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3 1 第三章电阻电路的一般分析 电路的图KCL和KVL的独立方程数支路电流法网孔电流法回路电流法结点电压法 3 2 引言 4个结点 6条支路 6个VCR方程 6个回路 4个KCL方程 6个KVL方程 3 3 引言 电路方程 电路 拓扑约束 线性无关 独立方程 独立变量 简化计算 选择独立变量 列写独立电路方程 3 4 3 1电路的图 1 图论 图论是拓扑学的一个分支 它以图为研究对象 研究节点和边组成的图形的数学理论和方法 图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题 3 5 3 1电路的图 图论中的图是由若干给定的点及连接两点的边所构成的图形 这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系 用点代表事物 用连接两点的边表示相应两个事物间具有这种关系 哥尼斯堡七桥 对应的图 3 6 3 1电路的图 2 电路的图 a 电路模型 b 电路的图 一个元件作为一条支路 c 电路的图 采用复合支路 1 图 Graph 是结点和支路的集合 其中每条支路的两端都连到相应的结点上 孤立的结点也叫图 没有结点的支路不叫图 3 7 3 1电路的图 2 子图Gi的全部结点 支路都包含在G中 3 路径 从G的一个结点出发 依次通过图的支路和结点 每一支路和结点只通过一次 到达另一个结点 或回到原出发点 这种子图称为路径 电路的图G 图G的子图 图G的子图 3 8 3 1电路的图 有向图 非连通图 连通图 4 有向图 赋予支路方向的图称为有向图 5 连通图 是指任意两结点间至少存在一条路径的图 否则称为非连通图 3 9 3 1电路的图 6 树 T 是连通图G的一个子图 且满足 包含图G中所有结点 连通 不含闭合路径 7 树支是构成树的支路 8 连支是图G中不属于树T的支路 对于有n个结点 b条支路的连通图 树支数 n 1连支数 b n 1 b n 1 3 10 3 1电路的图 9 回路 Loop 是连通图G中构成一条闭合路径的子图 并满足条件 连通 每个节点关联2条支路 3 11 3 1电路的图 10 对于G的任意一个树 加入一个连支后 就会形成一个回路 并且此回路除所加连支外均由树支组成 这种回路称为单连支回路或基本回路 基本回路数 连支数 b n 1 3 12 3 1电路的图 11 平面图 是指画在平面上且它的各条支路除连接的结点外不再交叉的图 如存在除连接结点外的交叉 就称为非平面图 平面图 非平面图 3 13 3 1电路的图 网孔数 基本回路数 b n 1 12 平面图的网孔 mesh 是指平面图中不含任何支路的回路 网孔数 5 结点数n 5 支路数b 9 基本回路数 b n 1 9 4 5 3 14 3 1电路的图 例3 1图示为电路的图 画出三种可能的树及其对应的基本回路 3 15 3 2KCL和KVL的独立方程数 1 KCL的独立方程数 对图列出4个结点上的KCL方程 把以上4个方程相加 满足 0 3 16 3 2KCL和KVL的独立方程数 对于具有n个结点的电路 在任意 n 1 个结点上可以得出 n 1 个独立的KCL方程 在n个结点中任意选择 n 1 个 结论 独立结点选择方法 相应的 n 1 个结点称为独立结点 KCL独立方程数 结点数 1 n 1 3 17 3 2KCL和KVL的独立方程数 2 KVL的独立方程数 方程 和 是线性无关的方程 可以由其它三个方程的线形组合获得 3 18 3 2KCL和KVL的独立方程数 结论 KVL独立方程数目 基本回路数 网孔数 b n 1 独立回路选择方法 1 选择基本回路 即先确定一个树然后确定仅含唯一连支的基本回路 2 对于平面图 可以直接选取网孔作为独立回路 3 19 3 3支路电流法 对于具有b条支路 n个结点的连通电路 有 1 2b法 n 1 个KCL方程 b n 1 个KVL方程 b个VCR方程 2b个方程 需求解的变量数 b个支路电压 b个支路电流 2b 可以列出线性无关的方程为 3 20 3 3支路电流法 2b法的特点 以所有支路电压和支路电流为电路的独立变量独立电路方程数 2b 由2b个方程求解2b个变量 支路电压和支路电流 的方法 称为2b法 是电路分析的最基本的方法 3 21 电路中各电压 电流是根据两类约束所建立电路方程的解答 但需注意 并非每个电路 模型 的各电压 电流都存在惟一解 有些电路可能无解 或有多个解答 3 3支路电流法 2 电路方程解的存在性和唯一性 3 22 一般来说 当电路中含有纯电压源构成的回路时 如图 a 所示 这些电压源的电流解答将不是惟一的 当电路中含有纯电流源构成的结点 或封闭面 时 如图 b 所示 这些电流源电压的解答也不是惟一的 不存在唯一解的电路举例 3 3支路电流法 3 23 3 3支路电流法 n 1 个KCL方程 b n 1 个KVL方程 b个VCR方程 2b法 u f i b n 1 个以支路电流为变量的KVL方程 用支路电流表示支路电压代入KVL方程 支路电流方程 2 支路电流法 3 24 3 3支路电流法 未知量 b个支路电流独立电路方程数 b列写方程 KCL方程和KVL方程 以各支路电流为未知量列写独立电路方程分析电路的方法称为支路电流法 3 1定义 3 2特点 对于有n个节点 b条支路的电路 3 25 3 3支路电流法 解 选定各支路电流的参考方向 选1 2 3结点 列KCL电流方程 选定一组独立回路 b n 1 3 并指定回路绕行方向 列KVL方程 列写图示电路的支路电流法方程 3 26 回路l1 回路l2 回路l3 3 3支路电流法 3 27 3 3支路电流法 支路电流方程 解方程组 求出各支路电流i1 i2 i6 根据需要 求解支路电压 如 3 28 3 3支路电流法 上式给出了KVL的另一种表达式 即任一回路中 电阻电压降的代数和等于电压源电压升的代数和 包括该回路中所有支路的电阻电流参考方向与回路绕行方向一致时 取 不一致 取 包括该回路中所有电压源电压参考方向与回路绕行方向一致时 取 不一致 取 据此可用观察法直接列出以支路电流为变量的KVL方程 3 29 3 3支路电流法 3 3支路电流方程的列写步骤 选定各支路电流的参考方向 选 n 1 个结点 列KCL电流方程 选定一组独立回路 b n 1 并指定回路绕行方向 列KVL方程 解方程组 求出各支路电流 根据需要 求解支路电压 3 30 电路有两个结点 只需列出一个KCL方程 3 3支路电流法 例2 用支路电流法求图示电路中各支路电流 解 由于电压源与电阻串联时电流相同 本电路仅需假设三个支路电流 i1 i2和i3 参考方向如图所示 1 3 31 i1 3Ai2 2Ai3 1A 3 3支路电流法 用观察法直接列出两个网孔的KVL方程 选取网孔为独立回路 绕行方向如图所示 2 联立 1 和 2 式 解线性方程组 得到 3 32 3 3支路电流法 列写图示电路的支路电流方程 解1 对结点a列KCL方程 选两个网孔为独立回路 回路绕行方向如图所示 设电流源两端电压为U 列KVL方程 由于多出一个未知量U 需增补一个方程 求解以上方程可得各支路电流 4 含有纯电流源支路的支路电流法 3 33 3 3支路电流法 解2 由于支路电流I2已知 故只需列写两个方程 避开电流源支路取回路 选大回路列KVL方程 求解以上方程可得各支路电流 对结点a列KCL方程 3 34 3 3支路电流法 对含有理想电流源的电路 列写支路电流方程有两种方法 方法一 设电流源两端电压 把电流源看作电压源来列写方程 然后增补一个方程 即令电流源所在支路电流等于电流源的电流即可 方法二 避开电流源所在支路例方程 把电流源所在支路的电流作为已知 3 35 3 3支路电流法 n 1 个KCL方程 b n 1 个KVL方程 b个VCR方程 2b法 i u n 1 个以支路电压为变量的KCL方程 用支路电压表示支路电流代入KCL方程 支路电压法 5 支路电压法 3 36 3 3支路电流法 作业 P76 3 7 3 37 3 4网孔电流法 1 网孔电流 沿着网孔流动的假想电流称为网孔电流 1 定义 对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说 网孔电流数 网孔数 b n 1 3 38 3 4网孔电流法 支路电流可以用网孔电流线性表示 且自动满足KCL 2 网孔电流与支路电流的关系 im3 im2 im1 对 结点列KCL方程 设网孔电流im1 im2 im3如图所示 则有 3 39 3 4网孔电流法 网孔电流 网孔 KVL方程 支路电流 支路电压 VCR 线性表示 代入 KCL b n 1个以网孔电流为变量的KVL方程 KVL 定义 网孔电流 解网孔电流方程 2 网孔电流法 3 40 3 4网孔电流法 用网孔电流表示支路电压 以对网孔列出KVL方程作为电路方程 求解支路电压和支路电流的方法 称为网孔电流法 2 网孔电流法的特点 未知变量 网孔电流独立电路方程的数目 b n 1只需列写KVL方程仅适用于平面电路 1 定义 3 41 3 网孔方程 3 4网孔电流法 im3 im2 im1 已知网孔电流如图所示 支路电流可由网孔电流表示 以图示网孔电流方向为绕行方向 写出三个网孔的KVL方程分别为 3 42 3 4网孔电流法 网孔方程 将各支路电流用网孔电流表示可以得到 令R11 R1 R4 R5 R22 R2 R5 R6 R33 R3 R4 R6R11 R22和R33分别表示各网孔内全部电阻的总和 称为网孔自阻 令R12 R21 R5 R13 R31 R4 R23 R32 R6 则Rjk j k 表示网孔j与网孔k的公共电阻 称为两网孔的互阻 网孔1 网孔2 网孔3 令uS11 uS1 uS22 uS2 uS33 uS3 则uS11 uS22 uS33分别为各网孔中全部电压源电压的代数和 3 43 3 4网孔电流法 对具有n个网孔的平面电路 网孔电流方程的一般形式为 其中Rjj j 1 2 n 是各网孔的自阻Rjk j k j 1 2 n 是网孔间的互阻uSjj是第j个网孔中全部电压源电压的代数和 3 44 3 4网孔电流法 自阻是各网孔内全部电阻的总和 总是正值 互阻由两网孔电流参考方向在共有支路上是否相同而定 方向相同时为 方向相反时为 注 当网孔电流都取顺 或逆 时针方向时 互阻总为负值 方程右边的电压源电压代数和的符号与网孔绕行方向有关 方向与回路绕行方向一致 取 号方向与回路绕行方向相反 取 号 3 45 3 网孔电流法计算举例 网孔电流法的计算步骤如下 在电路图上标明网孔电流及其参考方向 若全部网孔电流均选为顺时针 或反时针 方向 则网孔方程的全部互电阻项均取负号 用观察法直接列出各网孔方程 求解网孔方程 得到各网孔电流 假设支路电流的参考方向 根据支路电流与网孔电流的线性组合关系 求得各支路电流 用VCR方程 求得各支路电压 3 4网孔电流法 3 46 例3 用网孔分析法求图示电路的各支路电流 解 电路为平面电路 有2个网孔 3 4网孔电流法 用观察法直接列出网孔方程 选定两个网孔电流im1和im2的参考方向 如图所示 R11 1 1 2 R22 2 1 3 R12 1 uS11 5V 故网孔电流方程为 uS22 10V R21 1 3 47 解网孔电流方程 得 各支路电流分别为 i1 im1 1A i2 im2 3A 3 4网孔电流法 i3 i1 i2 4A 3 48 例4 用网孔分析法求电路各支路电流 3 4网孔电流法 解 电路为平面电路 有3个网孔 选定网孔电流im1 im2 im3的参考方向 如图所示 用观察法直接列出网孔方程 3 49 整理为 3 4网孔电流法 解网孔电流方程 得 3 50 4 含独立电流源电路的网孔方程 当电路中含有独立电流源时 若有电阻与电流源并联的复合支路 则可先等效变换为电压源和电阻串联支路 将电路变为仅由电压源和电阻构成的电路 再建立网孔方程 若电路中的无伴电流源 即电流源没有电阻与之并联 则应增加电流源电压作变量来建立网孔方程 同时 需补充电流源电流与网孔电流关系的方程 3 4网孔电流法 3 51 例5 用网孔分析法求图中电路的支路电流 补充方程 求解以上方程得到 3 4网孔电流法 解 设电流源电压为u 考虑了电压u的网孔方程为 3 52 解 当电流源出现在电路外围边界上时 该网孔电流等于电流源电流 成为已知量 即i3 2A 此时不必列出网孔 的网孔方程 3 4网孔电流法 例6 用网孔分析法求解电路的网孔电流 设1A电流源电压为u 列出两个网孔方程和一个补充方程 3 53 代入i3 2A 整理后得到 解得i1 4A i2 3A i3 2A 3 4网孔电流法 3 54 对于由独立电压源 无伴电流源和电阻构成的电路来说 其网孔方程的一般形式应改为以下形式 3 4网孔电流法 其中 k 1 n 表示第k个网孔的全部电流源电压的代数和 其电压的参考方向与该网孔电流参考方向相同的取正号 相反则取负号 3 55 列写含受控源电路的网孔方程时 可 1 将受控源作为独立电源处理 2 补充一个方程 将受控源的控制变量用网孔电流表示 5 含受控源电路的网孔方程 3 4网孔电流法 3 56 例7 列出电路的网孔方程 解 在写网孔方程时 先将受控电压源的电压ri3写在方程右边 将控制变量i3用网孔电流表示 即补充方程 3 4网孔电流法 代入上式 移项整理后得到以下网孔方程 3 57 由于受控源的影响 互阻R21 r R3 不再与互电阻R12 R3相等自阻R22 R2 R3 r 不再是网孔全部电阻R2 R3的总和 3 4网孔电流法 3 58 解 以i1 i2和 i3为网孔电流 用观察法列出网孔1和网孔2的网孔方程分别为 3 4网孔电流法 例8 已知 1 1 试求网孔电流 将两个受控源控制变量用网孔电流i1和i2表示 有 代入 1 1和补充方程到网孔方程中 得到 补充方程 解得网孔电流i1 4A i2 1A和 i3 3A 3 59 等效变换为有伴电压源 增设变量 补充方程 b n 1个网孔电流方程 网孔电流 支路电路减少该网孔方程 补充方程 用网孔电流表示控制量 与电阻串联 3 60 3 5回路电流法 1 回路电流 在一个回路中连续流动的假象电流称为回路电流 2 回路电流法 以一组独立回路电流为电路变量的求解方法称为回路电流法 选择基本回路作为独立回路时 回路电流就是相应的连支电流 回路电流数l b n 1 1 定义 3 61 3 5回路电流法 2 回路电流法的特点 以回路电流为电路的独立变量只需列写KVL方程独立电路方程的数目为b n 1既适用于平面电路 也适用于非平面电路 3 62 3 5回路电流法 对于b个支路 n个结点的电路 有l b n 1个基本回路 其中Rjj j 1 2 l 是各回路的自阻Rjk j k j 1 2 l 是回路间的互阻uSjj j 1 2 l 是第j个回路中全部电压源电压的代数和 3 回路电流方程的一般形式 3 63 3 5回路电流法 自阻是各网孔内全部电阻的总和 总是正值 互阻由两网孔电流参考方向在共有支路上是否相同而定 方向相同时为 方向相反时为 注 当网孔电流都取顺 或逆 时针方向时 互阻总为负值 方程右边的电压源电压代数和的符号与网孔绕行方向有关 方向与回路绕行方向一致 取 号方向与回路绕行方向相反 取 号 3 64 3 5回路电流法 4 回路电流法的步骤 选定l b n 1个基本回路 并确定其绕行方向 对l个基本回路 以回路电流为未知量 列写KVL方程 求解上述方程 得到l个回路电流 求各支路电流 用回路电流表示 其它分析 注 电路中含有理想电流源和受控源时 回路方程的列写参见网孔电流法 3 65 3 5回路电流法 3 回路电流法的应用 例9 求电路中电压U 电流I和电压源产生的功率 设电压源与电阻的串联是一个支路 该电路有 结点数n 3 支路数b 6 基本回路数l b n 1 4 3 66 3 5回路电流法 电压源产生的功率 从中解得 则所求电流 电压 回路1 回路2 回路3 回路4 解 独立回路的选取如图所示 回路方程为 求电路中电压U 电流I和电压源产生的功率 iL4 iL2 iL3 iL1 3 67 网孔电流法 3 8 列些网孔电流方程 不计算 3 11 含电流源 3 13 a含电流源和VCCS 3 13 b含电流源和VCVS 作业P76 3 68 3 6结点电压法 在具有n个结点的连通电路中 可以选其中一个结点作为参考结点 也称为基准结点 其余 n 1 个结点相对参考结点的电压 称为结点电压 1 结点电压 1 定义 参考结点的电压通常认为是零 用接地的符号表示 结点电压表示为un un1 un2 3 69 图示电路各支路电压可表示为 3 6结点电压法 2 结点电压与支路电压的关系 任一支路电压都可以用结点电压线性表示 且满足KVL定律 3 70 3 6结点电压法 2 结点电压法 结点电压 结点 KCL方程 支路电压 支路电流 VCR 线性表示 代入 KVL n 1个以结点电压为变量的KCL方程 KCL 定义 结点电压 解结点电压方程 3 71 3 6结点电压法 用结点电压表示支路电流 以对独立结点列出KCL方程作为电路方程 求解支路电压和支路电流的方法 称为结点电压法 2 结点电压法的特点 独立变量 结点电压独立电路方程的数目为 n 1 只需列写KCL方程适用于结点较少的电路 1 定义 3 72 3 6结点电压法 3 结点电压方程 用结点电压表示支路电压 有 用结点电压表示支路电流 有 3 6结点电压法 3 73 代入KCL方程中 经过整理后得到 3 6结点电压法 对电路的三个独立结点列出KCL方程 3 6结点电压法 3 74 令G11 G1 G4 G5 G22 G2 G5 G6 G33 G3 G4 G6 它们分别是结点 和 的全部电导的总和 G11 G22 G33称为结点自电导 3 6结点电压法 令G12 G21 G5 G13 G31 G4 G23 G32 G6Gjk j k 称为结点j和k的互电导 是结点j和k间电导总和的负值 将方程右边记为iS11 iS1 iS22 0 iS33 iS3 用iS11 iS22 iS33分别表示流入结点 和 全部电流源电流的代数和 3 6结点电压法 3 75 3 6结点电压法 由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的连通电路 其结点方程的一般形式为 其中 Gjj j 1 n 1 是第j个结点的自导 总是正值Gjk j k且j k 1 n 1 是第j个和第k个结点的互导 总是负值iSjj表示流入第j个结点的电流源电流代数和 即流入结点取 流出结点取 3 6结点电压法 3 76 指定连通电路中任一结点为参考结点 用接地符号表示 标出各结点电压 其参考方向总是独立结点为 参考结点为 用观察法列出 n 1 个结点方程 求解结点方程 得到各结点电压 选定支路电流和支路电压的参考方向 计算各支路电流和支路电压 3 6结点电压法 4 结点电压法的计算步骤 3 6结点电压法 3 77 例10 用结点分析法求图示电路中各电阻支路电流 解 用接地符号标出参考结点 标出两个结点电压u1和u2的参考方向 如图所示 3 6结点电压法 un1 un2 用观察法列出结点方程 解得各结点电压为 选定各电阻支路电流参考方向如图所示 可求得 3 6结点电压法 3 78 3 6结点电压法 电流源与电阻 或电压源 串联的复合支路 该怎么样处理 3 79 解 参考结点和结点电压如图所示 用观察法列出三个结点方程 3 6结点电压法 例11 用结点分析法求电路各支路电压 3 6结点电压法 3 80 整理得到 解得结点电压 则各支路电压为 3 6结点电压法 3 6结点电压法 3 81 3 6结点电压法 3 含独立电压源电路的结点方程 若有电阻与电压源串联 有伴电压源 的支路 将有伴电压源等效变换为电流源和电阻的并联 再建立结点方程 对结点电压un1来说 图 b 与图 a 等效 则结点方程为 un1 un1 3 6结点电压法 3 82 3 6结点电压法 若电路中含有无伴电压源 方法二 选择合适的参考点 使无伴理想电压源电压等于