虚功原理毕业论文.doc

唐山师范学院本科毕业论文题 目 虚功原理及其应用学 生 顾宏伟指导教师 王志刚 副教授年 级 2004级本科专 业 物理学系 别 物理系唐山师范学院物理系2008年5月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师王志刚的指导下独立撰写完成的。如有剽窃抄袭造假等违反学术道德学术规范侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众监督。特此郑重声明。毕业论文作者（签名）：顾宏伟2008年 5 月 16 日目 录标题.1中文摘要.1引言.1一 虚功原理及其涉及到的基本概念.1（一）约束的概念及其分类.1（二）广义坐标与自由度.1（三）虚位移、虚功和理想约束.1 （四）虚功原理.2（五）虚功原理的其他形式.3二 关于虚功原理的几点说明.4三 虚功原理的应用.4（一）虚功原理在简单刚体系统平衡问题中的应用.4（二）虚功原理在电磁学中的应用.8四 小结.11参考文献.11致谢.12外文页.13 唐山师范学院本科毕业论文（设计）开题报告书论文题目 虚功原理及其应用 学生姓名 顾宏伟学 号 040106011081 指导教师 王志刚年 级 04 级本科 专 业物 理 学2008年2月 27 日说 明1. 本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。2. 课题来源分为教师提供选题或学生自拟课题；教师的科研任务；社会有关单位委托的课题；其他来源。3. 若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。 题目来源教师提供选题主要研究内容1 虚功原理涉及的基本概念。2 虚功原理的几种形式及其推导。3 虚构原理在简单刚体系统平衡问题中的应用。4 虚功原理在电磁学中的应用。开题依据（包括前人的工作、相关研究现状、此项研究的理论意义、学术价值、应用前景等） 虚功原理是理论力学中分析力学部分的一个很重要的原理。前人对虚功原理知识进行了深入的研究，已形成一理论体系，并在此基础上研究了虚功原理的应用问题，对虚功原理的证明给出了一些方法。但其研究范围都比较狭窄，不够透彻。对于虚功原理的应用研究较少，实用性不强。 本文将总结虚功原理，对虚功原理进行深入研究，对虚功原理给予简单推导，并对知识的一些具体运用如在电磁学等方面予以介绍。 本文的研究将加深对虚功原理知识的认识，希望对以后的研究具有一定的参考价值。起止时间和进度安排（包括外出调研）0708学年第一学期第17周到18周 确定课题，查阅资料，准备开题0708学年第二学期第1周 书写开题报告、文献综述、任务书，开题答辩0708学年第二学期第2周到3周 完成初稿0708学年第二学期第4周 教师审阅0708学年第二学期第5周到第8周 完成二稿0708学年第二学期第9周到第10周 定稿0708学年第二学期第11周 教师审阅，交打印论文稿0708学年第二学期第12周 论文答辩预期成果及其形式完成有关虚功原理的推导。深入讨论关于虚功原理的应用，并且形成科学论文，使该部分内容具有一定的学术价值和学习参考价值。形成论文。可行性分析（已具备的条件和待解决的问题；拟采取的研究方法、技术路线、实验方案等） 对虚功原理的基础知识已经基本掌握，对虚功原理的研究方法有了基本认识。争取能够在前人的基础上，对相关知识进行系统的研究性总结，并加深对其相应内容的理解和进一步研究，使其对该问题有一定新的认识。主要参考文献1 周衍柏编理论力学教程 M高教出版社 1986 2 王笃学、冯维明. 理论力学M上海交通大学出版社.2003.83 吴少平.虚功原理及其应用J.高等函授学报（自然科学版），2000.10，第13卷，第5期：24页4 刘景世. 虚功原理在静电学中的应用J.渤海大学出版社（自然科学版），2006.6，第27卷，第12期：153页5 孙红霞. 浅谈用虚功原理解电磁学问题的优越性J.辽宁师专学报.2000.9，第2卷，第3期：23页6 范钦珊、刘燕、王琪.理论力学M.清华大学出版社7 Robert A.Becker:Introduction to Theoretical Mechanics 1954J,McGraw-Hill指导教师审查意见虚功原理及其应用是理论力学的重要内容，对其深入研究是非常必要的，虚功原理的几种导出对教材是必要的补充，同意开题。 指导教师（签名）：王志刚 2008年2 月29 日 教研室（研究室）论证意见虚功原理是理论力学的重要内容，它是分析力学的基础理论，所以对其深入研究是非常必要的，虚功原理的几种导出对教材是必要的补充，同意开题。参加论证人员签名：_综合物理_教研室（研究室）主任（签名）： 2008年3月3日 系指导与答辩委员会审查意见_系主任（签名）： 2008年 月 日唐山师范学院本科毕业论文（设计）任务书系 别物理系专 业物理学班 级04级本科姓 名顾宏伟性 别男学 号040106011081毕业论文（设计）题目虚功原理及其应用指导教师姓名王志刚职 称副教授所在单位唐山师院物理系毕业论文基本要求深入讨论以下内容：1.虚功原理涉及的基本概念。2.虚功原理的几种形式及其推导。3.虚构原理在简单刚体系统平衡问题中的应用。4.虚功原理在电磁学中的应用。文章内容结构合理，语句通顺，结论科学正确，论文字数在6000字以上。 指导教师签字：王志刚 2008 年 2 月28 日主要参考文献主要参考文献1 周衍柏编理论力学教程 M高教出版社 1986 2 王笃学、冯维明. 理论力学M上海交通大学出版社.2003.83 吴少平.虚功原理及其应用J.高等函授学报（自然科学版），2000.10，第13卷，第5期：24页4 刘景世. 虚功原理在静电学中的应用J.渤海大学出版社（自然科学版），2006.6，第27卷，第12期：153页5 孙红霞. 浅谈用虚功原理解电磁学问题的优越性J.辽宁师专学报.2000.9，第2卷，第3期：23页6 范钦珊、刘燕、王琪.理论力学M.清华大学出版社7 Robert A.Becker:Introduction to Theoretical Mechanics 1954J,McGraw-Hill进程安排起 止 时 间完 成 内 容第七学期第17周到18周确定课题，查阅资料，准备开题第八学期第1周书写开题报告、文献综述、任务书，开题答辩第八学期第2周到3周完成初稿第八学期第4周教师审阅第八学期第5周到8周完成二稿第八学期第9周到10周定稿第八学期第11周教师审阅，交打印论文稿第八学期第12周论文答辩系意见 系主任签名： 年 月 日The Principle of Virtual Displacements and the General Equation of DynamicsVirtual Displacements of a System. Degrees of FreedomIn this chapter we shall examine another general principle of mechanics, the principle of virtual displacements, which establishes the equilibrium conditions for any mechanical system in the most general form.In examining the equilibrium of systems of bodies by the methods of so-called geometrical statics one has to investigate the equilibrium of each body separately, replacing the constraints with immediately unknown reactions. When a system consists of a large number of bodies, the method becomes unwieldy because of the need to solve a large number of equations with many unknown quantities.Characteristic of the method based on the principle of virtual work is that the action of constraints is taken into account not by introducing the reaction forces but by investigating the possible displacements of a system as if its equilibrium was disturbed. These displacements are known in mechanics by the name of virtual displacements.Virtual displacements of the particles of a system must satisfy two conditions:(1) they must be infinitesimal, since if a displacement is finite, the system will occupy a new configuration in which the equilibrium conditions may be different; (2) they must be consistent with the constraints of the system, as otherwise we should change the character of the mechanical system under consideration. For instance, in the crankshaft mechanism in Fig. 1, a displacement of the points of the crank OA into configuration OA1 can not be considered as a virtual displacement, as the equilibrium conditions under the action of forces P and Q will have changed. At the same time, even an infinitesimal displacement of point B of the connecting rod along BD would not be a virtual displacement; it would have been possible if the slides at B were replaced by a rocker ,i.e., if it were a different mechanism.Thus, we shall define as a virtual displacement of a system the sum total of any arbitrary infinitesimal displacement of the particles of the system consistent with all the constraints acting on the system at the given instant. We shall denote the virtual displacement of any point by an elementary vector in the direction of the displacement.In the most general case, the particles and bodies of a system may have a number of different virtual displacements (not considering and as being different). For every system, however, depending on the type of constraints, we can specify a certain number of independent virtual displacements such that any other virtual displacement will be obtained as their geometrical sum. For example, a bead lying on a plane (or surface) can move in many directions on the plane. Nevertheless, any virtual displacement may be produced as the sum of two displacements and along two mutually perpendicular horizontal axes ().The number of possible mutually independent displacements of a system is called the number of degrees of freedom of that system. Thus, the bead mentioned above (regarded as a particle) has two degrees of freedom. A crankshaft mechanism, evidently, has one degree of freedom. A free particle has three degrees of freedom (three independent displacements along mutually perpendicular axes). A free rigid body has six degrees of freedom (three translational displacements along orthogonal axes and three rotations about those axes).The Principle of Virtual DisplacementsBy virtual work is meant the elementary work that could have been done by a force acting on a material particle in a displacement coinciding with the particles virtual displacement. Let us denote the virtual work done by an active force by the symbol (, where is the angle between the direction of the force and the displacement), and the virtual work done by the reaction of a constraint by the symbol .In the past we introduced the important concept of systems with ideal constraints. It follows from Eq. that the constraints imposed on a system are ideal if the sum of the elementary works done by the reactions of those constraints in any virtual displacement of the system is zero, i.e.,. Consider a system of material particles in equilibrium under the action of the applied forces and constraints, assuming all the constraints imposed on the system to be ideal. Let us take an arbitrary particle belonging to the system and denote the resultant of all the applied active forces (both external and internal) by the symbol , and the resultant of all the reactions of the constraints (also external and internal) by the symbol . Since point is in equilibrium together with the system, , or . Consequently, in any virtual displacement of point , the virtual works and done by the forces and are equal in magnitude and opposite in sense and therefore vanish, i.e., we have. Reasoning in the same way we obtain similar equations for all the particles of a system, adding which we obtain:. But if the constraints imposed on the system are ideal, the second summation, by Eq ., is zero, whence, or . We have thus proved that if a mechanical system with ideal constraints is in equilibrium, the active forces applied to it satisfy the condition . The reverse is also true, i.e., if the active forces satisfy the condition , the system is in equilibrium. From this follows the principle of virtual displacements*: The necessary and sufficient conditions for the equilibrium of a system subjected to ideal constraints is that the total virtual work done by all the active forces is equal to zero for any and all virtual displacements consistent with the constraints. Mathematically the necessary and sufficient condition for the equilibrium of any mechanical system is expressed by Eq., which is also called the equation of virtual work. In analytical form this condition can be expressed as follows:. In Eq. ,are the projections of the virtual displacements of point on the coordinate axes. They are equal to the infinitesimal increments to the position coordinates of the point in its displacement and are computed in the same way as the differentials of coordinates. The principle of virtual work provides in general form the equilibrium conditions of any mechanical system, whereas the methods of geometrical statics require the consideration of the equilibrium of every body of the system separately. Furthermore, application of the principle of virtual work requires that only the active forces be considered and this makes it possible to ignore all the unknown reactions of constraints when the constraints are ideal. Solution of Problems For a system with one degree of freedom, Eqs. and immediately give the equilibrium conditions. If a system has several degrees of freedom, then the condition or must be developed for each of the independent displacements of the system separately, i.e., the number of equilibrium equations is equal to the number of degrees of freedom of a system. In problem solutions the number of degrees of freedom of plane mechanisms is conveniently determined as follows. Imagine a mechanism to be moving. If by stopping a translation or rotation of any unit we stop the whole mechanism, then it has one degree of freedom. If, when the translation or rotation of any unit is stopped, the mechanism continues to move, and if it can be stopped by additionally preventing the displacement of some other part, then it has two degrees of freedom, etc. For solving problems by the geometrical method we must:(1) depict all the active forces applied to the system under consideration; (2) impart a virtual displacement to the system and denote by vectors the elementary displacements of the points of application of the forces, or by angles the elementary rotations of the bodies subjected to forces (if a system has several degrees of freedom, it must be given one of the independent displacements); (3) compute the virtual work done by all the active forces in the given displacement according to the formulas or and write condition ; (4) establish the dependence between the quantities and in Eq. and express all of them in terms of one quantity, which can always be done as the system was given an independent virtual displacement. When all the quantities or in Eq. are expressed in terms of one of them, we obtain an equation from which we can find the required quantity or relation. When a system has several degrees of freedom, the foregoing procedure must be repeated for independent displacement. The relation between the quantities and can be found either (a) from purely geometrical considerations or (b) kinematically, i.e., first determine the relation between the corresponding linear velocity and angular velocity which the system would have if it were in motion, and then take into account that and . In the analytical method the equilibrium equation is written in the form . For this the coordinate axes are taken with reference to a body which remains stationary during the virtual displacement of the system. Then the projections of all the active forces on these axes and the position coordinates ,of all the points of application of the forces must be computed, the coordinates being expressed in terms of any one parameter (angle, for instance). Then the quantities,are found by differentiating the coordinates ,with respect to that parameter. If it is impossible to express all the coordinates,in terms of one parameter immediately, several parameters should be introduced, such that the relation between them can later be established. In conclusion, note that condition and can be applied when there are frictional forces, if they are included among the active forces. Similarly, the reactions of constraints can be determined if the corresponding constraints are removed and their reactions are included among the active forces.虚位移原理和一般动力学方程 系统的虚位移，自由度在这一章里我们将考察另一个一般力学原理，虚位移原理，此原理用最一般的形式为任何力学系统建立了平衡条件。在用所谓的几何静力学方法考察系统的平衡的时候，必须研究每个物体的平衡而没有考虑未知反作用力。当一个系统由大量的物体组成的时候，这种方法变得不实用，因为需要解大量含有许多未知量的方程。这种方法以虚功原理为基础，其特征是约束作用不是以引入反作用力的形式来加以考虑，而是通过研究一个系统可能的位移，就好像它的平衡被打乱了。在力学里这些位移被称为虚位移。组成一个系统的质点的虚位移必须满足两个条件：（1）它们必须是无限小量，因为如果一个位移是有限的，这个系统将形成一个新的结构，在这种新的结构里，平衡条件可能不同；（2）它们必须满足一个系统的各个约束，否则我们应该认为这个力学系统的特征改变了。 例如，在图1中的机轴机构中，曲柄转动到这个位置上各个点的位移不能看作一个虚位移来，因为在力和的作用下平衡条件会改变。同时，甚至棒的接头处的点沿着的一个无穷小的位移也不能看作一个虚位移；如果在点的滑动被一个摇杆取代，也就是如果是一个不同的机构的话，它将是可能的。因而，我们将一个系统的一个虚位移定义为，在特定的时刻这个系统的质点的任意一个满足作用在系统上的约束作用的无穷小的位移。我们将用一个基本的矢量来表示任意一个点在位移方向上的虚位移。在大多数一般情况下，一个系统的质点和物体可能有很多不同的虚位移（不考虑和不同）。然而，对每一个系统而言，我们可以依据约束的类型来详细说明某些独立的虚位移，以致于可以用将这些独立虚位移几何求和的方法得到任何其他的虚位移。比如说，一个放在平面（或表面）上的珠子可以在该平面上沿许多方向移动。然而，作为沿着两个互相正交的水平轴的位移和之和的任意虚位移可能产生()。一个系统的互相独立的可能位移的数目叫做该系统的自由度数。因而，上面所提到的珠子（当作一个质点考虑）有两个自由度。很明显，一个机轴装置有一个自由度。一个自由质点有三个自由度（三个沿着互相正交的轴的独立位移）。一个自由刚体有六个自由度（三个沿着直角轴的平移和三个沿那些轴的旋转）。虚位移原理虚功的意思是，作用在具体质点上的一个力在与这个质点的虚位移一致的位移上可能做的功。我们用符号 (，这里是力的方向和位移方向的夹角)表示一个主动力所做的虚功，并且用表示一个约束反作用力所做的虚功。在过去我们介绍了具有理想约束的系统这个重要概念。它遵循方程，也就是说，如果在系统的任意虚位移上那些约束反作用力所做的虚功之和为零，则施加在这个系统上的约束是理想的. 考虑一个由若干个质点组成的在主动力和约束的作用下处于平衡状态的系统，假设施加在这个系统上的所有约束是理想的。我们取一个属于这个系统的任意质点，并且用符号表示所有的施加的主动力（包括外部和内部的）作用的合效果，用符号表示所有约束反作用力（也包含外部的和内部的）作用的合效果。因为点和系统一起处于平衡状态，所以有，或。因此，在点的任意虚位移中，力和所做的虚功和是大小相等符号相反的，所以消去了，也就是说，我们有.用同样的方法进行推理，我们得到针对一个系统的所有质点的相似的方程，把它们相加我们得到. 但是，如果施加在这个系统上的约束是理想的，根据方程（1）第二个和式等于零，由此, 或 . 因此，我们已经证明了，如果一个具有理想约束的力学系统处于平衡状态，施加在它上面的主动力满足条件。反过来也成立，也就是说，如果这些主动力满足条件，该系统处于平衡状态。从这里紧接着得到了虚位移原理：一个受理想约束的系统处于平衡状态的必要和充分条件是，对于任意或所有的满足约束条件的虚位移，所有的主动力所做的虚功之和等于零。在数学上，任意力学系统的平衡状态的必要充分条件表述为方程，这个方程也叫虚功方程。这个条件用解析的形式可以表示如下：. 在方程中,是点的虚位移在坐标轴上的投影。它们和这个点在它的位移方向的位置坐标的无穷小增量是相等的，并且同样用坐标的微分来计算。虚功原理以一般的形式为任意力学系统提供了平衡条件，尽管几何静力学的方法需要单独考虑一个系统中每个物体的平衡。而且，虚功原理的应用要求只考虑主动力，而这恰恰使当约束为理想约束的时候忽略所有的未知约束反力成为可能。问题的解决方法对于具有一个自由度的系统来说，方程和很容易给出平衡条件。如果一个系统有多个自由度，那么方程或必须单独地写成以系统的每一个独立位移表示的形式，也就是说，一个系统的平衡方程的个数与这个系统的自由度数相等。在解决问题的方法中，平面机构的自由度数可以很方便地像下面这样确定。设想一个机构将要移动。如果通过阻止任意个体的一个平移或旋转，我们能够使整个机构停下来，那么它有一个自由度。如果当任意个体的平移或旋转停下来的时候，这个机构仍然继续运动，并且如果通过另外阻止某个其他部分的位移的方式它可以停下来，那么，这个系统有两个自由度等等。用几何方法解决问题，我们必须：（1）描述考虑到的所有施加在系统上的主动力；（2）给这个系统一个虚位移并用矢量（各个点上所施加力的作用引起的微小位移）来表示，或者用角（各个力所引起的物体的微小旋转）来表示（如果一个系统有多个自由度，必须给出独立位移中的一个）；（3）通过下面的公式计算所有主动力在给定位移上所做的虚功 or 并且写上方程；（4）用方程在和两个量之间建立关系，进而以一个量来把所有量表示出来，这种方法一直可以使用，因为这个系统被给予了一个独立的虚位移。当方程中的所有这两个量用其中一个表示出来的时候，我们得到一个方程，从这个方程我们可以得到必需量和关系。当一个系统有多个自由度的时候，前面的程序必须因为独立的位移而重复。从纯几何或者运动学上考虑可以发现和这两个量之间的关系，也就是说，如果这个系统在运动，首先确定这个系统可能有的相应的线矢量和角矢量之间的关系，然后考虑和。用解析的方法，平衡方程可以写成的形式。因而对一个物体来说，坐标轴用作参考而在系统发生虚位移的过程中保持静止。然后所有主动力在这些坐标轴上的投影和在这些点上所施加的力的相应坐标,必须计算出来，这些相应的坐标以任意一个参量（例如角度）表示出来。然后通过对关于这个参量的坐标,求微分来建立,这些量。如果不能直接用一个参量来表示所有的坐标,，则应该引入多个参量，以便它们之间的关系随之建立。总之，注意当存在摩擦力的时候，如果这些摩擦力包含在主动力中，可以应用条件和。同理，如果相应的约束是无关的，并且它们的反作用包含在主动力中，则约束反作用力可以确定出来。唐山师范学院本科毕业论文文献综述姓 名顾宏伟系 别物理系专 业物理学年 级04级本科论文题目虚功原理及其应用指导教师王志刚完成时间2008年 2月 27日查阅的主要文献1 周衍柏编理论力学教程 M高教出版社 1986 2 王笃学、冯维明. 理论力学M上海交通大学出版社.2003.83 吴少平.虚功原理及其应用J.高等函授学报（自然科学版），2000.10，第13卷，第5期：24页4