19.2.3.一次函数与方程、不等式(教学设计).docx

人民教育出版社.数学.八年级（下册） 19.2.3 一次函数与方程、不等式 设计者：廖辉辉 厦门市大同中学一、教材分析 函数、方程和不等式是初中数学的核心内容，函数是联系方程、不等式的纽带。通过函数图象，可以直观地表示方程（组）和不等式的解或解集的含义。一次函数与方程、不等式是在学习一次函数的基础上，讨论一次函数与二元一次方程的关系，用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组从而建立它们之间的联系用函数的观点看一元一次方程，则可以把解一元一次方程理解为已知一次函数的函数值求对应的自变量的值；用函数的观点看二元一次方程，则可以二元一次方程的解为坐标的点集就是一次函数的图象，二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象（两条直线）的交点坐标；用函数的观点看一元一次不等式，它的解集就是使得函数值在某个范围的自变量的取值范围。研究函数、方程、不等式之间的联系可以深化相关知识的理解，优化知识结构，建立这种联系的关键是建立一次函数与二元一次方程的联系。二、教学目标 1.知识与技能目标 1.认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、二元一次方程组、一元一次不等式之间的联系。 2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义。2.过程与方法目标 学生经历用函数图象表示一元一次方程（组）、一元一次不等式、二元一次方程（组）解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想3. 情感、态度与价值观目标 通过研究函数、方程、不等式之间的联系可以深化相关知识的理解，优化知识结构，培养学生会用“联系”的观点看待数学，培养学生“数形结合”的能力。三、教学重点： 理解一次函数与二元一次方程（组）的联系四、教学难点：引导学生把一次函数图象上点的坐标与方程（组）的解建立联系。突破这一难点的关键是，要让学生在已经学习解一元一次方程、不等式和方程组的基础上，通过画函数的图象直观分析建立相应的联系。五、教学程序设计1.创设情境，提出问题 如图，1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升两个气球都上升了1 h问 题1： 请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y（m） 与气球上升时间 x（min）的函数关系问 题2：观察并思考，二元一次方程与一次函数有什么关系？追 问：如何从“数”和“形”的角度研究？师生活动：教师引导学生得出：一般地，一元一次方程kx +b = c （k、b、c为常数，k0)的解就是当函数y=kx+b的函数值为c时的自变量的值。设计意图：让学生用方程的观点看一次函数，发现一次函数的表达式是一个二元一次方程。教师板书归纳1.从式子（数）角度看: 2.分析问题思 考：从“形”角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？追问1：方程 y -x =5的解有多少个？枚举6个看看？（关注x范围）x0510152025.y.追问2：写出以这些解为坐标的点？并在坐标系中标出这些点？（黑色）追问3：在同一坐标系中画一次函数y =x+5 的图象（红色) ，有什么发现？追问4：如何从“形”的角度二元一次方程y =kx+b（其中 k，b为常数，k0）与一次函数y = kx+b的关联？师生活动：教师引导学生归纳（用函数的观点看） 解一元一次方程 kx+b =c 就是求当函数 y=kx+b 的函数值为y=c时对应的自变量x的值归纳如下： 设计意图：通过式子之间的转换，让学生体会只要把未知数和变量的角色互换，则二元一次方程和一次函数也实现了互相转化。从数量关系讲，它们的本质相同，只是看问题的角度不同。3. 小结归纳教师板书归 纳2：从“形”的角度看： 师生活动：教师引导学生归纳（用函数的观点看） 解一元一次方程 kx+b =c 就是求当函数 y=kx+b 的函数值为y=c时对应的自变量x的值 设计意图：通过式子之间的转换，让学生体会只要把未知数和变量的角色互换，则二元一次方程和一次函数也实现了互相转化。从数量关系讲，它们的本质相同，只是看问题角度不同。4.拓展问题问 题3：什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？能否从“数”和“形”两方面分别加以研究？师生活动：教师引导学生总结：由上可知，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解二元一次方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解二元一次方恒组相当于确定两条相应直线交点的坐标。(1)从“数”的角度看： 解方程组 y =x+5 y =0.5x+15本质：就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值(2)从“形”的角度看：二元一次方程组与一次函数有什么关系？本质：二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标 设计意图：引导学生用函数的观点，从数和形两方面深化对二元一次方程组解的认识。为形成下面对一次函数与二元一次方程组关系的归纳提供样例5.例题剖析例1. 解下面三个方程,并观察三个方程有什么共同特点？ （1）2x+1=3 （2）2x+1=0 （3）2x+1=-1 思考：能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？师生活动：教师引导学生得出：一般地，一元一次方程kx +b = c （k、b、c为常数，k0)的解就是当函数y=kx+b的函数值为c时的自变量的值。设计意图：让学生用方程的观点看一次函数，发现一次函数的表达式是一个二元一次方程。提出问题，明确学习内容，引导学生把注意力聚焦在思考一次函数与二元一次方程的关系上。教师板书归纳3.用函数的观点看：解一元一次方程 k x +b =c就是求当函数值为c 时对应的自变量的值 例2. 解下面三个不等式，并观察三个不等式有什么共同特点？ （1）3x+22 （2）3x+20 （3）3x+2-1 思考与讨论：你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？你能把得到的结论推广到一般情形吗？ 师生活动：教师引导学生得出：一般地，一元一次不等式kx +b c（c） （k、b、c为常数，k0)的解就是当函数y=kx+b的函数值大于c(小于c)时的自变量的取值范围。设计意图：让学生用方程的观点看一次函数，引导学生把注意力聚焦在思考一次函数与一元一次不等式的关系上。教师板书归纳4. 推广： 不等式ax+bc的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围； 不等式ax+bc的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围； 6.拓展延伸 问 题4：在什么时候，1 号气球比2 号气球高？在什么时候，2 号气球比1 号气球高？ 大家会从“数”和“形”两方面分别加以研究吗？（1）用不等式(“数”)的观点看：（2）用函数(“形”)的观点看： 师生活动：教师引导学生总结：由上可知，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解二元一次方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解二元一次方恒组相当于确定两条相应直线交点的坐标。设计意图：引导学生用函数的观点，从数和形两方面深化对二元一次方程组解的认识。为形成下面对一次函数与二元一次方程组关系的归纳提供样例7.课堂练习（1）右图坐标系中的图象所表示的方程组为 ；它的解为 . 当x 时，y1=y2 ；则关于x的方程 的解为为 . 当x 时，y1y2 ；则关于x的不等式 的解集为 . 当x 时，y1y2 ；则关于x的不等式 的解集为 . （2）(能力提升)若直线y =2x-4 与 直线 y =-x+m 的交点在第一象限，求 m 的取值范围 ? 师生活动：学生自主先思考，解答，然后教师请学