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第1章 波导的电磁和射线理论基础光束在介质中传输时，由于介质的吸收和散射而引起损耗，由于绕射(衍射)而引起发散，这些情况都会导致光束中心部分的强度不断地衰减。因此，有必要设计制作某种器件，它能够引导光束的传播，从而使光束的能量在横的方向上受到限制，并使损耗和噪声降到最小，这种器件通常称为光波导，简称波导。 I z光源 光强I随传输距离z的变化 光源 波导 接收器 结构最简单的波导是由三层均匀介质组成的，中间的介质层称为波导层或芯层，芯两侧的介质层称为包层。芯层的介电常数要比两侧包层的介电常数大，使得光束能够集中在芯层中传输，从而起到导波的作用。这种波导的介电常数分布是陡变的，也称为阶梯式变化，常称这种波导为平板波导。对波导模式特性的分析，应用两种理论，即波动光学理论和射线光学理论。对称三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布，e1 e2。非对称三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布，e1 e2 e3。光在本质上是一种电磁波。讨论光在波导中传播的最基本的方法是电磁理论方法，亦即波动光学方法。这种方法是从麦克斯韦方程组出发导出波动方程和亥姆霍兹方程，在一定的边界条件下求其解。一般而言，若想全面、正确地分析各种结构波导的模式特性，必须采用波动理论，才能够给出波导模式全面、正确的解析结果或数值结果。对光波导模式特性的分析，还可以采用射线光学理论。光射线，简称射线或光线，可以这样理解：一条很细很细的光束，它的轴线就是光射线。它的方向沿着光能流的方向。光线与光束是不同的，光线是无限细的，光束则有一定的尺寸。光线在均匀介质中的传输轨迹是一条直线，在非均匀介质中的传输轨迹是一条曲线。用射线去代表光能量传输路线的方法称为射线光学。射线光学是忽略光波长的光学，亦即射线理论是光波长趋于零的波动理论。射线光学理论的优点是对平板波导的分析过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。缺点是对于其他结构更为复杂的波导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。早期以光波导为题材的专著有两本，一本是Kapany和Burke的著作1，另一本是Marcuse的著作2。之后随着导波光学和集成光学的发展，又陆续出版了一些相关的具有较高学术水平的专著36。在这些著作中，对光波导模式的分析以Marcuse2和Adams4的著作最具代表性。本章的目的是对后续的章节提供波导的电磁理论基础，并给出经常应用的方程和公式。然后应用射线光学的基本理论对三层平板波导加以分析，目的是对波导的导波原理和与之相关的某些物理概念，为读者给出直观的物理意义和清晰的理解，并为以后运用波动光学理论分析各种结构光波导的模式特性打好基础。有关波导的电磁理论基础和应用射线理论对波导模式的分析可参见文献117及所引的相关文献，其中Maurer和Felsen9、Lotsch10和Tien11等人曾较早地应用射线理论对平板波导的模式进行过分析和讨论。1.1 麦克斯韦方程组电磁运动的基本规律由麦克斯韦方程组来描述，它是电磁理论的基础，其表达式为 (1.1-1) (1.1-2) (1.1-3) (1.1-4)式中，E为电场强度，D为电位移，H为磁场强度，B为磁感应强度，J为电流密度，r为电荷密度，t为时间，为微分算符，在直角坐标系o-xyz中，i、j、k分别为x、y、z方向的单位矢量。解决实际问题时，除了上述基本方程外，还必须引入下述关于介质电磁性质的实验关系，称为介质方程，它们反映了介质的宏观电磁性质。对于各向同性和线性介质，这些关系为 (1.1-5) (1.1-6) (1.1-7)式中，e0为真空电容率，e为介质的相对介电常数，m0为真空磁导率，m为介质的相对磁导率，s为电导率。对于各向同性、线性、非导电(电流密度J和电荷密度r皆为零)和非磁性(相对磁导率m近似等于1)介质，进一步有 (1.1-8) (1.1-9) (1.1-10) (1.1-11)此时麦克斯韦方程组(1.1-1)(1.1-4)变为 (1.1-12) (1.1-13) (1.1-14) (1.1-15)注意，一般情况下相对介电常数e是坐标的函数，因此在式(1.1-14)中e 要放在括号里面，受微分算符的作用。1.2 波动方程式(1.1-12)两端取旋度，并利用式(1.1-13)，可得到 (1.2-1)式中为真空中光速。利用恒等式 (1.2-2)式(1.2-1)变为 (1.2-3)由式(1.1-14)得到 (1.2-4)即有 (1.2-5)代入式(1.2-3)得到电场E满足的矢量波动方程为 (1.2-6)类似地，式(1.1-13)两端取旋度可得到 (1.2-7)利用式(1.1-12)、(1.1-13)得到 (1.2-8) 利用(1.1-15)有 (1.2-9) 代入式(1.2-8)得到 (1.2-10)由此得到磁场H满足的矢量波动方程为 (1.2-11)在介电常数e 陡变或缓变的情况下，即或，式(1.2-6)、(1.2-11)简化为 (1.2-14) (1.2-15)1.3 亥姆霍兹方程设电磁场E，H为时谐函数，对时间的依赖为，式中w为光波的角频率，此时，式(1.2-6)、(1.2-11)变为 (1.3-1) (1.3-2)令，式中k0称为真空中波数，l0为真空中光波长，代入式(1.3-1)、(1.3-2)，则矢量波动方程可表示为 (1.3-3) (1.3-4)在介电常数e 陡变或缓变的情况下，即或，矢量波动方程(1.3-3)、(1.3-4)简化为下述的矢量亥姆霍兹方程 (1.3-5) (1.3-6)矢量方程(1.3-5)、(1.8-6)含有6个分量方程，可统一地用下述的标量亥姆霍兹方程来表示 (1.3-7)式中f 代表电磁场6个分量Ex、Ey、Ez、Hx、Hy、Hz中的任何一个分量。1.4 横向亥姆霍兹方程对于平板波导，其相对介电常数e 只是坐标x的函数，此时电磁场某一横向分量f = f(x, y, z)满足的标量亥姆霍兹方程(1.3-7)取下述形式 (1.4-1)应用分离变量法求解上方程，可令 (1.4-2)代入式(1.4-1)得到 (1.4-3)上式中的第一、二项只是x的函数，第三项只是y的函数，第四项只是z的函数，三者之和为零，因此应各自等于某一常数，于是可令 1.4-4) (1.4-5)式中，g 为波矢k沿y方向的分量，称为y方向传播常数，b 为波矢k沿z方向的分量，称为z方向传播常数。注意，方程(1.4-4)、(1.4-5)的右端不能出现正号的情况，因为出现正号时，其一组特解为、，则当y或z趋于正无限大时，h(y)、x(z)变为无限大，这是场的有限性所不能允许的；类似地，其另一组特解为、，则当y或z趋于负无限大时，h(y)、x (z)亦变为无限大，这也是场的有限性所不能允许的。方程(1.4-4)、(1.4-5)的解可取为 (1.4-6) (1.4-7)式(1.4-6)、(1.4-7)代入式(1.4-2)，并考虑到电磁场对时间t的依赖，则f(x, y, z, t)可表示为 1.4-8)式中，y(x)为振幅，是坐标x的函数，称为沿x方向的横向场分布函数。式(1.4-4)、(1.4-5)代入式(1.4-3)则可得到横向场分布函数y (x)满足的方程为 (1.4-9)对于e = e(x)的情况，常选z轴为光的传播方向，则y方向传播常数g = 0，则式(1.4-8)简化为 (1.4-10)而式(1.4-9)简化为 (1.4-11)上式即为平板波导的横向亥姆霍兹方程，此时z方向传播常数b简称为传播常数。在一定的电磁场边界条件下可求出式(1.4-11)的一系列特解和，这些特解称为本征模。1.5 电磁场的边界条件麦克斯韦方程组并不能完全确定具体问题的电磁场。若想完全确定具体问题的电磁场，则必须考虑具体问题的边界条件。具体问题的边界条件最常出现在介电常数不连续的地方，可由积分形式的麦克斯韦方程组得到。把斯托克斯定理应用于麦克斯韦方程(1.1-1)和(1.1-2)，把高斯定理应用于麦克斯韦方程(1.1-3)和(1.1-4)，并令介质为非导电的，即J = 0，r = 0，可得到下述积分形式的麦克斯韦方程组 (1.5-1) (1.5-2) (1.5-3) (1.5-4)其中，式(1.5-1)、(1.5-2)中的曲线L为非闭合曲面S的周界曲线，式(1.5-3)、(1.5-4)中的闭合曲面S为某一空间体积V的周界曲面，dl为曲线L的线元矢量，dS为曲面S的面元矢量。首先考虑方程(1.5-1)。我们在介质分界面处取一个小狭长形回路，回路的两个长边平行于界面。回路的一个长边在介质1中，另一个长边在介质2中，如图1-1(a)所示。两个短边则穿越界面，并令其长度趋于零，因此电场E在两个短边上的线积分亦趋于零。令两个长边的长度各为Dl，因其很小可把其上的电场E1和E2各自视为常数。两个长边的线元矢量分别为dl1和dl2，二者皆沿两个长边的切线方向，且方向相反。令t为切线方向的单位矢量，即有dl1 = tdl，dl2 = -tdl。因而方程(1.5-1)的左端为 (1.5-5) 式中E1t、E2t分别为在界面两侧介质1和介质2中电场E的切线分量。由于两个短边的长 图1-1 边界条件简图度趋于零，这时狭长方形回路L所围成的曲面S的面积亦趋于零，因此磁感应强度B在其上的积分亦趋于零，进而其对时间的变化率亦趋于零，式(1.5-1)右端的面积分为零，因此由式(1.5-5)得到 (1.5-6)因，因而由上式得到 (1.5-7)对方程(1.5-2)进行同样处理得到 (1.5-8)式中H1t、H2t分别为在界面两侧介质1和介质2中磁场H的切线分量。式(1.5-7)、(1.5-8)表明在介质分界面处电场E和磁场H的切向分量都是连续的。然后考虑方程(1.5-3)。我们在介质分界面处取一个小扁平形圆柱，圆柱的两个底面平行于界面。圆柱的一个底面在介质1中，另一个底面在介质2中，如图1-1(b)所示。圆柱的侧面则穿越界面，并令其高度趋于零，这时扁平形圆柱侧面的面积亦趋于零，因此电位移D在侧面上的面积分亦趋于零。令两个底面的面积各为DS，因其很小可把其上的电位移D1和D2各自视为常数。两个底面的面元矢量分别为dS1和dS2，二者皆沿两个底面的法线方向，且方向相反。令n为法线方向的单位矢量，即有dS1 = ndS，dS2 = -ndS。因而方程(1.5-3)的左端为 (1.5-9) 式中D1n、D2n分别为在界面两侧介质1和介质2中电位移D的法线分量。上式代入式(1.5-3) 得到 (1.5-10)因，因而由上式得到 (1.5-11)对方程(1.5-4)进行同样处理得到 (1.5-12)式中B1n、B2n分别为在界面两侧介质1和介质2中磁感应强度B的法线分量。式(1.5-11)、(1.5-12)表明在非导电介质分界面处电位移D和磁感应强度B的法向分量都是连续的。1.6 TE模电磁场分量及其边界条件三层平板波导的横截面及相对介电常数分布如图1-2所示，b为波导芯厚度，e1 ，e2，e3分别为波导芯、下包层(有时也可能是下限制层或衬底)和上包层的相对介电常数，相应的折射率分别为n1、n2、n3，它们与相对介电常数的关系为、。为了分析方便，常令，或，当e2 = e3时为对称三层平板波导，当e2 e3时为非对称三层平板波导。对于e = e(x)的情况，选z轴为光的传播方向，此时y方向传播常数g = 0，因此当坐标x给定后，电磁场在y方向上不再随坐标y而变化，相当于。我们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式，亦即亥姆霍兹方程(1.4-11)的解。在平板波导中存在两种基本模式，一种称为TE模，另一种称为TM模。两种模式用光的电场和磁场的偏振方向来定义比较直观。选择电场只沿平行于波导界面的y方向偏振，此时电场垂直于光的传输方向z，是横向的，因而把这种模式称为横电模(Transverse Electric Mode)，又称为TE模。选择磁场只沿平行于波导界面的y方向偏振，此时磁场垂直于光的传输方向z，是横向的，因而把这种模式称为横磁模(Transverse Magnetic Mode)，又称为TM模。而波导中其他形式的电磁场都可以按这两种基本模式进行傅里叶展开来表达。在本节和下节中将分别讨论TE和TM模电磁场各分量之间的关系及其边界条件。图1-2 三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布，e1 e2 e3，当e2 = e3时为对称三层平板波导，当e2 e3时为非对称三层平板波导。选择电场E只沿y方向偏振，即电场E只有y分量Ey(x, z, t)，x方向和z方向的分量Ex(x, z, t)、Ez(x, z, t)皆为零，因此电场E垂直于光的传播方向，是横向的，于是这种TE模的电场分量可写为 (1.6-1a) (1.6-1b) (1.6-1c)式中Ey0(x)为Ey (x, z, t)的振幅，亦即沿x方向的横向场分布函数。TE模磁场H的分量可令为 (1.6-2a) (1.6-2b) (1.6-2c)因为，Ex = 0，Ez = 0，麦克斯韦方程(1.1-12) 即可写成下述形式 (1.6-3)由此可得到下述三个分量方程 (1.6-4a) (1.6-4b) (1.6-4c)式(1.6-1b)、(1.6-2)代入式(1.6-4)，并利用、，可得到 (1.6-5a) (1.6-5b) (1.6-5c)由式(1.6-1)、(1.6-5)可知，TE模电磁场的6个分量中有3个分量为零，另外3个分量不为零，即Ex0(x) = 0，Ez0(x) = 0，Hy0(x) = 0，Ey0(x) 0，Hx0(x) 0，Hz0(x) 0。由式(1.6-5)还可看出，只要知道Ey0(x)的表达式，Hx0(x)、Hz0(x)的表达式都可以用Ey0(x)表示出来。因此对于TE模我们只要求出Ey0(x) 的表达式，则Hx0(x) 和Hz0(x)的表达式亦可求出。在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切向分量都是连续的。y方向和z方向都是介质分界面的切向，因此Ey0(x)、Hz0(x) 在介质分界面处都是连续的。由式(1.6-5c)可知，Hz0(x)连续则相当于连续。令第i层介质与第j层介质在x = a 处存在一个介质分界面，则TE模在x = a 处的边界条件可写为x x = a zy (1.6-6)1.7 TM模电磁场分量及其边界条件选择磁场H只沿y方向偏振，即磁场H只有y分量Hy (x, z, t)，x方向和z方向的分量Hx(x, z, t)、Hz(x, z, t)皆为零，因此磁场H垂直于光的传播方向，是横向的，于是这种TM模的磁场分量可写为 (1.7-1a) (1.7-1b) (1.7-1c)式中Hy0(x)为Hy (x, z, t)的振幅，亦即沿x方向的横向场分布函数。TM模电场E的分量可令为 (1.7-2a) (1.7-2b) (1.7-2c)因为，Hx = 0，Hz = 0，麦克斯韦方程(1.1-13) 即可写成下述形式 (1.7-3)由此可得到下述三个分量方程 (1.7-4a) (1.7-4b) (1.7-4c)式(1.7-1b)、(1.7-2)代入式(1.7-4)，并利用、，可得到 (1.7-5a) (1.7-5b) (1.7-5c)由式(1.7-1)、(1.7-5)可知，TM模电磁场的6个分量中有3个分量为零，另外3个分量不为零，即Hx0(x) = 0，Hz0(x) = 0，Ey0(x) = 0，Hy0(x) 0，Ex0(x) 0，Ez0(x) 0。由式(1.7-5)还可看出，只要知道Hy0(x)的表达式，Ex0(x)、Ez0(x)的表达式都可以用Hy0(x)表示出来。因此对于TM模我们只要求出Hy0(x) 的表达式，则Ex0(x)、Ez0(x)的表达式亦可求出。在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切向分量都是连续的。y方向和z方向都是介质分界面的切向，因此Hy0(x)和Ez0(x) 在介质分界面处都是连续的。由式(1.7-5c)可知，Ez0(x)连续则相当于连续。令第i层介质与第j层介质在x = a 处存在一个介质分界面，则TM模在x = a 处的边界条件可写为x x = a zy (1.7-6)1.8 平均能流密度和传输功率电磁波传输的能流密度由坡印亭矢量来表示，为 (1.8-1)它是场强的二次式，是实物理量。因此计算它时不能把场强的复数形式直接代入，而应把其实部代入上式。再有S是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它对时间的平均值。这里首先给出二次式对时间求平均值的一般公式，在此公式中场强仍用复数表示。设有两个时空复函数分别为 (1.8-2)式中f0(r)、g0(r)分别为f (r, t)、g (r, t)的振幅，为实函数。这两个函数的乘积在一个周期T内的平均值为 (1.8-3)由式(1.8-2)有 (1.8-4)比较式(1.8-3)、(1.8-4)，则可得到二次式对时间求平均值的一般公式为 (1.8-5)把式(1.8-5)应用到式(1.8-1)上，则可得到能流密度S对时间求平均值的公式为 (1.8-6)我们称为平均能流密度。对于平板波导的TE模，Ex0(x) = 0，Ez0(x) = 0，Hy0(x) = 0，Ey0(x) 0，Hx0(x) 0，Hz0(x) 0。根据式(1.8-6)，TE导模的平均能流密度为 (1.8-7)由式(1.6-5a)和(1.6-5c) (1.6-5a) (1.6-5c)可以判断出式(1.8-7)中的第一项为纯虚数，第二项为纯实数，因此式(1.8-7)变为 (1.8-8)上式表明平均能流密度只在z方向上有分量，即光场的能量总是沿着光传输的方向而传输，即 (1.8-9)在y方向单位波导宽度上的传输功率P为平均能流密度(x)在波导截面上对坐标x的积分，因此平板波导TE模在y方向单位波导宽度上的传输功率P为 (1.8-10)对于平板波导的TM模，Hx0(x) = 0，Hz0(x) = 0，Ey0(x) = 0，Hy0(x) 0，Ex0(x) 0，Ez0(x) 0。根据式(1.8-6)，TM导模的平均能流密度为 (1.8-11)由式(1.7-5a)和式(1.7-5c) (1.7-5a) (1.7-5c)可以判断出式(1.8-11)中的第一项为纯虚数，第二项为纯实数，因此式(1.8-11)变为 (1.8-12)即有 (1.8-13)因此平板波导TM模在y方向单位波导宽度上的传输功率P为 (1.8-14)从上面的讨论可以看出，波导中的传输功率P的表达式可由下式给出 (1.8-15)1.9 模式类型我们知道在量子力学中，微观粒子的运动状态分为两种。一种是束缚态，粒子的能量以能级的形式出现，取分立值并组成分立谱；另一种是非束缚态，粒子的能量连续变化并组成连续谱。类似地，波导的模式也分为两种。一种是把绝大部分光能量限制在波导的芯区中，波导呈现导波性，这种模式称为导引模式，简称为导模；另一种是光能量不断地辐射到芯区以外的包层中去，波导呈现辐射性，这种模式称为辐射模式，简称为辐射模。导模的传播常数取分立值并组成分立谱，而辐射模的传播常数取连续值并组成连续谱，这将在第2章中作详细的分析。三层平板波导的横截面和相对介电常数分布如图1-2所示，令光沿z方向传输，光在y方向不受限制。下面我们应用射线光学理论对非对称三层平板波导进行分析，对于对称三层平板波导，只要在分析结果中令即可。1.9.1 折射定律和全反射光在波导中传输时，从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发生反射和折射，如图1-3所示。反射光的轨迹在芯层中是一个锯齿波。令入射角为q1，在下界面的折射角为q2，在上界面的折射角为q3。当入射角q1较小时光在上下两个界面上都不发生全反射，此时光在上下两个界面上的入射和折射满足下述的折射定律图1-3 光的反射和折射，空间辐射模 (1.9-1)即有 (1.9-2) 由式(1.9-1)可得 (1.9-3)因为，由式(1.9-2)可判断出，在090范围内。当入射角q1增大时，折射角q2 和q3也随之增大。当q3增大到90时，光在上界面上发生全反射。如果入射角q1继续增大，使得q2也增大到90时，光在下界面上也要发生全反射。光发生全反射时所对应的入射角称为临界角。由式(1.9-3)可得到光在下、上两个界面上发生全反射时的临界角q12、q13分别为 (1.9-4)因为，所以。1.9.2 空间辐射模图1-3 光的反射和折射，空间辐射模当入射角较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射，如图1-3所示。在这种情况下，光在传输过程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不断地从上下包层中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。因此若产生空间辐射模，入射角q1必须满足下述条件 (1.9-5)由此可以得到 (1.9-6)我们定义为模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，产生空间辐射模的条件又可写为 (1.9-7)令，称k0为真空中波数，l0真空中光波长，并定义为模式的传播常数，它是波矢k的z分量，即。引入传播常数的概念后，上式两端同乘以k0，因此产生空间辐射模的条件又可写为 (1.9-8)有效折射率N是一个无量纲的物理量，传播常数b的单位通常采用cm-1或mm-1表示。1.9.3 衬底辐射模图1-4 衬底辐射模如果入射角q1增大到使光在上界面发生全反射但在下界面还没发生全反射，如图1-4所示。此时光在传输过程中不断地有折射光进入下包层，即光能量不断地从下包层(有时也为衬底)中辐射出去，这种模式称为衬底辐射模。因此若产生衬底辐射模，入射角q1必须满足下述条件 (1.9-9)由此还可把产生衬底辐射模的条件写为 (1.9-10)上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为 (1.9-11)1.9.4 导模如果入射角q1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射时，此时上下包层中不再有折射光，如图1-5所示。在这种情况下，光能量不再向包层中辐射，光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿z方向传输，这种模式称为导模。因此若产生导模，入射角q1必须满足下述条件图1-5 导模 (1.9-12)由此还可把产生导模的条件写为 (1.9-13)上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为 (1.9-14)导模的有效折射率N不可能大于波导芯的折射率n1，传播常数不可能大于k0n1。1.9.5 表面模对于某些特殊结构的波导，如金属包层型波导和非线性波导，会出现其有效折射率大于波导芯折射率n1、传播常数大于 k0n1的情况。这种N n1或的模式称为表面模。令真空中光波长为l0，频率为f，角频率为w，在波导中光波长为l，则波导中模式传播的相速度为 (1.9-15)在上面讨论的几种模式中，辐射模的传播常数最小，因此辐射模的相速度最大，称为“快波”，而表面模的传播常数最大，因此表面模的相速度最小，称为“慢波”。对于一般的由线性、非导电介质组成的三层平板波导，其中所能存在的模式类型及相应的入射角q1、有效折射率N和传播常数b的范围总结于表1.1。表1.1 线性、非导电介质组成的三层平板波导的模式类型及相应的入射角q1、有效折射率N和传播常数b的范围折射率分布 模式类型 q1 N bn1 n2 n3 空间辐射模 衬底辐射模 导 模 n1 n2 = n3 空间辐射模 导 模 1.10 全反射相移光在波导界面上发生全反射时，入射角大于临界角。以下界面为例，有 (1.10-1) 下面应用反射系数公式，分别讨论TE和TM模由全反射而引起的相移。1.10.1 TE模TE模在介质下界面上发生反射和折射时，反射系数为 (1.10-2)式中E、分别为入射场强和反射场强。光在下界面发生全反射时，利用式(1.9-1)、(1.10-1) (1.9-1) (1.10-1) 可得 (1.10-3)上式说明发生全反射时折射角q2变为虚数。代入式(1.10-2)得到 (1.10-4)式中 (1.10-5)式(1.10-4)表明，光在下界面发生全反射时，反射光与入射光之间要产生一个相移-2f12。若令 (1.10-6a) (1.10-6b)则有 (1.10-7a) (1.10-7b) (1.10-7c)代入式(1.10-5)则有 (1.10-8)同理，光在上界面发生全反射时的反射光与入射光之间也要产生一个相移-2f13，其中 (1.10-9)1.10.2 TM模TM模在介质分界面上发生反射和折射时，反射系数为 (1.10-10)光在下界面发生全反射时，式(1.10-3)代入式(1.10-10)得到 (1.10-11)式中 (1.10-12)-2f12为光在下界面发生全反射时反射光与入射光之间产生的相移。此时令 (1.10-13)式中 仍由式(1.10-7)给出，代入式(1.10-12)则有 (1.10-14)同理，光在上界面发生全反射时，反射光与入射光之间也要产生一个相移-2f13，其中 (1.10-15)对于TE和TM模，T2、T3的定义是不同的，参见式(1.10-6a)、(1.10-13)，因而它们的全反射相移也是不同的。这些全反射相移称为相移。图1-6给出了TE和TM模的全反射相移(量值的一半)f12随入射角q1的变化曲线，取折射率比n2/n1 = 0.3 (近似对应于空气与GaAs)，0.5 (近似对应于空气与LiNbO3)，0.7 (近似对应于空气与SiO2)，0.9，0.99。入射角q1从临界角q12增大到90时，全反射相移(量值的一半)f12从0增大到。图1-6 全反射相移(量值的一半)f12随入射角q1的变化曲线，取n2/n1 = 0.3，0.5，0.7，0.9，0.99。实线：TE偏振，虚线：TM偏振。1.11 穿透深度和有效波导芯厚度图1-5 导模图1-7 穿透深度和有效波导芯厚度。在以前的讨论中，当光在波导界面上发生全反射时，认为光就在入射点上发生反射，入射和反射在同一点上发生，也就是说认为反射点和入射点是同一个点。 这时光在波导中的轨迹是一个锯齿波，但实际上却不然。Goos和二人曾于19