证明不等式的几类主要技巧.doc

重庆三峡学院毕业论文论文题目：证明不等式的几类主要技巧专 业：数学与应用数学(师范类)年 级：2004级学 号：200406030128作 者： 指导老师： 完成时间：2008年5月目 录摘要：IAbstractII 引言12 几个著名的不等式12.1 几个著名的不等式的叙述12.2 几个著名不等式的应用23 用放缩法证明不等式53.1 添舍放缩53.2 分式放缩53.3 裂项放缩63. 公式放缩83.5 换元放缩83.6 单调函数放缩94 构造法证明不等式94.1 构造向量证明不等式94.2 构造函数证明不等式114.3 构造方程证明不等式145 利用拉格朗日中值定理145.1 拉格朗日中值定理145.2 用拉格朗日中值定理的应用156 利用函数的单调性156.1 利用函数的单调性定义166.2 判定单调性的方法166.3 利用函数单调性的应用167 用三角代换证明不等式的方法与技巧167.1 如果条件中有167.2 如果条件中有.177.3 如果条件中有178 轮换对称不等式的证明技巧188.1 凑项升降幂法188.2 凑项去分母法188.3 凑项平衡系数法199 利用函数的凹凸性进行证明209.1 利用函数的凹凸性进行证明的内容209.2 利用函数的凹凸性进行证明的应用21致 谢22参考文献22证明不等式的几类主要技巧摘要：在数学的各个分支中,不等式是其主要的研究内容,无论是在函数论、代数学中,还是在几何学的各方向,不等式一直占据着重要的地位.而不等式的证明是不等式内容的基石,基于此,本论文主要讨论用各种方法来证明不等式,为常见不等式的证明指明了方向.根据不等式的外形,不等式的基本性质及其相关的定理,用拉格朗日中值定理、放缩法、构造法来证明不等式,解决了常见不等式和轮换对称不等式的证明方法, 仔细总结了具有规律的轮换对称不等式添减项的技巧,讨论了满足一定条件的三角代换及经过代换后用三角函数的取值范围及性质,力求达到举一反三的效果.文章开头用几个著名不等式来引入含有积分、求和、有理数次幂的不等式证明,而结尾用函数的凹凸性证明不等式.总之,不等式的证明方法灵活多样,方法独特,掌握一些重要的证明技巧是有必要的.关键字: 轮换对称不等式;三角代换;放缩法;构造法;柯西不等式The Several Main Skills of Proving InequalityCHEN Xiao.Ping(Grade 2004, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract: In the various branches of mathematics, inequality is the main content of the study, wheneverin function discuss, algebra,all the direction of the geometry, inequality has occupied an important position.The content of inequality has been laying on proving inequality, however, This paper discussed various methods to prove that inequality, for the common inequality prove that pointed out the direction. According to the shape of inequality, the fundamental nature of the inequality and relevant theorem, with Lagrange theorem, shrink.law, construction law to prove that inequality, the common Inequality and rotation symmetry of inequality prove method was resovled, Carefully summed up the skills which rotation symmetry of inequality enhance or inhance . discussed the triangular substitution meetded certain conditions and after substitution with trigonometric function of the range and nature strive to achieve the effect of flexible applied and extended.Articles begin with a few well.known inequality to the introduction of contain sum inequality prove, integral inequality prove, the power of rational menber inequality prove, by the end of this paper with the nature of convex function in order to prove special inequality.In a word Inequality prove have flexible and diverse methods Particular method master some important prove skills that are necessaryKeywords: Rotation symmetry Inequality;Trigonometric Substitution;Amplify.reduction LawConstruction Law;Cauchy InequalityI2008届数学与应用数学专业毕业论文 引言不等式在数学的各个分支中占据着不可忽视的地位,从某种意义上讲,它比等式的用途还要大.数学家们给我们留下了一些经典的不等式,从结构上看具有对称性和数学美,从内容上讲,具有丰富性和深刻性,在我们日常生活中经常遇见,具有广泛的用途,例如: 柯西(Cauchy)不等式、许瓦兹（Schwarz）不等式、赫尔德(Holder)不等式、杨氏（Young）不等式. 几个著名的不等式本小节主要讲述几个著名的不等式及其它们的应用,以Cauchy不等式和Schwarz不等式为重点,其中又把柯西不等式应用分成四个小的方面来论述,体现了柯西不等式的重要性.2.1 几个著名的不等式的叙述（）柯西不等式：若和是任意实数,则有等号当且仅当(为常数,)时取到.（）许瓦兹不等式：若在上可积,则 若在上连续,其中等号当且仅当存在常数,使得时成立(不同时为零) （3） 赫尔德(Holder)不等式设 ,且,则 ,当且仅当时等号成立当时,即为柯西不等式.因此,赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式,在分析学中有着较为广泛的应用.（4） 杨氏不等式若,且,则 .2.2 几个著名不等式的应用2.2.1 柯西不等式的应用柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据,我们在教学中应给予极大的重视.本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳.主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件,继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式.(1) 巧拆常数：例2.2.1 设、为正数且各不相等,求证: .分析：因为、均为正,所以为证结论正确只需证： 而 又 又、各不相等,故等号不能成立 原不等式成立.(2) 重新安排某些项的次序：例2.2.2 、为非负数,+=1,求证：.分析:不等号左边为两个二项式积,每个两项式可以使柯西不等式,直接做得不到预想结论,当把节二个小括号的两项前后调换一下位置,就能证明结论了.(3) 结构的改变从而达到使用柯西不等式：例2.2.3 若,求证:.分析:初见并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西不等式了因为因为 所以 所以结论改为 (4) 添项：例2.2.4 求证:.分析:左端变形 所以只需证此式即可注：柯西不等式：、,则推论： 其中、 其中、.2.2.2 Schwarz不等式的应用应用Schwarz不等式,可证明另外一些不等式,使用时,要注意恰当地选取函数.例2.2.5 已知,在上连续,为任意实数,求证:. (2-1)证明: (1)式左端第一项应用Schwarz不等式=. (2-2)同理 (2-3)式(2-2)+(2-3)即得 (2-1).例2.2.6 设函数在上连续可微, ,试证 (2-4)其中等号成立当且仅当(为常数) 时成立.证明:记,则,由知 =,因此 =(Schwarz不等式)=.(2-4)式获证 当时(2-4)式明显成立,只需要证明必要性.如上已证有,若(2-4)式中等号成立则有 (2-5)记 ,于是式(2-5)相当于方程式 (2-6)的判别式.因而二次方程(2-6)有唯一根: 当. (2-7)但在上连续(2-7)带入(2-6) 由=0,可得.若时也不为零,故,又由于,所以.最后,假若,即,因连续,知,在上,从而,但所以,属于中的特况,总之,不论是否为,当(1)式等号成立时(为常数).必要性获证.3 用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤.下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型.3.1 添舍放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路.例3.1.1 设为不相等的两正数,且,求证.证明:由题设得,于是,又,得,又,而,即,所以,故有.例3.1.2 已知不全为零,求证：.证明：因为,同理,.所以.3.2 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的.例3.2.1 已知为三角形的三边,求证:.证明：由于为正数,所以,所以,又为三角形的边,故,则为真分数,则,同理,故.综合得.3.3 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数有关的项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题.例3.3.1 已知,求.证明:因为,则.例3.3.2 已知且,求证：对所有正整数都成立.证明:因为,所以,又 ,所以,综合知结论成立.例3.3.3 设求证：证明:(1)采取逐项放缩的方,由于令则有 依项相加,即得 (2)设并引进辅助式比较两式的对应因式可知注:放缩法证不等式,常通过拆项、分组、加强命题等方式进行.此法没有固定模式,关键在于放缩要适度.放得过宽或缩得太小,都会导致方法失效.3. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解.例3.4.1 已知函数,证明:对于且都有.证明:由题意知又因为且,所以只须证,又因为所以.例3.4.2 已知,求证：当时.证明:.3.5 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的.例3.5.1 已知,求证.证明:因为,所以可设,所以则,即.例3.5.2 已知为ABC的三条边,且有,当且时,求证：. 证明:由于,可设（为锐角）,因为,则当时,所以.3.6 单调函数放缩根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解.例3.6.1 已知,求证:.证明:构造函数,首先判断其单调性,设,因为,所以,所以在上是增函数,取,显然满足,所以,即.4 构造法证明不等式构造法是本论文的核心,共分成三个方面进行阐述,其中构造函数证明不等式是构造法的重点,也是我们最常用和有效的办法,解题的关键是合理构造函数,再结合函数的一些性质获证.4.1 构造向量证明不等式例4.1.1 已知,求证.（分析:本题根据不等式的结构,我们的初步想法是应用分析法来证明不等式,其中就要运用我们的基本不等式了.这是我们的常规方法,但我们也可以根据它的结构,通过构造向量来解决它.这就是我们的新方法向量法.）证明:设, , ,故 即 当且仅当即时,不等式取等号.例4.1.2 已知,求证 证明:设 由性质1得 当且即当,即时,不等式取等号.例4.1.3 已知,且,求证.（分析:此题根据已知和求证的内容我们很容易想到运用基本不等式,同学们可以自行尝试；在这里我们可以通过数形结合的思想,运用已知和结论把它看作一个三维的,运用立体几何知识 求解.同学们也可以尝试；同样我们可以通过构造向量,运用其性质来解决.最终比较三种方法的优劣.） 证明: 所以 . 由向量不等式得 由 例4.1.4 求证:+ .（ 分析:根据不等式的结构,我们同样可以根据证明不等式的基本方法,运用分析法解决,这是我们的常规方法之一,同样观察此题结构也可用向量的方法解决,通过构造向量运用它的性质来解决.） 证明:设向量那么=,=,=, + 例4.1.5 设,求证:+ (分析:由不等式的结构特征和均值不等式的对称性,我们可以证明出此式,同样此题我们也可以通过构造向量来解决.) 证明:构造向量,令 (), ()由,得(+).()()即+ ,当且仅当时不等式取等号. 例4.1.6 设为不相等的正数,求证: . 证明:构造向量 那么=,=,=, , 又是不相等的正数 ,即不共线 例4.1.7 设,且,求证:.(分析:本题由不等式的条件和结构,最直接的想法是运用基本不等式,这是其中的一种方法.若,由M的结构让我们联想到M是两个向量的数量积,可构造向量,在由向量的性质即可证明.)解:构造向量 (), (1,1)由,得, .例4.1.8 若正数,求证:.(分析:本题我们可以运用基本不等式证明,这是我们的方法之一,同样我们也可以给出用向量证明的方法.)证明:构造向量 那么= = 由 可得 即2所以 .4.2 构造函数证明不等式本节分两个小的方面进行讨论,都要用到合理构造函数等相关知识,也是证明此类不等式的关键,函数构造恰当与否,直接影响到我们的解题.4.2.1 合理构造函数利用单调性证明不等式例4.2.1 求证：(1) 则;(2) ,且,则当且仅当时取等号.证明:(1)原不等式等价于 构造一次函数 则 于是,根据一次函数的单调性,在区间上恒大于.而,故,即.所以 .(2)构造二次函数 显然,对任意又 故(当且仅当时取等号)所以.注 函数思想是解决数学问题的重要思想,应用广泛.在不等式证明中,若能要据其结构特征,构造相应的函数,则可充分利用函数的性质,使问题简明.(2)中不等式及其证明可推广到一般情形：若 ,且,则4.2.2 合理构造函数利用导数证明不等式导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分.本文就谈谈导数在一元不等式中的应用.例4.2.2 已知,求证：.证明；构造函数 ,则,.所以在内是单调递增函数,故,即,故.这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的.这里是构造函数,利用函数的单调性来证明,简单、快捷.例4.2.3 已知为正整数,且.求证：.分析：将待证不等式两边取对数,得,即证明成立即可.证明:构造函数=,求导,得,所以在上是减函数.由,知,即,所以,即.例4.2.4 已知函数,其中,设在及取到极值,其中,求证：.证明:易求得.由在及取到极值,知是二次方程的两实根,又,即在区间内分别有一个实根.由及,得二次方程的两实根,得.以上是用导数次三次函数“降次”转化为研究二次方程在存在实根的问题,结合实根分布理论,运用数形结合的思想,实现了不等式的证明.例4.2.5 设函数,证明:.证明:由,得.构造函数,则.当时,所以在内为减函数.当时,所以在上为增函数.于是当时,有极小值.因为,所以即.设,则.当时,所以在上为减函数.因为,所以,即.综上所述,.用导数证明不等式,关键在于构造函数,然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性,再利用单调性得到所证明的不等式.4.3 构造方程证明不等式例4.3.1 若,证明：.解:设,则,.又,根据韦达定理,是关于的二次方程的实根.因为实数,故 所以 .方法2 通过构造方程证明不等式,足以表明方程与不等式的密切联系.此法也不失为一种巧妙方法.关于不等式的证明问题,是中学数学中的难点之一,其主要原因在于,有关不等式证明的题目灵活多变,没有固定的模式可循.但是,对于某些类型的不等式,只要通过认真观察、分析,还是可以找到他们的共同点的. 5 利用拉格朗日中值定理 根据不等式的外形,可直接或间接构造函数值的差与自变量的差的商的形式,考虑用拉格朗日中值定理,在利用前面的放缩法来对函数进行适当的放缩.证明此类不等式的关键是构造相应形式和判定函数满足拉格朗日中值定理的条件. 5.1 拉格朗日中值定理设满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导,则有一点,使得从上式可以看出,如果能确定了介于某两个数与之间,则有如下形式的不等式：因此,欲证形如或构造成为形式的不等式,可用该方法.5.2 用拉格朗日中值定理的应用例5.2.1 证明,当时,有.证明:由原不等式,因为,可改写为1的形式,或改写为1的形式,这里,区间为,于是可用拉格朗日中值定理证明.令,则满足拉格朗日中值定理的条件,于是存在有1所以,有不等式.例5.2.2 证明不等式（）.证明:这里,于是可对在上应用拉格朗日中值定理.令（x0）,则在上满足中值定理的条件,于是有,即,使得 （5-1）又因为,知有 （5-2）于是由（5-1）（5-2）可得.6 利用函数的单调性函数单调性证明不等式也是最常用方法之一.利用函数单调性,根据自变量大小,决定函数值大小, 常常与零比较大小,最后得到欲证明的不等式.判断函数单调性是解此类题的关键,要用到求导,作商,作差等初等方法进行判断.6.1 利用函数的单调性定义设在内有定义,任取且,如有则称在单调增加,如有则称在内单调减少.6.2 判定单调性的方法如在内的导数0,则在内单调增加；如导数0,则在内单调减少.从单调性的定义可以看出,若构造不成的形式,则可利用函数的单调性进行判定证明.6.3 利用函数单调性的应用例6.3.1 证明: 时,有.证明:令,则,所以单调增加,于是当时有,即有. 或.例6.3.2 证明1时,有.证明:令,则由1知,所以单调增加,于是当1时有,即得：. 用三角代换证明不等式的方法与技巧 用三角代换证明不等式对已知条件比较严格,必须满足能够用三角函数替换,利用三角函数的公式定理,最值等相关知识,代入欲证的不等式中,化简极可证得.此种方法证明不等式非常受限,但是很方便.顺理成章的对欲证进行整理即可.7.1 如果条件中有如果条件中有,可作代换.例7.1.1 已知：,求证：.证明:设,则 .例7.1.2 已知：,求证：.证明:设,则 ,又 ,故 .7.2 如果条件中有.如果条件中有,可作代换,（或,.例7.2.1 已知,求证：.证明:设,则 .7.3 如果条件中有如果条件中有,则可作代换,.例7.3.1 在中,求证：.证明:设,且,则.8 轮换对称不等式的证明技巧轮换对称不等式形式优美,证明技巧很多,但规律难寻.本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明,只要领悟添项的技巧,这类不等式完全可以程序化的模式证明.8.1 凑项升降幂法例8.1.1 已知,且,求证:.分析:由于当时,上述不等式的“=”成立,于是.证明：因为,所以,同理,上述三式相加,并将代入化简即得证.例8.1.2 证明Cauchy不等式.证明：设,则,所以,即.8.2 凑项去分母法例8.2.1设是正数,且,求证:（1990年第24届全苏数学奥林匹克十年级题）.分析:由于当时等号成立,于是.证明:设,因为所以,即.例8.2.2 设,且,求证：（1995年第36届IMO题2）.证明:原不等式等价于当时等号成立,此时,所以,同理,上述三式相加并化简得.例8.2.3 设角A、B、C满足求证:.分析：原条件等价于,当时等号成立,于是,上述三式相加并化简得证.8.3 凑项平衡系数法例8.3.1设,则.分析:当时等号成立.证明:因为, (8-1)将上述三式相加并化简得, (8-2)所以,即.注:只有(8-1)式的系数凑成,(8-2)式中的系数才能是.上述各种凑项方法不是相对独立的,可以交替使用,但凑项的关键是在求和时能利用已知条件,并能取到等号.9 利用函数的凹凸性进行证明 利用函数的凹凸性进行证明不等式.此种方法也要构造相应函数及形式再判断该函数的凹凸性,要用到二阶导数的相关知识.9.1 利用函数的凹凸性进行证明的内容 设函数在内有定义,如有则称函数在内为凹函数,如有,则称函数在内为凸函数；更加一般地,如有则称在内为凹函数,如有,则称在内为凸函数.其中,2因此,如在不等式的证明中出现了形如或的形式,可用函数凹凸性来证明.3函数凹凸性的判定：如在内的二阶导数,则函数为凹函数,如,则函数为凸函数.9.2 利用函数的凹凸性进行证明的应用例9.2.1 证明,当时,