高考数学专题复习讲练测——专题八 直线与二次曲线 专题复习讲练 4 圆锥曲线.doc

4圆锥曲线一、复习要点1本节复习的主要内容有：（1）进一步熟练圆锥曲线基本量的计算；（2）利用直线与圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系问题的思想方法，如公共点的个数问题、弦长问题、弦的中点问题，有关的垂直关系问题、对称问题、存在性问题等；（3）根据已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或圆锥曲线方程问题2本节的重点是利用直线和圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线位置关系的思想方法利用方程，通过代数推理研究直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，运算量大，代数推理能力要求高，因而也成为本课时复习中的一个难点直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考解析几何命题的热点，且常常作为压轴题或把关题在高考试题中出现3在本节的复习中，应注意如下复习策略：熟练掌握有关直线和圆锥曲线的基础知识，解决直线与圆锥曲线问题的基本方法、基本技能在熟练掌握常规方法的基础上，要不断探索，优化解题过程，简化运算，正确进行代数推理，提高解题速度和准确率注意以下几点：（1）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义及焦半径公式的运用，以简化运算；（3）有关弦的中点问题，应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算；（4）有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，整体处理；（5）有关圆锥曲线关于直线的对称问题中，若A、A是对称点，则应抓住的中点在上及1这两个关键条件解决问题；（6）有关直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”二、例题讲解例1已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过它的右焦点F引倾斜角为（4）的直线交椭圆于M、N两点，M、N两点到椭圆右准线的距离之和为（83），它的左焦点F到直线的距离为，求椭圆的方程 图8-11讲解：本题是根据已知直线与椭圆的位置关系，求椭圆的方程因椭圆的位置确定，因而方程的形式确定，故可用待定系数法求解如图8-11，设所求椭圆的方程为（）（）1，其中0（，0），（，0），则直线的方程为由F到的距离为，求得1.若设M（，）、N（，），则（），（）1，2（）据已知有2（）（83）欲求椭圆方程，已知1，所以只需求得，由知，只要将用a表示即可.要寻求与的关系，须从直线与椭圆的方程组成的方程组入手由（1）（1），1，消去，得（21）2（2）0从而2（21）代入解得2，则1故所求椭圆方程为（2）1本题也可以由焦半径公式，得2（1）（），再据椭圆第二定义，得（83），建立关于a的方程本题在得到（83）后，还可以利用弦长公式建立关于a的方程，但运算量大后两种方法请同学们试试看，比较其优劣例2已知双曲线的一个焦点在坐标原点，与该焦点相应的准线方程是x=1,直线l与双曲线交于P、P两点.若线段PP的垂直平分线方程为x+y=0,且PP=2，求双曲线的方程讲解：据已知条件，所求双曲线方程是非标准形式但由已知焦点位置和相应准线知实轴在x轴上，且中心为（c,0），故可用待定系数法求解若设PP的方程为y=x+m，与双曲线方程联立，用弦长公式求解，参数较多，运算量大，故从求点P、P的坐标入手设所求双曲线的方程为（x-c）a）-（yb）=1（其中a0,b0,c=.如图8-12.据题意，c-1=（ac），图8-12即c=c+a,c=b设P1（x0,y0）,则P2（-y0,-x0）.PP=2,=2x0+y0=2.又P（x0,y0）、P（-y0,-x0）都在双曲线上，（x0-c）a）-（y0b）=1，（-y0-c）a）-（-x0）b）=1.两式相减，并注意到b=c,得x0-y0=2.联立、，解得x0=2,y0=0，P（2，0），P（0，-2），将此两点的坐标分别代入双曲线方程，得（2-c）a）=1,（ca）-（4b）=1.将c=b代入，解得a=（49）,b=（43）故所求双曲线的方程为（9（x-（43）4）-（3y4）=1例3直线：10与双曲线：21相交于P、Q两点（1）当实数a为何值时，2?（2）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由讲解：（1）若设P、Q的坐标分别为（，）、（，），则（，）、（，）是方程组10，210的实数解，根据此方程组有两个不同解的条件及弦长确定实数a的值将代入消去y，得（12）430若120，即（2）时，直线与双曲线的渐近线平行，与C只可能有一个交点，120当120，即（2）时，由方程的判别式0，得（2）（2）又4（12），3（12），由弦长公式及，得由已知2，解得（12）（舍去），或1.1，满足（2）（2）故所求实数a的值为1（2）反证法假设存在实数a的值，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则由OP，得0又（1）（1），（1）（）10将（1）中的代入，解得-2，这与a为实数矛盾.故不存在实数a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点本题在得到方程后，应注意两点：1对二次项系数是否为零要分类讨论；2当120时，应有0这一条件，否则会“对而不全”例4如图8-13所示，设抛物线2（0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、两点点C在抛物线的准线上，且BC轴证明直线经过原点图8-13讲解：证明直线AC经过原点O，即证明A、三点共线证明三点共线的方法甚多，常用的有斜率法、方程法、距离法等，这里我们只给出两种思路其他的请读者自己思考思路1斜率法的坐标为（2），0），直线的方程可设为（2），代入抛物线方程，得20若记（，）、（，），则又轴，且点C在准线（2）上，点的坐标为（2），），（2）2，即，直线经过点O思路2距离法（同一法）记轴与抛物线准线的交点为E，过A作AD，D为垂足则AD，连结AC与相交于点N，则（）（）（），（）（）又由于，（）（）即N为的中点，与抛物线的顶点O重合，直线经过原点O该题实质为抛物线焦点弦的一个性质定理抛物线的焦点弦还有一些常用性质，如，设AB为抛物线2（0）的焦点弦，且A（，）、（，），直线AB的倾角为，则，（2），（1）（2）（2），等等另外，该命题还可进一步引申为：设、为抛物线2（0）上两点，C在其准线上，且BC轴，则、三点共线的充要条件为、三点共线其中，充分性为2001年全国高考试题，必要性为1997年陕西省高中毕业会考试题三、专题训练1椭圆的两个焦点和中心将两条准线间的距离四等分，则一焦点与它的短轴的两端点连线的夹角是（）4560901202椭圆C：（4）1关于直线：3对称的椭圆的方程是（）（3）（3）4）1（3）（3）4）1（3）4）（3）1（3）4）（3）13过双曲线（9）（16）1的右焦点F作倾斜角为（4）的弦AB，则AB的中点到F的距离是（）807 8078074074抛物线2（0）的焦点弦AB的长为，顶点为O，则OAB的面积为（）（2）（4）（4）无法计算5若直线1（）与椭圆（5）（）1恒有公共点，则实数的取值范围是_6直线1交椭圆1于M、N两点，弦MN的中点为P.若（2），为坐标原点，则（）_7给出下列四个命题：椭圆（16）（）1的离心率为（12），则=12；已知双曲线3m-m3的一个焦点的坐标是（0，1），则m=-4;已知抛物线y（12）x-2x+（m2）的准线是y=-1,则实数m=3；椭圆（x25）+（y9）1上一点M到左焦点F的距离是2，N是MF的中点，O是坐标原点，则ON=2其中所有正确的命题的序号是_8已知抛物线4（0）的焦点为A，以B（4，0）点为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同的两点、，点P是MN的中点（1）求的值；（2）是否存在实数，使、成等差数列？若存在，求出；若不存在，说明理由9已知直线：与椭圆C：（3）1交于A、B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点（1）当直线与直线0平行（不重合）时，求直线OM的斜率；（2）如果1，证明（3）（9），并求线段AB的长取最大值时直线的方程10已知双曲线324360的右焦点为F，右准线为，椭圆C以F和为相应的焦点及准线，过点F作倾斜角为（4）的直线交椭圆C于两点A、B，以AB为直径作圆（1）若圆过椭圆C的中心，求椭圆C的方程；（2）当椭圆C的中心在圆内时，求这个椭圆离心率的取值范围参考答案：4圆锥曲线1；2；3；4；51且m5；6（2）；78（1）设、在抛物线的准线上的射影分别为、，则由抛物线定义得NN2又圆的方程为（4）16，将4代入，得2（4）802（4），8（2）假设存在这样的，使得2，2，由定义知点P在抛物线上，这与点P是弦的中点矛盾，所以这样的不存在9（1）由差分法可得3