s时，四边形PQCD为等腰梯形 三、创新题 例3 已知四边形ABCD中，ABDC，AC=BD, ADBC，试说明：四边形ABCD是等腰梯形 解：要说明四边形ABCD是等腰梯形因为AC=BD，所以只需ABCD是梯形即可，又因ADBC,故只需ADBC，要ADBC，可在四边形中作辅助线，作辅助线的方法有四种：平移腰作两高延长两腰交一点，平移条对角线以后请同学们自己说理 例4 (一题多变)如图16-3-14。在等腰梯形ABCD中ADBC，AB=DC，BGCD于G点 (1)若点P在BC上，过P点作PEAB于E，PFCD于F，试说明PE+PFBG. (2)若点P在CB的延长线上，仍然过点P作PEAB交AB的延长线于F，作PFCD交CD(或其延长线)于点F，是否PE、PF、BG的关系PE+PF=BG仍然成立?若不成立写出正确的关系，并说明理由 解：(1)过P作PHBG于H由BGCD，PFCD得PHGHGC=PFG=90，所以四边形PHGF是矩形，所以PF=GH，PHGF，所以BPH=C