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第十九章量子物理 19 1黑体辐射和普朗克的能量子假说 19 2光电效应 19 3康普顿效应 19 4氢原子的玻尔理论 19 5弗兰克 赫兹实验 19 6德布罗意波实物粒子的二象性 19 7不确定关系 19 8量子力学简介 下页 上页 结束 返回 1黑体辐射和普朗克的能量子假说 一 基本概念 1 热辐射 分子的热运动使物体辐射电磁波 基本性质 温度 发射的能量 电磁波的短波成分 平衡热辐射 物体辐射的能量等于在同一时间所吸收的能量 2 辐射能量按波长的分布 单色辐出度M 单位时间内从物体单位表面发出的波长在 附近 单位波长间隔内的电磁波的能量 下页 上页 结束 返回 普朗克1858 1947 3 总辐出度M T 1 黑体 能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体 M 最大 且只与温度有关而和材料及表面无关 二 黑体和黑体辐射的基本规律 单位 W m 2 单位时间从物体表面单位面积辐射的总能量 黑体吸收本领最大其发射本领也最大 2 维恩设计的黑体 空腔小孔可近似作为黑体 下页 上页 结束 返回 4 维恩位移定律 mT b b 2 897756 10 3m K 5 67 10 8W m2K4 3 斯特藩 玻耳兹曼定律 黑体的辐出度与黑体的温度的四次方成正比 斯特藩 玻耳兹曼常数 当黑体的温度升高时 与单色辐出度M 的峰值对应的波长 m向短波方向移动 下页 上页 结束 返回 例1 1 温度为室温 20 C 的黑体 其单色辐出度的峰值所对应的波长是多少 2 若使一黑体单色辐出度的峰值所对应的波长在红色谱线范围内 其温度应为多少 3 以上两辐出度的比为多少 解 1 室温的温度为T 293K 由维恩位移定律得 红外谱线 2 取红光谱线的波长为6 50 10 7m 则 3 辐出度比 下页 上页 结束 返回 例2 从太阳光谱的实验观测中 测知单色辐出度的峰值所相对应的波长为483nm 试由此估计太阳表面的温度 解 把太阳背景视为黑体 太阳可视为黑体中的小孔 由维恩位移定律 由此方法估算宇宙中其它发光星体的表面温度 下页 上页 结束 返回 三 理论与实验的对比 1 瑞利 金斯公式 或 k为玻耳兹曼常量 2 维恩公式 略 3 经典物理的困难 瑞利 金斯公式只适用长波区 在短波与实验完全不符 因此称为 紫外灾难 维恩公式只适用短波 下页 上页 结束 返回 2 普朗克假定 1900 h 6 6260755 10 34J s 3 普朗克黑体辐射公式 nh 在全波段与实验结果惊人符合 辐射是物体中带电体的振动 振子 经典理论 振子的能量取 连续值 振子的能量为 h 物体发射或吸收电磁辐射 1 振子 的概念 经典 能量 量子 四 普朗克假设和普朗克黑体辐射公式 n 1 2 3 或 下页 上页 结束 返回 4 普朗克公式的推导 由瑞利 金斯公式 按普朗克能量分立 nh 一群固有频率为 的振子 能量遵循玻耳兹曼分布 物体中粒子总数为 N Nn 则平均能量 可求得 即 下页 上页 结束 返回 例3 试由普朗克公式导出维恩位移公式和斯特藩 玻耳兹曼公式 解 由公式 令 上式化为 求极值 有 解得x 4 965 所以 维恩位移公式 下页 上页 结束 返回 例3续 再由 利用积分公式 斯特藩公式 普郎克理论与实验符合的很好 下页 上页 结束 返回 例4 设有一音叉尖端的质量为0 050Kg 将其频率调到 480Hz 振幅A 1 0nm 求 1 尖端振动的量子数 2 当量子数由n增加到n 1时 振幅的变化是多少 解 1 音叉尖端的振动能量为 0 227J 由E nh 得 2 由 对上式微分 7 01 10 34m 变化很小 难以觉察 下页 上页 结束 返回 一 光电效应的实验规律 1 光电效应 2 光电效应的实验装置 19 2光电效应 在光照射下 电子从金属表面逸出的现象叫光电效应逸出的电子叫光电子 A为阳极 K为阴极 光照射在K上 电子从K逸出 在电压UAK作用下 形成光电流 G测其电流 V测电压 下页 上页 结束 返回 Uc K U0 遏止电势差 eUc Ekmax 与入射光频率成线性关系 与入射光强无关 3 实验规律 1 只有当入射光频率v大于一定的频率v0时 才会产生光电流 0叫截止频率 也称红限 2 遏止电势差Uc 使光电流为零时的反向电压 3 瞬时性 只要频率大于截止频率 光电效应产生的时间不超过10 9s 下页 上页 结束 返回 4 饱和光电流强度与入射光强度的关系 Uc 在 相同的条件下 饱和光电流强度iS与入射光强成正比 下页 上页 结束 返回 二 经典物理学所遇到的困难 光波的能量分布在波面上 阴极电子积累能量克服逸出功需要一段时间 光电效就不可能暧时发生 1 普朗克假定是不协调的 三 爱因斯坦的光量子论 经典电磁理论认为 光波的强度与频率无关 电子吸收的能量也与频率无关 更不存在截止频率 只涉及光的发射或吸收 未涉及辐射的传播 2 爱因斯坦光量子假设 1905 电磁辐射由以光速c运动的局限于空间某一小范围的光量子 光子 组成 h 光量子具有 整体性 粒子性 下页 上页 结束 返回 当 W h时 不发生光电效应 红限频率 3 对光电效应的解释 光电效应方程 入射光子能量 光电子初动能 金属逸出功 入射光强增大 光子数增多 光电子增多 光电流大 电子初动能正比于频率 比较得 h eK W eU0 电子一次吸收一个光子 不需时间累积 瞬时性 下页 上页 结束 返回 四 光子 光子及光量子 能量 h 质量 光子总是以光速c运动 因此光子是相对论粒子 m0 0 光子无静质量 动量 由相对论关系 E0 m0c2 0 得E pc 也可写为 光的波粒二象性 光在传播过程中 波动性 表现比较显著 当光与物质相互作用时 粒子性 E p 表现比较显著 下页 上页 结束 返回 例1 波长为450nm的单色光射到纯钠的表面上 求 1 这种光的光子能量和动量 2 光电子逸出表面时的动能 3 若光子的能量为2 40eV 其波长为多少 解 1 光子能量 2 76eV 光子的动量 4 42 10 19J 1 47 10 27kg m s 1 2 已知钠的逸出功为W 2 28eV 光电子的初动能为 Ek 2 76 2 28 0 48eV 3 波长 518nm 下页 上页 结束 返回 19 3康普顿效应 康普顿研究X射线在石墨上的散射 一 实验规律 散射光中有 0的谱线 原子量小的物质 康普顿效应强 在同一散射角下 与散射物无关 下页 上页 结束 返回 康普顿 吴有训 X射线光子与 静止 的 自由电子 弹性碰撞 二 康普顿效的解释 光子把部分能量传给电子h 0 h 0 光子与束缚电子发生碰撞 相当于与整个原子碰撞 光子能量不变 0不变 轻原子中的电子一般束缚较弱 康普顿效应明显 理论推导 动量守恒 下页 上页 结束 返回 电子的Compton波长 理论推导 变形后有 由能量守恒 或者 把 2 2减去 1 式 有 下页 上页 结束 返回 大小关系 理论推导续 最后 结果讨论 1 与散射物质无关 2 0 0 0为原波长 3 90 时 0 024 Compton波长 下页 上页 结束 返回 因为 所以 例P240 设有波长 1 0 10 10m的X射线的光子与自由电子作弹性碰撞 散射X射线的散射角 90 问 1 散射波长的改变量 为多少 2 反冲电子得到多少动能 3 在碰撞中 光子的能量损失了多少 解 1 已知 90 时 2 由公式 电子反冲动能为 利用 下页 上页 结束 返回 例续 即 代入已知数据 得 4 72 10 17J 295eV 3 光子损失的能量等于反冲电子所获得的动能 也为295eV 下页 上页 结束 返回 19 4氢原子的玻尔理论 一 氢原子光谱的规律性 1885年 瑞士数学家巴耳末发现氢原子的可见光谱线 可归纳为如下公式 上式叫巴耳末公式 这个谱线称为巴耳末系 后来里德伯把它改为 1 为波数 R为里德伯常量 R 1 0973731534 107m 1 n 时 H 364 56nm为巴耳末系的极限波长 氢的巴耳末谱线 下页 上页 结束 返回 氢原子光谱 氢原子光谱除了可见光外 还有红外和紫外谱线 紫外线部分 莱曼系 1916年 红外线部分 帕邢系 1908年 布拉开系 1922年 普丰德系 1924年 可统一写为 给定nj 1 2 3 ni取 nj 1 nj 2 氢光谱的分立谱线 揭示了原子内部的某种结构 下页 上页 结束 返回 二 卢瑟福的原子有核模型 1897年J J汤姆孙发现电子 开始了原子结构的研究 1 汤姆孙原子结构模型 他假定 原子中的正电荷和原子 质量均匀地分布在半径为10 10m 的球体范围内 而原子中的电子则浸于此球体中 葡萄干蛋糕模型 2 粒子散射实验 粒子入射在金箔F上 被散射后打在荧光屏P上 显微镜T观测 粒子数 下页 上页 结束 返回 3 卢瑟福的原子有核模型 1911年 实验结果 绝大多数 粒子穿透金箔后沿原方向运动 但有八千分之一的粒子散射角 大于90 更有接近180 的 汤姆孙模型不能偏转角解释 90 的情况 原子的中心有一带正电的原子核 它几乎集中了原子的全部质量 电子围绕这个核旋转 核的尺寸与整个原子相比是很小的 原子有核模型能解释大角度散射 原子核 电子 离核较远的 粒子 不改变方向离核越近 偏转角越大 有的甚至偏转180 下页 上页 结束 返回 4 经典理论的困难 原子有核模型又称原子行星模型 最简单的氢原子模型如图 原子核外有一个电子 电量 e 核的电荷 e 质量为电子的1837倍 电子以速度v绕核作半径为r的圆运动 原子的线度为10 10m 核的线度为10 14m 按经典理论氢原子结构不稳定 电子作圆运动为加速运动 要不断地向外辐射能量 能量减少 绕核旋转频率减小 光谱应为连续 且原子的运动半径减小 最后电子落在原子上 下页 上页 结束 返回 三 氢原子的玻尔理论 1 玻尔的三条假设 1 电子在原子中 可以在一些特定的圆轨道上运动而不辐射电磁波 这时原子处于稳定状态 并具有一定的能量 2 电子以速度在半径为r的圆周上绕核运动时 只有电子的角动量L等于h 2 的整数倍的那些轨道才是稳定的 即 n 1 2 3 h为普朗克常量 3 当原子从高能量的定态跃迁到低能量的定态 亦即电子从高能量Ei的轨道跃迁到低能量Ef的轨道上时 要发射频率为 的光子 且 h Ei Ef 下页 上页 结束 返回 2 玻尔轨道半径 玻尔利用上述假设 结合经典力学和电学 解决了氢原子问题 由库仑定律和牛顿定律 由假设2 把 2 代入 1 有 为第一玻尔轨道半径 电子轨道半径的可能值为 r1 4r1 9r1 16r1 下页 上页 结束 返回 3 氢原子的定态能量 电子绕核运动速率可变为 叫精细结构常数 氢原子的能量 由 1 式 其中 E1称为氢原子基态 也是氢的电离能 E2 E3 激发态 令 下页 上页 结束 返回 4 玻尔理论对氢光谱的解释 电子从高能级Ei跃迁到低能级Ef时 而 正好等于R 理论与实验相符 能级图 轨道图 跃迁图 下页 上页 结束 返回 四 氢原子玻尔的困难 玻尔理论圆满地解释了氢原子光谱的规律 从理论上算出了里德伯常量 加以修正后能对类氢离子光谱给予说明 但玻尔理论有局限性 1 玻尔理论只能说明氢和类氢原子光谱 2 对谱线宽度 发光强度没有解释 3 对原子在强磁场中的行为 玻尔也没有解释 4 本质上说 玻尔理论在逻辑上不自洽 玻尔理论是 经典 量子 半量子 旧量子 经典 牛顿定律 量子 量子化假设 人为的 玻尔理论对量子论的发展还是起了先导作用 下页 上页 结束 返回 19 5弗兰克 赫兹实验 1913年玻尔理论说明原子有定态能级 1914年弗兰克和赫兹用实验证实了原子中存在分立能级 1 实验原理 灯丝F 发射热电子 G为栅极 加速电压U0 G P间有反向电压Ur 只有具有一定动能的电子才能到达P 形成电流Ip 2 实验结果 玻璃管内充汞蒸气 下页 上页 结束 返回 3 实验结果分析 1 热电子在U0下加速运动 并与汞原子碰撞 U0 4 9V时 为弹性碰撞 电子无动能损失 故电子能到达P 形成Ip 且当U0增加 Ip线性增加 2 当U0 4 9V时 有的电子与汞原子作非弹性碰撞 动能损失 这些电子不能到达P Ip急剧下降 3 当U0 9 8V 电子与汞原子发生两次非弹性碰撞 Ip又一次下降 说明汞原子有4 9eV的能级差 4 能观察到汞原子从激发态回到基态发射的光子 h En 1 En 4 9eV 或 254nm 理论与实验完全相符 下页 上页 结束 返回 19 6德布罗意波实物粒子的二象性 一 德布罗意假设 光具有二象性 波性 粒子性 E p 两者的关系为 实物粒子呢 德布罗意假设 1924年 1 一个质量为m的实物粒子具有波动性 其波称为物质波 物质波的波长和频率与粒子的能量和动量满足如下关系 2 一个沿x轴正向运动 能量为E 动量为的自由粒子对应沿x轴正向传播的单色平面波 下页 上页 结束 返回 例1 对自由运动粒子 当v c时 而 所以 解 已知 如U 200V 则 电子经电势差为U的电场加速 在v c下 求此电子的德布罗意波长 下页 上页 结束 返回 例2 试由德布罗意波导出玻尔理论中角动量量子化条件 解 一根两端固定而定长的弦上形成稳定驻波的条件为 l n 2 若此弦线首尾相连构成一个圆 则 l 2 r n 从波粒二象性看 原子中核外电子绕核运动有相应的波动图象 l 4 当电子在圆周上形成驻波时 满足 2 r n n 1 2 3 所以 角动量量子化 下页 上页 结束 返回 物质波的传播速度 由波的频率 波长和波速的关系知 u 对物质波 显然 这里u c 且u v u是什么呢 这里u表示单色平面物质波的相速度 实际自由粒子并非严格的单色平面波 而是由波长接近的波包组成 波包的移动速度称为群速度 群速与相速是不同的概念 可证明 物质波包的群速度恰好等于粒子的运动速度 它不会超过光速 相速不是物质运动的速度 数值上可以超光速 下页 上页 结束 返回 二 德布罗意波的实验证明 物质波的波的特性 应由实验来证明 1 戴维孙 革末电子衍射实验 电子束 散射线 电子枪 电子被镍晶体散射 电子枪KD之间有加速电压U电子束透过D打在镍晶M上 它在晶面被散射进入探测器B G检测电子束 电流 的强度 实验发现 加速电压U 54V 散射角 50 时 探测器B中的电流有极值 实验原理 下页 上页 结束 返回 理论解释 晶体晶面为点阵结构 物质波散射和X射线的衍射完全类似 它也满足布拉格公式 两反射的电子束 其相干加强条件 由三角公式得 dsin k 正是X射线的布拉格公式 由德布罗意公式 h mv 得 即 d 0 215nm U 54V 得 51 与实验结果相符 下页 上页 结束 返回 2 G P 汤姆孙电子衍射实验 1927年汤姆孙观察了电子束透过多晶薄片的衍射现象 1961年 C 约恩孙让电子束通过单缝 多缝的衍射图样 下页 上页 结束 返回 例3 试计算温度为25时慢中子的德布罗意波长 解 慢中子指处于热平衡下的中子 按能均分定理 慢中子的平均平动动能为 代入数据 中子的质量为m 1 67 10 27kg 中子的动量 4 54 10 24kg m s 1 德布罗意波长 与X射线同量级 因此穿过晶片可产生衍射图样 下页 上页 结束 返回 三 德布罗意波的统计解释 具有频率和波长 不是经典的波不代表实在的物理量的波动 1 微观粒子的粒子性 作为粒子具有 整体性 即不可分性 不是经典粒子 没有 轨道 概念 2 微观粒子的波动性 具有 弥散性 可叠加性 干涉 衍射 偏振 3 德布罗意的统计解释 因此玻恩认为 在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比 在电子衍射实验中 电子总是作为整体出现的 它出现的概率与空间波的强度成正比 下页 上页 结束 返回 4 电子双缝衍射实验分析 1 只开一缝 屏上电子累积成单缝衍射图样 波性 2 屏上接收器 每次只能接收一个完整的电子 粒子性 3 打开双缝 屏上呈双缝干涉图样 电子的波性 4 是否电子与电子之间发生干涉 让电子发射枪每次只发射一个电子 也出现干涉图样 结论 一个电子也能干涉 说明电子本身是波 5 一个电子如何通过双缝 要知道如何通过必须观察 则必然使干涉图样消失 对微观粒子运动状态的有效测量 必将在可观测的意义上使粒子原来的运动产生不可逆的改变 电子的传播行为更像波 与物质相互作用更像粒子 微观粒子不是经典意义上的粒子 也不是经典意义上的波 下页 上页 结束 返回 19 7不确定关系 一 力学量的不确定度 微观粒子在某位置总是以概率的方式出现 粒子具有位置的不确定性 一维不确定度为 x 实际的粒子不是严格的平面单色波 确定的动量 即波长有一定范围 则动量P也有一定的范围 p 当然在某些特定情况下 有些力学量有确定的值 二 不确定关系 1927年 海森伯不确定关系 一维 三维 不确定关系表明 对于微观粒子 不能同时用确定的位置和确定的动量来描述 下页 上页 结束 返回 海森伯理想实验 电子单缝衍射实验 电子通过狭缝 在Ox方向坐标不确定范围 x b 电子主要落在中央条纹区域 有x方向动量 0 px psin 即 px psin 由衍射条件 取一级极小 bsin 则 px psin 利用 有 b px h 或者 x px h 考虑高阶 有 x px h 得出不确定关系 下页 上页 结束 返回 三 对不确定关系的认识 1 不确定关系是微观粒子波粒子二象性及其统计关系的必然结果 并非仪器对粒子的干扰 也不是仪器精度的缘故 而是粒子的固有属性 2 对不确定关系的两种理解 一种认为 对单个粒子进行测量时 不可能同时准确测量其位置和动量 因此也称为测不准关系 另一种认为 测不关系并非对单个粒子测量的结果 而是大量粒子遵守的统计规律 不存在对单个粒子 测量坐标愈准确 则同时测量动量愈不准确 的说法 量子测量是量子力学中最基础 最前沿的问题 下页 上页 结束 返回 四 微观粒子和经典粒子的比较 1 微观粒子的运动原则上无 轨道 可言 2 微观粒子是不可能静止的 3 如果粒子的尺寸和动量远大于各自的不确定量 R x p p 粒子的位置和动量近似认为确定 看成经典粒子 若已知粒子运动范围为L 而 也可用L 代替R x作为判断依据 五 能量与时间的不确定关系 E为原子能级自然宽度 t为该能级的平均寿命 下页 上页 结束 返回 例1 试比较电子和质量为10g的子弹位置的不确定量范围 设它们的速率为200m s 动量的不确定范围为0 01 解 由 x p h 对电子 p 0 01 p 0 01 mv 1 10 4 9 1 10 31 200 1 8 10 32kg m s 1 对子弹 p 1 10 4 0 01 200 2 0 10 4kg m s 1 子弹的大小R 10 2m R x子弹可作经典粒子 下页 上页 结束 返回 例题2 电子在电视显象管中时如何处理 设电子速率v 105m s 其不确定范围 v 10m s 解已知p mv m v p 而 电子运动范围 显象管尺寸 L 0 1m 可见p p L x 或p p L 电子可作经典粒子处理 若如此电子在原子中呢 电子的运动范围 原子的大小 L 10 10m 不满足L x 此时电子只能作微观粒子处理 下页 上页 结束 返回 19 8量子力学简介 一 波函数 物质波既然是波 就要有波函数 德布罗意假设 自由粒子为平面单色波 且为复数 已知平面机械波 改为复数形式 波函数 x t 或表示为 0为复振幅 三维 下页 上页 结束 返回 波函数的物理意义 波函数 本身无物理解释 但 2 有意义 2为粒子出现在某点附近单位体积元中的概率密度 波函数满足 单值 有限和连续 故 在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处出现的概率成正比 波函数的统计意义 归一化条件 在整个空间内粒子出现的概率为1 波的振幅的平方正比于波的强度 而波的强度与粒子出现的概率成正比 下页 上页 结束 返回 二 薛定谔方程 波函数应有运动微分方程 以自由粒子 非相对论 为例 建立该方程 已知 上式对x取二阶导数 对t取一阶导数 利用动量与动能的关系p2 2mE 及上两式得 自由粒子含时薛定谔方程 若非自由粒子 则E Ek Ep 而Ek p2 2m 所以 含时薛定谔方程 下页 上页 结束 返回 定态薛定谔方程 若粒子的势能Ep仅是坐标的函数 与时间无关 则波函数可写为 x t x t 通过分离变量法可求得 而 x 满足方程 或 定态薛定谔方程 此时系统的能量E为常量 概率密度也不随时间变 三维情况 引入拉普拉斯算符 2 下页 上页 结束 返回 三 一维势阱问题 设质量为m的粒子在如下势场中运动 Ep 00 x a 其它区域 由薛定谔方程 0 x a 阱内 阱外 x 0 令 上式化为 为简谐运动方程 通解为 x Asinkx Bcoskx 下页 上页 结束 返回 由边界条件 x 0 0 0 B 0 故解化为 x Asinkx 又由 x a a 0 即 a Asinka 0 而A不能为零 只有sinka 0 0 Asink0 Bcosk0 0 能量量子化 即 自然结果 得 求系数A 由归一化条件 所以 下页 上页 结束 返回 波函数即为 概率密度为 当n很大时 峰值很多 各处发现粒子的概率相同 下页 上页 结束 返回 四 对应原理 在某些极限下 量子规律可转化为经典规律 对应原理 考虑相邻两能级差 E En 1 En 可见 E n 随能级增加 能级差增大 当a E 能量量子化显著 当n 1时 当n 时 E En 可认为能量连续 经典 所以 经典物理可以看