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2020 2 15 第17章量子力学简介 17 1微观粒子的波粒二象性和不确定关系式17 2波函数及其统计解释17 3薛定谔方程17 4一维定态问题17 5原子中的电子原子的壳层结构 内容提要 2020 2 15 17 1微观粒子的波粒二象性和不确定关系式 17 1 1微观粒子的波粒二象性 1 物质波提出的背景 1 玻尔模型遇到根本困难 亟需突破 2 爱因斯坦的光量子论及光的波粒二象性思想得到国际科学界的承认 3 德布罗意本人对量子物理研究感兴趣 有相当好的研究基础 他把量子理论研究作为他的博士论文方向 他发誓 要尽我所能去理解那个神秘的量子 2020 2 15 研究光 忽略了粒子性 研究实物粒子 是否忽略了波动性 德布罗意受爱因斯坦光量子假说的启发 认为在物质和辐射之间 应该存在着某种对称性 LouisVictorduedeBroglie 1892 1960 2020 2 15 2 微观粒子的波粒二象性 不仅光具有波粒二象性 一切实物粒子如电子 原子 分子等也都具有波粒二象性 德布罗意假设 实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波 它被称为 物质波 或 德布罗意波 注意 2020 2 15 地球 子弹 宏观物质的德波罗意波长均太小 难以观察其波动特性 德布罗意波波长的数量级 电子 质量m0 9 1 10 31kg 加速电压为U nm U 150V 0 1nmU 10000V 0 0123nm 2020 2 15 说明 观测仪器的分辨本领 电子显微镜分辨率远大于光学显微镜分辨率 20世纪30年代 电子显微镜诞生了 电子显微镜是利用高速运动的电子束代替光线来观察物体的细微结构的 放大倍数比光学显微镜高许多 可以达到几十万倍 电子显微镜大大开阔了人们的视野 使人们看到了细胞更细微的结构 电子显微镜 应用举例 2020 2 15 美国橡树岭国家实验室的研究人员正在以创记录的分辨率清楚地观察原子世界 因为他们研究出的电子显微镜能够能分辨出硅晶体的单个 哑铃形状的原子 电子显微镜下的原子世界 能看清原子的电子显微镜 2020 2 15 试样 人类细小圆形结构的病毒 SRSV 设备 日立H 7600透射电子显微镜加速电压 100kV放大倍率 25000倍 这个迷你的结构由纳米管和氧化锌构成 电子显微镜拍下了这个精巧的结构 2020 2 15 3 物质波的实验证明 1927年Davisson和Germer以电子射线代替X射线进行了镍单晶体的衍射实验 由布拉格公式 2020 2 15 汤姆孙电子衍射实验 1927年 电子在晶体上的衍射图 电子束通过多晶铝箔的衍射实验示意图 2020 2 15 电子双缝干涉图样 杨氏双缝干涉图样 约恩孙电子单逢 双缝 多缝衍射实验 1961年 2020 2 15 17 1 2不确定关系式 由于微观粒子具有波粒二象性 用经典概念 坐标 动量 能量 轨道等 描述其状态会受到限制 下面将用电子单缝衍射实验加以说明 2020 2 15 电子在Ox轴上的坐标有不确定范围 x a 由单缝衍射理论 中央主极大半角宽度满足 电子在Ox轴上的动量也有不确定范围 由 不确定关系 严格推导可以证明 在平均意义上 海森伯不确定关系 测不准关系 2020 2 15 电子速度的不确定量为 氢原子中电子速率约为106m s 速率不确定量与速率本身的数量级基本相同 因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定 也没有确定的轨道 说明 此几率分布形成一种对称而美观的 电子 几率 云 图象 2020 2 15 能量 时间不确定关系 反映了原子能级宽度 E和原子在该能级的平均寿命 t之间的关系 基态 辐射光谱线固有宽度 激发态 E 基态 寿命 t 光辐射 能级宽度 平均寿命 t 10 8s 平均寿命 t 能级宽度 E 0 2020 2 15 不确定关系反映了物质世界的基本规律 对当今科技的发展具有重大的指导意义 1 不确定关系为人们提出了划分微观世界和宏观世界的标准 凡是h在其中起作用的 则认为是微观领域 2 不确定关系还阻止原子的进一步塌缩 3 量子不确定性还可以告知人们粒子衰变的概率 4 量子不确定性在微观领域遗传基因方面起着重要作用 5 宇宙论还认为 今天的宇宙来源于宇宙之初由于量子不确定性的微小涨落 2020 2 15 17 2波函数及其统计解释 17 2 1概率波 1 波包说 认为粒子实为波包 问题 不同波长的波在媒质中的群速度不同 波包在传播中的会扩散 使粒子 发胖 波包在媒质界面上要反射和折射 波包说夸大了波动性一面 抹杀了粒子性一面 2 疏密波说 认为波动是大量粒子在空间的一种疏密分布 疏密波说夸大了粒子性一面 抹杀了波动性一面 3 概率波 1926年玻恩提出粒子在空间位置出现的概率具有波动性的分布 概率波 2020 2 15 4 波函数 微观粒子具有波动性 机械波 用机械波波函数 波动方程 描述 平面简谐波的波函数 或 例如 自由粒子沿x轴正方向运动 设其能量E 动量p为常量 所以v 不随时间变化 可以认为其物质波是一单色平面波 其波函数为 由 2020 2 15 电子衍射 类比 2020 2 15 时刻t粒子出现在附近dV体积内的概率为 波函数在某一点的强度和该点找到电子的概率成正比 它是大量粒子形成总分布的一种统计规律 波函数是概率波 玻恩对波函数的统计解释 波函数的模方代表时刻t 在处粒子出现的概率密度 结论 波函数必须满足的条件 粒子在整个空间出现的概率为1 2 归一化条件 1 标准条件 单值 有限 连续 2020 2 15 电子数N 7 电子数N 100 电子数N 3000 电子数N 20000 电子数N 70000 单个粒子在哪一处出现是偶然事件 大量粒子的分布有确定的统计规律 出现概率小 出现概率大 电子双缝干涉图样 2020 2 15 17 3薛定谔方程 17 3 1薛定谔方程的引入 1 一维自由粒子的波函数 设有一个做一维运动的自由粒子 其质量为m 动量为p 能量为E 则其波函数为 将波函数对x求二阶偏导 对t求一阶偏导 有 作一维运动的自由粒子的含时薛定谔方程 2020 2 15 2 一维粒子在外保守力场中运动时具有势能V 粒子的总能量 同理 有 推广 粒子在三维空间中运动时 引入拉普拉斯算符 薛定谔方程 定义哈密顿算符 薛定谔方程 2020 2 15 3 多粒子体系的薛定谔方程 粒子的总能量 17 3 2定态不含时间的薛定谔方程 1 定态 若粒子在稳定力场中运动 势能函数V 能量E不随时间变化 则粒子处于定态 定态波函数 波函数可写为 式中 将波函数代入薛定谔方程 2020 2 15 2 定态薛定谔方程 分离变量可得 要使该式恒成立 左右两边必须同等于一个常数E k为积分常数 薛定谔方程的解为 对于等式左边 2020 2 15 对于等式右边 定态薛定谔方程 说明 1 标准条件 应为单值函数 应为有限值 应连续 2 求解E 粒子能量 定态波函数 3 势能函数V不随时间变化 以一维定态薛定谔方程 粒子在一维空间运动 为例讨论 2020 2 15 17 4一维定态问题 17 4 1一维无限深方势阱 1 势能函数 2 定态薛定谔方程 1 阱外 2 阱内 定态薛定谔方程为 令 2020 2 15 波函数在x 0处连续 有 波函数在x a处连续 有 解为 其中 2020 2 15 结论 能量的可能值为 En 能量的本征值 n 粒子能量的量子数 显然 能量取分立值 能级 相邻两能级间隔 n增大 相邻两能级间隔增大 a增大 宏观尺度 则 能量连续变化 经典情况 1 能量是量子化的 2020 2 15 由归一化条件 即 波函数为 n 0 否则 0 主量子数 n 代表同一状态 取正值 一个n对应一个波函数 n 即对于粒子的一个可能态 轨道 2 量子数为n的定态波函数为 2020 2 15 3 能量为E的粒子在势阱中的概率密度为 在坐标x处找到粒子的概率密度 在x1 x2区间内找到粒子的概率 2020 2 15 例 设在一维无限深方势阱中 运动粒子的状态用 描述 求 粒子能量的可能值及相应的概率 解 已知一维无限深方势阱中粒子的本征函数和能量本征值为 将波函数用本征波函数展开 能量的可能值 相应的概率 2020 2 15 17 4 2隧道效应 1 一维方势垒 势能函数 2 定态薛定谔方程 区 区 区 2020 2 15 区 区 区 三个区域的波函数分别为 B3 0 得到4个方程 求出常数A1 B1 A2 B2和A3间关系 从而得到反射系数和透射系数分别为 波函数在x 0 x a处连续 x 0处 x a处 2020 2 15 入射粒子一部分透射到达III区 另一部分被势垒反射回I区 讨论 1 E V0 R 0 即使粒子总能量大于势垒高度 入射粒子并非全部透射进入III区 仍有一定概率被反射回I区 2 E V0 T 0 虽然粒子总能量小于势垒高度 入射粒子仍可能穿过势垒进入III区 隧道效应 2020 2 15 3 透射系数T随势垒宽度a 粒子质量m和能量差变化 随着势垒的加宽 加高 透射系数减小 5 10 10m 0 024 2 10 10m 0 51 质子 3 10 38 2020 2 15 3 应用 扫描隧道显微镜 Scanningtunnelingmicroscopy STM 一种利用隧道效应探测物质表面结构的仪器 于1981年由格尔德 宾宁 G Binning 及海因里希 罗雷尔 H Rohrer 在IBM位于瑞士苏黎世的苏黎世实验室发明 两位发明者获1986年诺贝尔物理学奖 2020 2 15 利用一套电子反馈线路控制隧道电流I 使其保持恒定 再通过计算机系统控制针尖在样品表面扫描 即让针尖沿x y两个方向作二维运动 由于要控制隧道电流I不变 针尖与样品表面之间的局域高度也会保持不变 因而针尖就会随着样品表面的高低起伏而作相同的起伏运动 高度的信息也就由此反映出来 于是STM得到了样品表面的三维立体信息 2020 2 15 用STM移动氙原子排出的 IBM 图案 2020 2 15 1993年美国加州IBMAlmaden研究中心的科学家用STM操作 将48个铁原子在铜的表面排列成一个平均半径为7 13nm的圆圈 形成量子围栏 电子被束缚在其中 围栏中的电子形成驻波 其波函数形成同心圆状涟漪细浪 通过移走原子构成的图形 2020 2 15 17 5原子中的电子原子的壳层结构 17 5 1氢原子中电子的波函数及其概率分布 1 势能函数 1 氢原子的定态薛定谔方程 2 球坐标下的定态薛定谔方程 2020 2 15 式中 ml和 为引入的常数 3 分离变量法求解定态方程 将代入方程 得 2020 2 15 2 三个量子数 1 能量量子化和主量子数 解方程 得 主量子数 n 1 2 3 电子云 电子在这些地方出现的概率最大 玻尔氢原子理论中 电子的轨道位置 2020 2 15 解方程 和 得 L为轨道角动量大小 角量子数 处于l 0 1 2 3 状态的电子分别称为s p d f 电子 2 角动量量子化和角量子数 3 角动量的空间量子化和磁量子数 磁量子数 ml 0 1 2 l 轨道角动量空间 量子化 示意图 2020 2 15 磁量子数ml 0 1 2 z 2020 2 15 17 5 2电子的自旋施特恩 盖拉赫实验 1 电子自旋提出的实验基础 1921年施特恩和盖拉赫为验证电子角动量空间量子化而进行的实验 s态 l 0 银原子 实验结果 不加磁场时底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积 加磁场时底板上呈现上下对称分布的两条原子沉积 矛盾 角量子数为l时 角动量在空间的取向有 2l 1 种可能 2020 2 15 2 电子自旋 1925年乌伦贝克和古兹密特提出电子自旋假说 电子除轨道运动外 还存在自旋运动 电子自旋角动量S在空间任一方向上的投影Sz只能取两个值 电子自旋角动量大小 S在外磁场方向的投影 s 自旋量子数 ms 自旋磁量子数 电子自旋角动量在外磁场中的取向 2020 2 15 3 描述原子中电子状态的四个量子数 1 主量子数n 1 2 3 2 角量子数l 0 1 2 n 1 3 磁量子数ml 0 1 2 l 4 自旋磁量子数ms 1 2 1 2 大体上决定了电子能量 决定电子的轨道角动量大小 对能量也有稍许影响 决定电子轨道角动量空间取向 决定电子自旋角动量空间取向 2020 2 15 17 5 3泡利原理多电子原子的壳层结构 1 泡利不相容原理 1925年 在一个原子中 不能有两个或两个以上的电子处在完全相同的量子态 即它们不能具有一组完全相同的量子数 n l ml ms 容纳电子的最大数目 2020 2 15 2 原子的壳层结构 同一能级能容纳电子的最大数目 电子组态 如Ca的电子排布 原子处于正常稳定状态时 每个电子总是趋向占有能量最低的能级 3 能量最低原理 能级高低 2020 2 15 4s能级低于3d能级 D n 0 7l 部分原子的电子排列 电子填充次序 2020 2 15 17 5 4元素周期表 2020 2 15 第17章量子力学简介 17 1微观粒子的波粒二象性和不确定关系式17 2波函数及其统计解释17 3薛定谔方程17 4一维定态问题17 5原子中的电子原子的壳层结构 内容提要 2020 2 15 1 微观粒子的波粒二象性 2 不确定关系式 时刻t粒子出现在附近dV体积内的概率为 3 波函数的统计解释 波函数的模方代表时刻t 在处粒子出现的