自适应滤波器 word.doc

1自适应滤波器简介最早人们根据生物能以各种有效的方式适应生存环境从而使生命力变强的特性引伸出自适应这个概念。自适应滤波器属于现代滤波器的范畴，它是40年代发展起来的自适应信号处理领域的一个重要应用。60年代，美国B.Windrow和Hoff首先提出了主要应用于随机信号处理的自适应滤波器算法，从而奠定自适应滤波器的发展。所谓自适应滤波器，即利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号与噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应信号处理主要是研究结构可变或可调整的系统，它可以通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传输的环境和要求，无须详细知道信号的结构和实际知识，无须精确设计处理系统本身。自适应系统的非线性特性主要是由系统对不同的信号环境实现自身参数的调整来确定的。自适应系统的时变特性主要是由其自适应响应或自适应学习过程来确定的，当自适应过程结束和系统不再进行时，有一类自适应系统可成为线性系统，并称为线性自适应系统，因为这类系统便于设计且易于数学处理，所以实际应用广泛。本文研究的自适应滤波器就是这类滤波器。自适应信号处理的应用领域包括通信、雷达、声纳、地震学、导航系统、生物医学和工业控制等。自适应滤波器是相对固定滤波器而言的，固定滤波器属于经典滤波器，它滤波的频率是固定的，自适应滤波器滤波的频率则是自动适应输入信号而变化的，所以其适用范围更广。在没有任何关于信号和噪声的先验知识的条件下，自适应滤波器利用前一时刻已获得的滤波器参数来自动调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随机变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器出现以后，发展很快。由于设计简单、性能最佳，自适应滤波器是目前数字滤波器领域是活跃的分支，也是数字滤波器研究的热点。主要自适应滤波器有：递推最小二乘（RLS）滤波器、最小均方差（LMS）滤波器、格型滤波器、无限冲激响应（IIR）滤波器。其中RLS滤波器具有稳定的自适应行为而且算法简单，收敛性能良好。实际情况中，由于信号和噪声的统计特性常常未知或无法获知，这就为自适应滤波器提供广阔的应用空间、系统辨识、噪声对消、自适应谱线增强、通信信道的自适应均衡、线性预测、自适应天线阵列等是自适应滤波器的主要应用领域。2自适应滤波器设计原理自适应滤波器是以最小均方误差为准则，由自适应算法通过调整滤波器系数，以达到最优滤波的时变最佳滤波器. 设计自适应滤波器时，可以不必预先知道信号与噪声的自相关函数，在滤波过程中，即使噪声与信号的自相关函数随时间缓慢变化，滤波器也能自动适应，自动调节到满足均方误差最小的要求。自适应滤波器主要由参数可调的数字滤波器和调整滤波器系数的自适应算法两部分构成自适应滤波器的一般结构如图1所示。参数可调数字滤波器可以是FIR滤波器或IIR数字滤波器，也可以是格形滤波器。图1中d(n)为期望响应，x(n)为自适应滤波器的输入，y(n)为自适应滤波器的输出，e(n)为估计误差，e(n)=d(n)-y(n)，前置级完成跟踪信号的选择，确定是信号还是噪声；后置级根据前置级的不同选择对数字滤波器输出作不同的处理，以得到信号输出。自适应滤波器的滤波器系数受误差信号e(n)控制，e(n)通过某种自适应算法对l滤波器参数进行调整，最终使e(n)的均方值最小。因此，实际上，自适应滤波器是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器，在设计时不需要实现知道关于输入信号和噪声的统计特性的知识，它能够在自己的工作过程中逐渐“了解”或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自己的参数，以达到最佳滤波效果。一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整参数，使滤波器性能重新达到最佳。参数可调数字滤波器自适应滤波器算法+d(n)x(n)e(n)y(n)图1自适应滤波器的一般结构图3自适应滤波器的结构及算法3.1自适应滤波器结构自适应滤波器的结构有FIR和IIR两种。FIR滤波器是一种非递归系统，即当前输出样本仅是过去和现在输入样本的函数，其冲击响应是一个有限长序，并且仅在原点处有极点；IIR滤波器是递归系统，即当前输出样本是过去输出和过去输入样本的函数，并且其冲击响应具有无限的持续时间。因为FIR滤波器除原点外，只有零点没有极点，因此其具有很好的线性相位，即这种滤波器不会给信号带来相位失真，而IIR的相位响应是非线性的；另外，由于FIR滤波器是非递归的，稳定性比较好，而IIR滤波器的稳定性不能得到保证，并且实现起来也比较复杂；由于IIR滤波器存在稳定性的问题，并且实现起来也比较复杂。因此本设计采用FIR滤波器。自适应FIR滤波器结构又可分为3种结构类型：横向型结构、对称横向型结构以及格形结构，由于FIR滤波器横向结构的算法具有容易实现、计算量少等优点，在对线性相位要求不严格、收敛速度不是很快的场合，多采用FIR作为自适应滤波器横向结构。故本设计采用这种FIR横向滤波器结构作为自适应滤波器的结构，如图2示+W2(n)+y(n)X(n-N+1)X(n)WN-1(n)Wo(n)W1(n)Z-1Z-1Z-1+自适应算法图2FIR横向滤波器结构图设其中X(n)=x(n),x(n-1),x(n-N+1)T，为自适应滤波器的输入矢量；W(n)=w0(n),w1(n),wn-1(n)T是权系数矢量，即自适应滤波器的冲激响应；y(n)为自适应滤波器的输出矢量。T为矩阵转置符，n为时间序列，N为滤波器的阶数。自适应滤波器除包括一个按照某种结构设计的滤波器外，还有一套自适应的算法。自适算法是根据某种判断来设计滤波器的。该算法包括最小均方算法（LMS）、最小高阶均方算法（LMF）、最小平方算法（OLS）、递推最小算法（RLS）等等。下面我们先讨论各种自适应算法的原理及性能比较。3.2自适应算法及性能分析3.2.1自适应算法的基本概念自适应算法是解决参数未知，时变系统控制问题的有力工具。人们通过迫使被控对象跟踪特性理想的参考模型，来获得要求的闭环系统性能，这一控制形式已在许多控制领域得到应用。常用的自适应算法有:SMI(SampledMatrixInversion，抽样矩阵求逆);甩RLS(RecursiveLeastSquares，递归最小平方);LMs(LeastMeanSquares，最小均方);DDLMS(DecisionDirectedLeastMeanSquares，判决直接最小均方);CMA(Constantmodulusalgorithm，常系数算法)。3.2.1.1算法描述(l)SMI算法SM工算法的性能准则是使参考信号和阵列输出信号之间的均方误差最小。误差公式为:误差的平方可展开为:定义相关矩阵为: 其均方误差为: 要使均方误差最小，则:由此求得最佳加权矢量为:，即为著名的最优解“维纳解”。统计相关值。和己是未知的，但可由信号的抽样值来估算相关性。具体方法是:对输入信号矢量和参考信号都取K个抽样值，则输入信号形成MxK矩阵，用X表示，则自相关矩阵的估计值为:互相关矩阵己的估计值为: 自适应加权矢量可用估计值计算为: 另外，求相关矩阵的估计值时可以不必除以K，最终得到的加权值仍正确，即:（2）LMS算法LMs算法的性能准则是采用瞬时平方误差性能函数|e(k)|2代替均方误差性能函数E|e(k)|2,其实质是以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数求得下个时刻的权系数。其输出信号y(k)、输出误差e(k)及权系数W(k)的计算公式为:式中X(k)表示第k时刻参考信号矢量，,k为迭代次数,M为滤波器的阶数。d(k)表示第k时刻的输入信号矢量,y(k)、e(k)分别表示第k时刻的输出信号与输出误差,W(k)表示k时刻权系数矢量,W(k)=W(k,0),W(k,1)W(k,M-1)。表示LMS算法步长收敛因子。自适应滤波器收敛的条件是。其中是输入信号的自相关矩阵R的最大特征值。的选取必须在收敛速度和失调之间取得较好的折中,既要具有较快的收敛速度,又要使稳态误差最小。它控制了算法稳定性和自适应速度，如果产很小，算法的自适应速度会很慢;如果很大，算法会变得不稳定。由于LMS算法结构简单、计算量小、稳定性好,因此被广泛应用于系统辨识、信号增强、自适应波束形成、噪声消除以及控制领域等。（3）DDLMS算法DDLMS算法的特点是使用判决方法生成参考信号。阵列输出的信号经过解调后进行二值判决，生成参考信号，这是在比特速率下进行的判决。由于该算法不适合于本设计，在此不深入阐述。（4）CMA算法CMA算法是一种盲自适应算法，即不需要参考信号。其迭代算法如下:该算法的收敛性在理论上无法保障。同时该算法的另外一个缺陷是，如果有一个较大的干扰信号，则该算法往往收敛到一个错误的信号上。综上所述，LMS，SMI,CMA,DDLMS算法都具有收敛性，但SMI算法比LMS算法收敛速度快，LMS，SMI,DDLMS都需要参考信号，且SMI算法较复杂，CMA算法理论上可能不收敛。RLS算法（递推最小二乘法）是最小二乘法的一类快速算法，它包含时间递推最小二乘法（TRLS）与阶数递推最小二乘法（ORLS）两大类。通常说来，RLS自适应算法具有快速收敛性，最小均方误差自适应算法（LMS）的收敛性对输入信号相关矩阵参数很灵敏。所研究的自适应滤波算法直接根据一组数据寻求最佳输出，最小二乘算法就可解决这个问题。换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数据的最佳滤波器，而根据最小二乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。对同一类数据来说，最小均方误差准则对不同的数据组导出同样的“最佳”滤波器，而最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤波器，因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。故本设计就是采用RLS算法。下面我们将分析基本的RLS算法的原理及其性能。3.2.2基本RLS算法原理及性能分析首先叙述最小二乘法的基础，然后推导递推最小二乘算法的计算公式。3.2.2.1最小二乘滤波方程设已知n个数x(1)，x(2)，x(n)，我们要根据这些数据，利用图4的m阶线性滤波器来估计需要信号y(1)，y(2)，y(n)。x(2)e(i)+W2(n)+y(i)x(i-N+1)x(1)Wm-1(n)Wo(n)W1(n)Z-1Z-1Z-1d(i)图3 m阶RLS滤波器算法原理对y(i)的估计式可表为y(i)= (1)估计误差为e(i)=d(i)-y(i)=d(i)- (2)若假设in时x(i)=d(i)=0，我们有如下n+m-1个估计误差e(1)=d(1)-w1(n)x(1)e(2)=d(2)-w1(n)x(2)-w2(n)x(1)e(m)=d(m)-w1(n)x(m)-wm(n)x(1)e(n)=d(n)-w1(n)x(n)-wm(n)x(n-m+1) (3)其余的e(i)均为零。根据最小二乘法原理，wk(n)的最佳值应使下式中的(n)（累计平方误差性能函数）为最小。(n)=e2(n) (4)式（4）中的i的变化范围有下列四种取法：:1in+m-1 自相关法:1in 前加窗法:min+m-1 后加窗法:min 协方差法之所以上列方法获得相应的名称，是因为方差法对已知数据x(1),x(n)之外的数据未作任何假定，它的处理仅利用已知数据。前加窗法假定当in时，x(i)=0；而相关法即前后窗法则假定in时，x(i)=0。相关法的相关矩阵是对称的，但是后三种方法的起动特性比相关法好，因而受到相当的重视。本文应用前加窗法的最小二乘自适应滤波器。对于前加窗法，其输入数据可写成如下矩阵形式AT=我们只利用(3)式前n个误差。令m矢量m(n)=w1(n),wm(n)T (5)xm(n)=x(1),x(n-m+1)T (6)这样，前加窗法的n个误差，即式(3)的前n项，可写成e(1)=d(1)-xTm(1)m(n)e(2)=d(2)-xTm(2)m(n)e(n)=d(n)-xTm(n)m(n) (7)引入n维矢量e(n)=e(1),e(n)T (8)d(n)=d(1),d(n)T (9)及mn维矩阵Xm(n)=xm(1),xm(n) (10)则式可写成e(n)=d(n)-XTm(n)m(n) (11)这样前加窗法最小二乘性能函数为而求m(n)的最佳值问题归结为min(n)=e2(n) (12)为求解此问题，将式代入式得(n)= (13),由此得到最小二乘滤波器的正则方程 0M-1 (14)其中rx(,m)= 0,mM-1 (15)q()= 0M-1 (16)现定义 (17)q=q(0),q(1)q(M-1)T (18)RX=其中q为输入与期望响应的互相关矢量，RX为确定性输入自相关矩阵。b=d(1),d(2)，d(n)T (19)因为RX=ATA,其中AT为前加窗法时的输入矩阵。则（14）式又可表示为RX=q或（ATA）=ATb也可写成=RX-1q=（ATA）-1ATb (20)而此时(n)达到最小值,求得其最小值为=b-ATb-A=bT-TATb-A=bTb-ATb-bA+TATA=bTb-bTA=bTb-bTA（ATA）-1ATb (21)令d(n)=bTb=表示期望响应的信号能量。3.2.2.2递推最小二乘法递推最小二乘法即RLS算法，是最小二乘法的递推形式引出一种自适应算法，它是严格以最小二乘方准则为依据的算法。其主要优点就是收敛速度快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关。主要缺点是每次迭代计算量很大（对于L阶横向滤波器，计算量数量级为L2）。RLS（递推最小二乘法）算法的关键是用二乘方的时间平均的最小化锯带最小均方准则，并按时间进行迭代计算。对于非平稳信号的自适应处理，最合适的方法是采用最小二乘自适应滤波器。它使误差的总能量最小。RLS算法的优点是收敛速度快,其收敛性能与输入信号的频谱特性无关,但其缺点是计算复杂度很高,对于N阶的滤波器,RLS算法的计算量为O(N2)1,2为了对非平稳信号进行跟踪,RLS算法引入了数加权遗忘因子。该遗忘因子的引入,使RLS算法能够对非平稳信号进行跟踪。 （22）其中为遗忘因子，01，引入加权因子的目的是为了赋予老数据与新数据以不同的权值，以使自适应滤波器具有对输入过程变化的快速反应能力。由（8）式可知e(n)=e(1),e(n)T令(n)=diag(n-1,，0)(n)为一对角矩阵。则（22）式可以写成=e(n)T(n)e(n)=e(n)Te(n) (23)因为e(n)=b(n)-A(n)W(n) (24)将（23）式左乘，就可以直接利用式（20）的结果，求得RLS自适应横向滤波器的正则方程，此时只需把式（20）式中的b用b(n)代替，A用A(n)代替，由此得到正则方程的举证表示式（n）=(AT(n)(n)A(n)-1AT(n)(n)b(n)=RX-1(n)q(n) (25)其中RX(n)是确定输入自相关矩阵，q(n)是确定性输入与期望响应的互相关矢量，可分别表示为RX(n)=AT(n)(n)A(n)= (26)q(n)=AT(n)(n)b(n)= (27)X(i)=x(i)x(i-1)x(i-M+1) (28)此时式（23）的达到它的最小值min(n)，由式（21）可知min(n)=bT(n)b(n)-bT(n)(n)A(n)(AT(n)(n)A(n)-1AT(n)(n)b(n)=d(n)-qT(n)(n) (29)其中d(n)=bT(n)b(n)= （30）现我们推导RX(n)的递推形式RX(n)=RX(n)=RX(n-1)+ (31)同理也可写出q(n)的递推形式q(n)=q(n-1)+X(n)d(n) (32)根据矩阵求逆原理（见附录A），若A,B是MN的正定矩阵，C是一个MN矩阵，D是一个NN矩阵，当A=B-1+CD-1CT时，有A-1=B-1BC(D+CTBC)-1CTB。现令A=,B-1=,C=X(n),D=I则有R-1X(n)= (33)现令P(n)=R-1x(n)K(n)= (34)(33)式可写成 (35)(34)式令写做K(n)=P(n)X(n) (36)利用式（25）和（32），可以得到（n）=R-1X(n)q(n)=P(n)q(n)= (37)将式（36）带入（37）式中得到(n)的递推形式(n)= (38)将式（36）带入式（38）中得到递推最小二乘法的正则方程= （39）其中 （40）内积表示利用n-1时刻滤波器权系数对期望响应d(n)作的一个估计，所以称为先验估计误差，又称为预测误差。区别与。称为后验估计误差，由式（34）（39）（40）也就是RLS算法的一组表示式，下图给出了RLS 自适应横向滤波器算法的信号流图。应用RLS算法，要求对P(0)和进行初始化，P(0)的选择要保证相关矩阵的非奇异性。通常，可以采取如下办法，将的表示式作如下修改 （41）其中是一个小的正常数。可以证明，这种修改仅仅影响的初始的一些值，而对与RLS算法中的递推关系是不会产生影响的。而且我们知道对于大的n值，值的选择也是不重要的。对于n=0有 (41)而通常可选=0。整个RLS算法流程如下所示：初始条件：（是一个小的正常数），=0。对于每个时刻n=1,2,3。（1）取得d(n),X(n)。（2）更新增益矢量（3）更新滤波器增益参量（4）更新逆滤波器根据以上基本RLS算法的公式可知，基本RLS算法每次迭代需要次乘法，一次除法和次加减法，即每次递推运算的次数为)。其中M为滤波器的阶数。遗忘因子的数值对算法影响很大，由（4）式可知，新到的数据比旧的数据更重要，旧数据的权值按指数规律衰减,越旧的数据对(n)的影响就越小。文献1中指出,1-的倒数可以粗略地描述数据记忆的长度。文献2定义了一种数据有效记忆长度,即用来t0度量算法的有效记忆长度。t0定义如下t0= (42)越小，对应的t0越小，意味着对信号的非平稳性的跟踪性能越好。但如果太小，t0会小于信号每个平稳段的有效时间，这时不能充分利用所能够获取的取样数据（这些数据本来覆盖着整个平稳段），结果所算出的权矢量m(n)将会受到噪声严重的影响。这已被模拟试验所证实，对于平稳信号，的最佳值为1。对于非平稳信号来说，可根据信号的统计特性来决定。具体到对于语音信号来说,语音信号是非平稳过程。只有在一短段时间间隔中,语音信号才保持相对稳定一致的特性,这一短段时间一般可取550ms文献6。也就是说在550ms的时间段内,语音信号可以看成平稳的。考虑到信号处理过程要有一定的持续期,文中将这段时间延长到原来的4倍,即20T200ms。设信号的抽样速率为Fs,在时间段t对应的抽样数据点数为TFs,，根据（42）式有=TFs (43)=T (44)由20T200ms,可以得到的取值范围0.02Fs/1+0.02Fs0.2Fs/1+0.2Fs (45)由（37）式，即为在语音信号的自适应滤波的遗忘因子的取值范围。对于Fs=8kHz的抽样速率,的取值范围为0.99380.9993。3.2.3 RLS算法的收敛性这里讨论RLS算法收敛特性两个方面的问题：一是从均值的意义上讨论的收敛性；二是从均方值的意义上讨论误差e(n)的收敛性。为了讨论进行这样的讨论，必须对输入过程的类别作出规定。3.2.3.1 系统模型考虑随即机回归模型 （46）其中x(n)是零均值过程是均值为零,方差为的高斯白噪声序列。现用图5所示使用自适应滤波器的参数识别系统来说明RLS算法的收敛性。 d(n)e(n)+_x(n)W0+V(n)图5自适应滤波器的参数识别框图1.的收敛性对公式，其中。根据式(27)可以写出 （47）当式（22）中达到最小时，根据式(25),满足（n）=(AT(n)(n)A(n)-1AT(n)(n)b(n)=RX-1(n)q(n) （48）将式（41）写成如下形式 (49)其中 （50）将式（47）和式（49）带入式（48）中得故 (51)假定输入过程呈各态历经的平稳随机过程，对于=1的情况，当n很大时，有 （52）其中表示输入矢量的组合平相关矩阵，所以 (53)由此可见，当时，故滤波器的权矢量个估计是无偏的。2.的收敛性考虑到与的不相关性，所以根据矩阵迹的性质，加权矢量的均方误差又可写成 （54）其中由式(25)可知=(AT(n)(n)A(n)-1AT(n)(n)b(n)现令，则 (55)将式(55)带入式(54)中得因此因为与的不相关，则上式变为 (56)对于时有采用这些近似则式(56)可划简为 (57)由式（54）可知 (58)根据自适应滤波器失调量的定义 (59)在不加权情况下，在加权情况下，。由此可见，在不加权情况下，失调量随时间增加而趋于0，这意味着输出的均方误差随时间的增长而趋于理论最小值，在指数加权的情况下，失调量渐进于。显然值越小，失调量越大。从而收敛性变差。4仿真实例和仿真结果分析本章详细介绍了应用 MATLAB 中的 Simulink 对RLS 自适应算法的自适应滤波器的仿真过程。描述了整个仿真实验中的思想和具体的仿真过程、难点以及最终的仿真结果。整个仿真系统的搭建虽然复杂，但是分析起来并不困难。仿真的结果证明了这种并联型电力有源滤波器的实时性和可行性，为以后的设计提供了良好的经验和理论基础。4.1仿真软件 MATLAB 的简介和基本功能4.1.1MATLAB 的发展和基本构成MATLAB的含义是矩阵实验室（MATRIX LABORATRY），取每一个英文单词的前三个字母，即为 MATLAB。MATLAB 是当前国际上最流行的数学分析软件，它除了传统的交互式编程外还提供了丰富的矩阵运算，图形绘制，数据处理，图像处理，方便的 Windows编程等便利条件。它可靠的数值计算和符号计算功能、简单易学的编程语言、强大的图形功能以及为数众多的应用工具箱是区别于其它科技应用软件的显著特点。MATLAB是由CleveMoler教授于1980首创，并于1984由MathWorks公司开始出版发行的著名数学计算软件。1990年MathWorks公司为MATAB提供了新的控制系统模型图形与仿真工具Simulink。目前，Simulink为用户提供了用方框图形进行建模的图形接口，具有直观、方便、灵活的优点。当 Windows 版本引入图形仿真环境 Simulink后，MATLAB才发展到今天这样广泛的使用范围。1993年MathWorks公司从加拿大滑铁卢大学购得Maple的使用权，Maple为引擎开发了SymbolicMathToolbox1.0。在1998年，MathWorks又推出了电力系统仿真的专用电力系统工具箱SimPowerSystem，利SimPowerSystem与SimMechanics和Simulink一起构造包括电、机械和控制等方面的电力系统结构框图，并进行仿真，从而大大减少了编程工作量。MathWorks公司于2001年推出MATLAB6.0版本，6.X版在继承和发展其原有的数值计算和图形可视能力的同时，出现了以下几个重要变化：（1）开发了与外部进行直接数据交换的组件，打通了MATLAB进行实时数据分析、处理和硬件开发的道路。（2）推出了符号计算工具包。（3）推出了Notebook。目前