2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性讲义新人教A版.docx

3.2.2奇偶性最新课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.知识点偶、奇函数1偶函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)2奇函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)3奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性教材解难教材P85思考(1)利用定义判断奇偶性，函数f(x)x3x的定义域为R，对每一个x，都有f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，f(x)是奇函数(2)由奇函数的图象关于原点对称可画出y轴左边的图象如图所示(3)我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题基础自测1设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是()Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断题型二函数奇偶性的图象特征经典例题例2设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是_【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域5,5上的图象如图，由图可知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5【答案】x|2x0或2x5根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)0的解集.方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题跟踪训练2如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小 解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图由图象可知f(1)f(3)方法二由图象可知f(1)f(3)又函数yf(x)是偶函数，所以f(1)f(1)，f(3)f(3)，故f(1)f(3)方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小；方法二f(1)f(1)，f(3)f(3)，观察图象判断大小题型三利用函数奇偶性求参数经典例题例3(1)设函数f(x)为奇函数，则a_；(2)已知函数f(x)是奇函数，则a_.【解析】(1)方法一(定义法)由已知f(x)f(x)，即.显然x0得，x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.方法二(特值法)由f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即，整理得a1.(2)(特值法)由f(x)为奇函数，得f(1)f(1)，即a(1)2(1)(121)，整理得a10，解得a1.【答案】(1)1(2)1利用定义法求a，也可利用特值法f(1)f(1)方法归纳由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数跟踪训练3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a2,2a，则a_，b_；(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a22a0，解得a.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0，解得b0.(2)由f(x)为奇函数得f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，所以a(x)22(x)ax22x0.即2ax20，所以a0.答案：(1)0(2)0(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0,0)对称(2)f(0)0？题型四函数的奇偶性和单调性的综合应用经典例题例4已知奇函数yf(x)，x(1,1)，在(1,1)上是减函数，解不等式f(1x)f(13x)0.【解析】yf(x)，x(1,1)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(13x)0可化为f(1x)f(13x)，即f(1x)f(3x1)又yf(x)在(1,1)上是减函数，f(1x)f(3x1)0x.即不等式解集为.1.由奇函数得f(x)f(x)2函数单调递减，若f(x1)x2.3定义域易忽略.方法归纳1函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在b，a上也为单调函数，且具有相同的单调性(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在b，a上也为单调函数，且具有相反的单调性2利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响跟踪训练4(1)已知函数yf(x)在定义域1,1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，求实数a的取值范围(2)定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解析：(1)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1,1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(a1)又f(x)在1,1上单调递减，解得0a1.a的取值范围是0,1)(2)函数f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)原不等式等价于解得1m.实数m的取值范围是.(1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系(2)两个自变量1m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理一、选择题1下列函数是偶函数的是()Ay2x23Byx3Cyx2，x0,1 Dyx解析：对于A，f(x)2(x)232x23f(x)，f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2函数f(x)x的图象()A关于y轴对称 B关于直线yx对称C关于坐标原点对称 D关于直线yx对称解析：f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，且f(x)(x)xf(x)，f(x)是奇函数，图象关于原点对称答案：C3如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，则f(2)f(1)的值为()A2 B2C1 D0解析：由图知f(1)，f(2)，又f(x)为奇函数，所以f(2)f(1)f(2)f(1)2.故选A.答案：A4已知f(x)ax3bx1(ab0)，若f(2 019)k，则f(2 019)()Ak BkC1k D2k解析：f(2 019)a2 0193b2 0191k，a2 0193b2 019k1，则f(2 019)a(2 019)3b(2 019)1a2 0193b2 01912k.答案：D二、填空题5已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_解析：f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.答案：6已知yf(x)是奇函数，当x0的x的集合为_解析：由奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f0，得函数yf(x)在(，0)上递增，且f0，x或x0.答案：三、解答题8判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)x2x3；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)x2(x0，aR)解析：(1)函数f(x)的定义域为x|xR且x1，定义域不关于原点对称，该函数既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的f(x)(x)2(x)3x2x3，又f(x)x2x3，f(x)既不等于f(x)，也不等于f(x)故f(x)x2x3既不是奇函数也不是偶函数(3)方法一(定义法)函数f(x)|x2|x2|的定义域为R，关于原点对称f(x)|x2|x2|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，函数f(x)|x2|x2|是奇函数方法二(根据图象进行判断)f(x)|x2|x2|画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数(4)当a0时，f(x)x2为偶函数当a0时，f(x)x2(x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数综上所述，当aR且a0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a0时，函数f(x)为偶函数9已知函数f(x)1.(1)若g(x)f(x)a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，)内的单调性，并用定义证明解析：(1)由已知g(x)f(x)a得，g(x)1a，g(x)是奇函数，g(x)g(x)，即1a，解得a