（京津鲁琼专用）2020版高考数学第二部分专题六函数与导数第3讲导数的简单应用练典型习题提数学素养.docx

第3讲导数的简单应用一、选择题1已知直线2xy10与曲线yaexx相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是()AB1C2De解析：选B.由题意知yaex12，则a0，xln a，代入曲线方程得y1ln a，所以切线方程为y(1ln a)2(xln a)，即y2xln a12x1a1.2(2019成都第二次诊断性检测)已知直线l既是曲线C1：yex的切线，又是曲线C2：ye2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为()A2B1Ce2De2解析：选B.设直线l与曲线C1：yex的切点为A(x1，ex1)，与曲线C2：ye2x2的切点为B.由yex，得yex，所以曲线C1在点A处的切线方程为yex1ex1(xx1)，即yex1xex1(x11).由ye2x2，得ye2x，所以曲线C2在点B处的切线方程为ye2xe2x2(xx2)，即ye2x2xe2x.因为表示的切线为同一直线，所以解得所以直线l的方程为ye2xe2，令y0，可得直线l在x上的截距为1，故选B.3已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围为()A(，2BC2，)D5，)解析：选C.由题意得f(x)2xa0在(1，)上恒成立g(x)2x2ax30在(1，)上恒成立a2240或2a2或a2，故选C.4函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，若xf(x)f(x)ex，且f(1)e，则()Af(x)的最小值为eBf(x)的最大值为eCf(x)的最小值为Df(x)的最大值为解析：选A.设g(x)xf(x)ex，所以g(x)f(x)xf(x)ex0，所以g(x)xf(x)ex为常数函数因为g(1)1f(1)e0，所以g(x)xf(x)exg(1)0，所以f(x)，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(x)f(1)e.5若函数f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为()A(e2，e)BCD(，e1)解析：选D.由题意，函数的定义域为(0，)，f(x)ex(m1)0在(0，)上有两个不相等的实数根，所以m1在(0，)上有两个不相等的实数根，令g(x)，则g(x)，所以函数g(x)在，上单调递增，在(1，)上单调递减，其图象如图所示，要使m1在(0，)上有两个不相等的实数根，则m1g(1)，即m1e，me1，所以实数m的取值范围是(，e1)故选D.6(多选)对于函数f(x)，下列说法正确的有()Af(x)在x1处取得极大值Bf(x)有两个不同的零点Cf(4)f()2e解析：选AC.由函数f(x)，可得函数f(x)的导数为f(x).当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0，f(x)单调递增可得函数f(x)在x1处取得极大值，且为最大值，所以A正确；因为f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且f(0)0，当x0时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，)上单调递减，且431，可得f(4)f()21，可得，即e20)，所以f(x)2x，令2x0得x，令f(x)0，则x；令f(x)0，则0x.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的极小值(也是最小值)为ln .答案：9(2019甘肃兰州一中期末改编)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex的极值点，则f(2)_，f(x)的极小值为_解析：由函数f(x)(x2ax1)ex可得f(x)(2xa)ex(x2ax1)ex，因为x2是函数f(x)的极值点，所以f(2)(4a)e2(42a1)e20，即4a32a0，解得a1.所以f(x)(x2x2)ex.令f(x)0可得x2或x1.当x1时，f(x)0，此时函数f(x)为增函数，当2x1时，f(x)0，当a0时，显然f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，则2ax2x10，易知其判别式为正，设方程的两根分别为x1，x2(x1x2)，则x1x20，所以x100.令f(x)0，得x(0，x2)，令f(x)0得x(x2，)，其中x2.所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减11已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解：(1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2.(2)因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，所以f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为极小值，即falna.根据题意得falnaa，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得a2，综上实数a的取值范围是2，0)12(2019广州市调研测试)已知函数f(x)xexa(ln xx)(1)若ae，求f(x)的单调区间；(2)当a0时，记f(x)的最小值为m，求证：m1.解：(1)当ae时，f(x)xexe(ln xx)，f(x)的定义域是(0，)f(x)(x1)exe(xexe)当0x1时，f(x)1时f(x)0.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)(2)证明：f(x)的定义域是(0，)，f(x)(xexa)，令g(x)xexa，则g(x)(x1)ex0，g(x)在(0，)上单调递增因为a0，所以g(0)aaa0，故存在x0(0，a)，使得g(x0)x0ex0a0.当x(0，x0)时，g(x)0，f(x)(xexa)0，f(x)(xexa)0，f(x)单调递增故xx0时，f(x)取得最小值，即mf(x0)x0ex0a(ln x0x0)由x0ex0a0得mx0ex0a ln(x0ex0)aa ln(a)，令