2015《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准.doc

A卷20152016学年第一学期线性代数期末试卷答案（32学时必修） 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 应用数学系 考试日期 2016年1月15日 题 号一二三四五六七总分本题满分1515211612147本题得分阅卷人注意事项：1请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。本题满分15分本题得分说明：试卷中的字母表示单位矩阵；表示矩阵的伴随矩阵；表示矩阵的秩；表示可逆矩阵的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）15阶行列式中，项前面的符号为【 负 】.2.设，是的第4行元素的代数余子式，则 等于【 0 】.3设，为矩阵，且，则【 2 】. 4若向量组线性相关，则【 1 】. 5设是3阶实的对称矩阵，是线性方程组的解，是线性方程组的解，则常数【 1 】. 6设和是3阶方阵，的3个特征值分别为，若，则行列式【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分） 本题满分15分本题得分1. 设为3阶矩阵，且，则行列式等于【 A 】.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .2. 矩阵的逆矩阵为【 A 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) .3设是阶非零矩阵，满足，若，则【 A 】 (A) ； (B) ； (C) 可逆； (D) 满秩.4. 设，则的第3行第1列的元素为【 D 】 (A) ； (B) ； (C) ； (D) .5设，是使二次型正定的正整数，则必有【 B 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) 以上选项都不对.本题满分21分本题得分三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若线性无关，线性相关，求.解：因为与线性相关，所以必定存在不全为 零的数，使得 -2分整理得： 由于线性无关，因此可得由于不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此，由此得k = 6. -7分2. 设，若，求.解：由可知，由此可得 又 -2分因此 因此可得 . -7分3. 设矩阵，且，求与的值解：由可知的特征值相同，而易知的特征值为 -1,t,3，因此的特征值也为 -1,t,3 利用特征值的性质可得 -5分解得. -7分本题满分16分本题得分四、（共2小题，每小题8分）1求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令, 把进行行变换，化为行最简形， -6分则是C的列向量组的一个最大无关组，且，故是A的列向量组的一个最大无关组，且.-8分2. 问满足什么条件，才能使得共有两个线性无关的特征向量？解：由，得A的特征值：要使A有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即的解空间的维数为1，则， -6分而，因此可知. -8分本题满分12分本题 得分五、问为何值时，线性方程组无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解解：记方程组的增广矩阵为，则，对其进行行变换，化为行阶梯形：， 易知，当时，方程组无解； 当时，方程组有无穷多解； -6分当时，与原方程组同解的方程组为，由此可得原方程组的通解为. -12分本题满分14分本题 得分六、求实二次型的秩，并求正交变换，化二次型为标准形解：记二次型的矩阵为,故二次型的秩为1. -4分由，可得：，当求解的一个基础解系：，单位化：,当求解的一个基础解系：，正交化：，单位化：， -12分 令，则可得正交变换，二次型的标准形为：. -14分本题满分7分本题 得分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设是阶实的反对称矩阵，则对于任何维实的列向量，和正交，且可逆”您认为该结论成立吗？请说明理由.解：该结论成立。由于为反对称阵，则，对于任意维实的列向量，有：所以，即和正交； -3分考虑，即，等式两边同时左乘，得，由此得：，即只有零解，所