高二数学学习资料.doc

度过了貌似很轻松愉快的高一生活，我们昂首阔步来到了高二，对于数学一科，相当多的同学觉得高一阶段的知识非常可怕，不夸张的说高一阶段的知识比整个初中的知识问题还要多。如今到了高二，是不是知识更多更难了呢？其实，高一阶段的知识强调的是理解，而高二阶段强调的是功力和技巧。差别莘不在于难度，而在于学习的侧重点，可以说高二的很多知识是对高一知识的深化和拓展。举个例子，高一阶段我们学习了函数的相关性质，其中很重要的一条是单调性。高一我们对这个知识点的要求是会用“比较法”判断单调性，还要通过对图像的分析来对函数单调性有直观的感受。这些都昌对函数单调性的理解。到了高二阶段，文科和理科学生都要学习一样新的工具导数，也就是我们庆不做函数图像，也不用“取点比较”的情况下直接判断函数的单调性和单调区间。而这种处理单调性问题的新方法需要的就是熟练掌握技巧和扎实的基本功。还有就是在高二的上半学期我们会接触大量的几何问题，首先就是立体几何然后就解析几何，而这两部分在高考中是重点也是难点，还有就是高二下学期的导数部分也是高考中的重点和难点。而在高二阶段，将要学习复杂的三类曲线椭圆、双曲线、抛物线。运算上难度大大增加，图形的复杂度也大大增加，但是就本质来说，考察的核心还是“在图形中寻找线索，在计算中得到结果”的解题思路。而在解析几何中会应用到很多函数和不等式的问题这就需要我们在高一阶段把函数思想这种基础打牢。另外立体几何中还要引入空间向量的方法，实际也是把几何问题代数化，使同学用在复杂的立体图形中找辅助线了，当然，空间向量法带来的运算量也是相当大的。最后在一些小知识上也有所深化，还记得当初在学习概率的时候，我们实际没有学习任何的计算方法，当时我们算概率的时候只能一个一个的数出来，如果题目的数稍微大一点的话我们就不得不把大量的时间浪费在数数上，在高二我们就会学到高手是怎样数数的，也就是所谓的计数原理，到时候同学业们就会知道“乘法”比“加法”究竟能快多少。也能彻底搞清楚生活中的随机事件里究竟蕴含了怎样的数学原理。总体来说，高二数学的难度比高一要大，但是如果同学们在高一的时候对知识有深入的理解的话，高二阶段的知识也就只是个深化练习的过程了，这就要求同学们在高二的时候造成不要放松，这个时期是最需要大量做题，大量练习的时期，错过了这个时期就再也没有机会超越别人了。有人会想高三再努力也不迟，殊不知高三的时候所有好好学习的人都会拼命的做题，拼命地练习，在那时想赶超别人几乎是不可能完成的任务。高三环境是不努力的人必然跌入谷底。努力的人也只可以保证不下降。也就是说想超过别人，走在别人前面，高二已经是最后的机会了。对于高一阶段知识掌握的不够扎实的同学，高二也是唯一可能提高的机会了，正像上文所说，高二的知识很多是高一知识的扩展和深化，也就是说如果之前学习的时候没有掌握好，那么高二的学习就既是学习过程又是复习过程。高中阶段学习节奏之快使得一开始落后一点的同学在之后的学习过程中几乎没有什么时间再回过头来重新学习，也就是说如果想补救之知识漏洞，高中阶段唯一可行的办法就是在学习中复习。比如说如果有同学函数没有学好，没关系，高二学习导数的时候会再回来研究函数问题：平面向量没学好，没关系，学习空间向量的进修也可以顺带复习；高二阶段的数学也可为是高考中所占比例较大的一个部分而且也是既是重点也是难点，所以一些必要的方法和思考问题的基本方法还是要掌握的。一、立体几何部分： 基础知识的复习要形成网络化线线垂直线面垂直面面垂直三垂线定理与逆定理 在高二阶段最好提前将知识网络化，即引导学生对知识进行纵向与横向的归纳总结为高三做准备和基础。如线线平行线面平行面面平行 通过上面的网络图，要让学生搞清楚线线、线面、面面平行与垂直的所有定理与证题思路，这是推证空间位置关系的基础 基本方法的训练要形成规范、模式化 要对两大方法（几何法、向量法）的重视在应用几何法证明时，论证要严谨有力、求解要规范有序，体现作、证、指、算的解题步骤. 在应用向量法解题时，合理建立空间直角坐标系是是否顺利解题的一大关键要体现出几何问题代数化的思想 空间想象能力的训练要具体化空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力画不出合适的图形，看不出图形特征等是学生空间想象能力薄弱的表现 探索性思维能力的训练要策略化高考立体几何试题经常成为高考试卷变化的一个突破点，选择题、填空题或大题的最后一小题往往会成为考查能力、提高区分度的平台，这使得很多考生立体几何试题较难拿全分或高分要突破这一瓶颈，在常规训练的基础上，需要加强开放性问题的训练，并结合空间想象能力的训练全面训练学生的思维能力要突出点、线、面之间关系的转化是立体几何解题的一个基本策略，其中“线面关系”是转换的枢纽，“垂直”是构建相应结构的关键部件与核心技术1、空间几何体：1全面掌握空间几何体的概念及性质，特别是常见几何体如正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的概念和性质，这是进行计算和证明的基础。2多面体画图、分析图，用自己的语言描述图，提高借助图形分析问题的能力，培养空间观念。3注重三视图与直观图的相互转化及等积转化的思想。4特别关注空间三种角落计算问题以及涉及到探究点的位置的问题。要点考向1：空间几何体的三视图考情聚焦：1三视图是新课标教材的新增内容，是高考中新的增加点及亮点。2常与表面积、体积计算综合出现，多以选择题或解答题的形式呈现，属较容易的题。考向链接：1解答此类问题，首先由三视图想象出原几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量。2掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向。例1：（2010陕西高考理科7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。【思路点拨】三视图几何体是直三棱柱该几何体的体积【规范解答】选C 由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为和1的直角三角形，棱柱的高为，所以该几何体的体积2、点、直线、平面之间的位置关系1.理解空间直线平面位置关系的定义。2了解可以作为推理依据的公理和定理。3认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。4能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。要点考向1：线线、线面的位置关系考情聚焦：1空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系是最基本的关系，是高考中重点考查的内容，几乎年年都考。2题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系。3三种题型均可出现，属较容易或中档题。考向链接：1解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线在平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。2证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。3证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质4证明线面垂直的方法有：（1）定义；（2）判定定理；例1：（2010天津高考文科9）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=，BADCDA45.（）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； （）证明CD平面ABF；（）求二面角B-EF-A的正切值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。【思路点拨】（1）CED即为异面直线CE与AF所成角；（2）证明CD垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。【规范解答】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA/ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在RtCDE中，CD=1，ED=，CE=3,故cos=.所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.()证明：过点B作BG/CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.()解：由（）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC/AD,所以BC/EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG/FA,FAGM,得NGGM.在RtNGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.要点考向2：面面位置关系考情聚焦：1在高考中，本部分内容几乎年年考查，主要考查学生分析问题、解决问题的能力。2题目基本上以棱柱、棱锥为背景，考查面面平行或垂直。3选择题、填空题、解答题均可出现，题目难度为低档或中档。考向链接：1证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可。从而将面面平行转化为线面平行，再转化为线线平行。 2证明面面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决。例2：（2010辽宁高考文科19） 如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.()证明：平面AB1C平面A1BC1;（)设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1D:DC1的值. 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】（I）先证明B1C平面A1BC1.再证明平面AB1C平面A1BC1; （II）利用线面平行的性质，得到DE/A1B，判断出D点是中点，从而可解 【规范解答】（I）（II）【方法技巧】1、证明面面垂直，一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线和哪个平面垂直。2、证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来，如本题中强调了A1BBC1B要点考向3：与折叠有关的问题考情聚焦：1空间图形的折叠问题是近几年高考命题的一个新的亮点,它通常与其他知识相结合,能够较好地考查学生的空间想象能力、图形变换能力及识图能力。2选择题、填空题、解答题均可出现，尤其解答题为多，属中档题。例3：（2010浙江高考文科20）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，ABC=120。E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F为线段AC的中点。（）求证：BF平面ADE；（）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值。【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。【思路点拨】（1）可以在面内找一条直线与BF平行，从而证明线面平行；（2）求线面角的关键是找到对应的平面角。【规范解答】 ()取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知FGCD，FG=CD. BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE. 故四边形BEGF为平行四边形, 所以BFEG因为平面，BF平面，所以 BF/平面（）在平行四边形ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连CE。因为，在BCE中，可得CE=a, 在ADE中，可得DE=a,在CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CEDE,在正三角形ADE中，M为DE中点，所以AMDE.由平面ADE平面BCD, 可知AM平面BCD, AMCE.取AE的中点N，连线NM、NF，所以NFDE,NFAM.因为DE交AM于M, 所以NF平面ADE,则FMN为直线FM与平面ADE所成的角.在RtFMN中，NF=a, MN=a, FM=a,则cos=.所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.【方法技巧】找线面所成角时，可适当的作一条面的垂线，从而把线面角转化为线线夹角。注：（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形。3、空间向量与立体几何空间向量的应用（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接：1空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。例1：（2010安徽高考理科18）如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】AEFBCDHGXYZ(1)(2)(3) 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦：1线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接：1利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:（1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线的方向向量，是平面的法向量，则2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。例2：（2010辽宁高考理科19）已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，（I） 计算的数量积，写出答案；（II） 求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【规范解答】设PA1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1,0)（I）【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。 （2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。 （3）线面角的范围是090，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。要点考向3：利用空间向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。2常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等， 例3：（2010天津高考理科9）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。【规范解答】方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设,依题意得,（1） 易得,，于是，所以异面直线与所成角的余弦值为。（2） 证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为三、导数部分1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。2导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。3导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。4生活中的优化问题要点考向1：利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。2常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。考向链接：1导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。2求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：（2010 海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.要点考向2：利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。2常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式0或0。若已知的单调性，则转化为不等式0或0在单调区间上恒成立问题求解。例2：（2010山东高考文科21）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.【规范解答】（1） 当所以 因此， ,即曲线又所以曲线（2）因为,所以 ,令（1） 当时，所以 当时，0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.（2） 当时，由，即 ，解得. 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减; 当时， ，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).()证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内是增函数，所以,即2。要点考向4：利用导数研究函数的图象考情聚焦：1该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。2常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。例4：（2010福建高考理科20）()已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C. （i）求函数f(x)的单调区间； (ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值：（）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于()(ii)的正确命题，并予以证明。【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。【规范解答】（) (i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)，因此过点的切线方程为：，即，由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，因此有。（）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，因此过点的切线方程为：，联立，得到：，化简：得到从而所以同样运用(i)中方法便可以得到所以。【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。四、导数中的恒成立问题恒成立问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。高中引入导数这个工具后，更丰富了解题的手段，函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具，下边谈一下此类问题的解题策略及注意问题。这里把传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查。一、 注意变量的选择此类问题中常出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，这时习惯上已知谁的范围视为谁的函数，求谁的范围视作另一个变量的函数例：已知函数，其中为实数。已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围解析：原式可化为：对任意都成立。设，则对于任意，为单调递增函数所以对任意，恒成立的充分必要条件是 ，即，所以于是的取值范围是注：本题若视为的函数则不宜解出。二、 函数思想的灵活运用可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、 思路2、或者通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，再求函数最值。例：已知函数 在处的切线方程为。(1) 略(2) 若函数在区间上单调递增，求的取值范围。解析：由求导得，由条件易得，所以，依题意在上恒有即在恒成立。I）在时，所以II）时，所以III）在时，则综上讨论可知，所求参数的范围为法二：也可将转化为在恒成立，时时，可变为，则可设，分离常数可求其最大值为0注：转化为函数求最值时，要灵活变形。三、 两次恒成立问题例：设函数，其中。若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。解析：。由条件可知，从而恒成立。当时，当时，。因此函数在上的最大值是与两者中较大者。为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立。所以，因此满足条件的的取值范围是注：本题是在对于任意的，在上恒成立相当与两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立。四、恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。例：若实数且，函数。（1） 证明函数在处取极值，并求出函数的单调区间。（2） 若在区间上至少存在一点，使得，求实数的取值范围。解析：（1）易得时，的单调递增区间是，单调减区间是当时，的单调递增区间是，单调减区间是。（2）因为，由（1）知要使在区间上至少存在一点，使得只需在区间上即可。当时，所以当当时，恒成立，所以综上所述，实数的取值范围为解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。五、解析几何部分几点复习建议： 回归课本，夯实基础，完善认知结构解析几何部分知识点多，计算量大，综合性强，其高考试题一般源于教材又高于教材，宗旨就是考查考生对解析几何的基础知识、基本技能、基本数学思想方法的掌握程度，以及运用它们来分析问题和解决问题的能力因此，在教学中，在确保基础知识落实的前提下，尽量减少套模式的重复性机械训练，要让学生有自己的理解、分析与推理，尝试分析问题、解决问题的时间与空间，切实提高数学的基本素养和分析问题、解决问题的能力，改变目前绝大多数学生只会套模式解题的现状 强化运算，力求避繁就简，提高解题效率 运算能力既是解析几何最突出的特点，也是圆锥曲线的重头戏，而运算的求简意识则又集中体现在圆锥曲线的有关问题之中，因此，在遵循设列解的程序化运算的基础上，应突出解析几何设而不求的运算本色，寻求简捷、合理的运算途径，突破避繁就简这一解题瓶颈 突出重点，注重新旧结合 突出解析几何的方程与几何性质这一重点内容，把求轨迹方程作为本章的主线要在求圆锥曲线的标准方程的基本方法上下功夫，掌握标准方程或轨迹方程的常用方法，比如待定系数法、直译法、定义法、坐标转移法等，并注意应用平面几何的基本知识简化运算；在由方程研究解析几何（如圆锥曲线）的性质上注重纵横联系这些问题在近四年浙江省高考试题中年年出现，复习时切不可忽视1.直线与圆1直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。2圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。要点考向1：直线的倾斜角、斜率、距离问题考情聚焦：1直线的倾斜角、斜率、距离问题是最基本问题，是高考中常考的知识。2该类问题常与平面向量结合，体现知识的交汇。3多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。考向链接：1直线的倾斜角和斜率反映了直线的倾斜程度。已知斜率求倾斜角时，通常可以结合正切函数的图象求解，要注意当斜率的取值范围有正有负时，倾斜角是分段的，如直线斜率的范围是-1，1，则倾斜角的取值范围是，而不是2对于距离要熟记有关公式，并能灵活运用。例1：若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是： 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）答案:要点考向2：两直线的位置关系考情聚焦：1两直线的位置关系平行或垂直是高考考查的重点内容。2多以选择题、填空题的形式呈现，属容易题。考向链接：两条直线和 平行充要条件为且 垂直的充要条件为0，要熟练掌握这一条件。判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况。例2：（2010安徽高考文科4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0【命题立意】本题主要考查直线平行问题。【解答】选A，要点考向3：圆的方程聚焦考情：1圆的方程及求法是很重要的一类问题，是高考中的必考内容。2各种题型均可出现，属中低档题。考向链接：求圆的方程一般有两类方法：（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；（2）代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。其一般步骤是：根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；利用条件列出关于的方程组；解出，代入标准方程或一般方程。此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量。例3：(2010广东高考文科6）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（ ） A BC D【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.【规范解答】选 设圆心为，则，解得，所以，所求圆的方程为：，故选.要点考向4：直线和圆的位置关系聚焦考情：1直线和圆的位置关系是每年必考内容，有时和向量相结合，体现了知识的交汇。2考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属中、低档题目。例4：（2010重庆高考文科8）若直线与曲线，（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ） A B C D【命题立意】本小题考查直线、圆的方程的基础知识，体现了方程的思想、数形结合的思想及化归与转化的思想.【思路点拨】先把圆的参数方程化为普通方程，再与直线方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用判别式求解；或数形结合法，画出圆的图形，平移直线观察计算.【规范解答】选D . （方法一）消去参数得，与联立方程组，消去得：，因为直线与曲线有两个不同的公共点，所以，即，解得；（方法二）把圆的参数方程代入直线方程得：，即，所以，所以，解得；（方法三）如图所示，直线与圆相切之间的情形符合题意，计算圆心（2，0）到直线的距离等于圆半径1，即，解得，所以.【方法技巧】（1）判别式法:直线与曲线的交点问题转化为方程的解的个数问题；（2）利用三角函数的值域求解；（3）数形结合法.注：直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的关系来处理。2、圆锥曲线1圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。（4）了解圆锥曲线的简单应用。（5）理解数形结合的思想。2曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。要点考向1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程考情聚焦：1圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容，虽然大纲降低了对双曲线的要求，但在选择题中仍然考查双曲线。2可单独考查，也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查。3既可以以小题的形式考查（属中、低档题），也可以以解答题形式考查（属于中、高档题）。考向链接：1已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解。2求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法。3求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把b用a、c代换，求的值。4在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关。例1：（2010安徽高考理科19）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 (1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程；(3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力【思路点拨】（1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；（2）根据角平分线的性质求出直线的斜率或直线上的一个点的坐标，进而求得直线的方程；（3）先假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点，根据推理结果做出判断。【规范解答】（1）设椭圆的方程为（），由题意，又，解得：椭圆的方程为（2）方法1：由（1）问得，又，易得为直角三角形，其中设的角平分线所在直线与x轴交于点，根据角平线定理可知：，可得，直线的方程为：，即。方法2：由（1）问得，又，直线的方程为：，即。（3）假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、，令、，且的中点为，又，两式相减得: ,即（3），又在直线上，（4）由（3）（4）解得：，所以点与点是同一点，这与假设矛盾，故椭圆上不存在关于直线对称的相异两点。【方法技巧】1、求圆锥曲线的方程，通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；.2、利用向量表示出已知条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算；3、对于存在性问题，其常规解法是先假设命题存在，再根据题设条件进行的推理运算，若能推得符合题意的结论，则存在性成立，否则，存在性不成立。要点考向2：最值或定值问题考情聚焦：1以圆锥曲线为载体的最值或定值问题在高考题中几乎每年都涉及。2可与函数、不等式等知识交汇，体现知识间的联系。3多以解答题形式出现，属中高档题目。考向链接：解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；（2）利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值；（4）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值。例2：（2010北京高考文科9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x,y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中的关系，离心率.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（）问中最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】由焦点可求出，再利用离心率可求出。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.【规范解答】（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为.（）由题意知由 得所以圆P的半径为.由，解得.所以点P的坐标是（0，）.（）由（）知，圆P的方程.因为点在圆P上。所以由图可知。设，则当，即，且，取最大值2.【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系：时相离；时相切；时相交；（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.要点考向3：求参数范围问题考情聚焦：1与圆锥曲线有关的求参数范围问题在高考题中经常出现。2多在解答题中出现，属中高档题。例3：（2010山东高考理科21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明