四川省宜宾市2018－2019年高三数学上学期第九周数列的概念与简单表示法习题.docx

61数列的概念与简单表示法1数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成 ，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项常把一般形式的数列简记作an(2)通项公式：如果数列an的 与序号_之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列_(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项_与它的前一项_ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式(5)数列的表示方法有_、_、_、_.2数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为_、_.(2)按项的增减规律分为_、_、_和_递增数列an1_an；递减数列an1_an；常数列an1_an.递增数列与递减数列统称为_3数列前n项和Sn与an的关系已知Sn，则an4常见数列的通项(1)1，2，3，4，的一个通项公式为an_；(2)2，4，6，8，的一个通项公式为an_；(3)3，5，7，9，的一个通项公式为an_；(4)2，4，8，16，的一个通项公式为an_；(5)1，1，1，1，的一个通项公式为an_；(6)1，0，1，0，的一个通项公式为an；(7)a，b，a，b，的一个通项公式为an； (8)9，99，999，的一个通项公式为an.注：据此，很易获得数列1，11，111，；2，22，222，；8，88，888，的通项公式分别为(10n1)，(10n1)，(10n1)自查自纠1(1)项首项a1，a2，a3，an，(2)第n项n(3)函数值(4)anan1(5)通项公式法(解析式法)列表法图象法递推公式法2(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列单调数列3S1SnSn14(1)n(2)2n(3)2n1(4)2n(5)(1)n(6)(7)(8)10n1 数列1，的一个通项公式an()A. B. C. D.解：由已知得，数列可写成，故通项为.故选B. (教材改编题)若数列an的前n项和为Sn，且Sn2n21，则a1a3()A10 B11 C17 D18解：a1S1211，a3S3S223222210，所以a1a311.故选B. 在数列an中，a11，an1 (n2)，则a5()A. B. C. D.解：a212，a31，a413，a51.故选D. (2015黄冈联考)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.解：由Snan得：当n2时，Sn1an1，所以当n2时，anSnSn1，所以an2an1，又n1时，S1a1a1，所以a11，所以an(2)n1.故填(2)n1. 在各项均为正数的数列an中，对任意m，nN*，都有amnaman.若a664，则a9_.解：由题意，a6a3a364，a38.所以a9a6a3648512.故填512.类型一数列的通项公式根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，； (2)，；(3)，2，8，； (4)5，55，555，5 555， (5)1，.解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积故数列的一个通项公式为an.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，故数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9，99，999，的通项为10n1，故数列的一个通项公式为an(10n1)(5) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(1)n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n.也可写为an【点拨】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：(1)熟悉一些常见数列的通项公式，如n，2n，(1)n，2n，n2，2n1等(2)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系(3)若第n项和第n1项正负交错，那么用符号 (1)n或(1)n1来适配(4)对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳(5)注意通项公式的形式不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，的通项公式可写成an或an，甚至分段形式an等写出下列数列的一个通项公式：(1)1，；(2)3，5，9，17，33，；(3)0.8，0.88，0.888，；(4)，1，. (5)1，0，0，0，0，解：(1)an(1)n；(2)an2n1；(3)将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，所以an.(4)由于1，故分母为3，5，7，9，11，即2n1，分子为2，5，10，17，26，即n21符号看作各项依次乘1，1，1，1，即(1)n1，故an(1)n1.(5)把数列改写成，分母依次为1，2，3，而分子1，0，1，0，周期性出现，因此数列的通项可表示为an.类型二由前n项和公式求通项公式(1)若数列an的前n项和Snn210n，则此数列的通项公式为an_(2)若数列an的前n项和Sn2n1，则此数列的通项公式为an解：(1)当n1时，a1S11109；当n2时，anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11.当n1时，21119a1.所以an2n11.故填2n11.(2)当n1时，a1S12113；当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.综上有 an故填【点拨】任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an 若a1适合SnSn1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S00，则a1适合SnSn1，否则不符合，这在解小题时比较有用(1)已知下列数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.()Sn2n23n；()Sn3nb.解：()a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，a1也适合此等式，所以an4n5.()a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式所以当b1时，an23n1；当b1时，an(2)已知数列an的首项a12，其前n项和为Sn.若Sn12Sn1，则an_.解：由Sn12Sn1，有Sn2Sn11(n2)，两式相减得an12an，又S2a1a22a11，a23，所以数列an从第二项开始成等比数列，所以an类型三由递推公式求通项公式写出下面各数列an的通项公式(1)a12，an1ann1；(2)a11，an1an；(3)a11，an13an2.解：(1)由题意得，当n2时，anan1n，所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，适合上式，因此an1.(2)由题设知an0，则，又a11，则an1，故an.(3)解法一：(累乘法)an13an2，得an113(an1)，即3，所以3，3，3，3.将这些等式两边分别相乘得3n.因为a11，所以3n，即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也适合上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.解法二：(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.【点拨】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，一般用累加法求通项；当出现f(n)时，一般用累乘法求通项还须注意检验n1时，是否适合所求写出下面各递推公式表示的数列an的通项公式(1)a12，an1an；(2)a11，an12nan；(3)a11，an12an1.解：(1)因为当n2时，anan1，所以当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1()23.当n1时，适合故an3.(2)因为2n，所以21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)2，所以an2.当n1时，适合故an2.(3)由题意知an112(an1)，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an12n，所以an2n1.类型四数列通项的性质已知数列an中，an1 (nN*，aR，且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围解：(1)因为a7，所以an1.结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)所以数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11.因为对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，知56，所以10a8.故a的取值范围为(10，8)【点拨】数列是特殊的函数，故研究其前n项和或通项的性质时，可充分借助函数，要具备能将公式转化为我们熟知的函数的能力设函数f(x) anf(n)，若数列an是递减数列，则实数a的取值范围是()A(，2) B.C. D.解：由题意，知f(x)(a2)x在(2，)上是减函数，且a1a2，所以 即 解得a.故选C.点拨1已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(1)n或(1)n1来调节(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决2an注意anSnSn1的条件是n2，还须验证a1是否符合an(n2)，是则合并，否则写成分段形式3已知递推关系求通项掌握先由a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等(1)已知a1且anan1f(n)，可以用“累加法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)(2)已知a1且f(n)，可以用“累乘法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)注：以上两式均要求f(n)易求和或积4数列的简单性质(1)单调性：若an1an，则an为递增数列；若an1an，则an为递减数列(2)周期性：若ankan(nN*，k为非零正整数)，则an为周期数列，k为an的一个周期(3)最大值与最小值：若 则an最大；若 则an最小课时作业1数列0，的一个通项公式为()Aan(nN*) Ban(nN*)Can(nN*) Dan(nN*)解法一：特例淘汰法令n1，淘汰D选项，令n2淘汰A，B选项解法二：数列变形为，分子、分母都是等差数列，分子2(n1)分母2n1.故选C.2已知数列an的前n项和Snn22n，则a2a18()A36 B35 C34 D33解：当n2时，anSnSn12n3；当n1时，a1S11，所以an2n3(nN*)，所以a2a1834.故选C.3数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为()A5 B. C. D.解：因为anan1，a22，所以an所以S2111102.故选B.4(2016广东3月测试)设Sn为数列an的前n项和，且Sn(an1)(nN*)，则an( )A3(3n2n) B3n2 C3n D32n1解：当n1时，a13；当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得到an3an1，所以an3n.故选C.5数列an满足an1 若a1，则a2 019等于()A. B. C. D.解：因为a1an，求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN*，所以3.所以实数k的取值范围为(3，)11Sn为数列an的前n项和，已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解：(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn. 设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围解：(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，又S131a3(a3)，故数列Sn3n是首项为a3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN*.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，当n1时，a1a不适合上式，故anan1an43n1(a3)2n22n2，当n2时，an1an12a30a9.又a2a13a1.综上，所求a的取值范围是9，)62等差数列考点梳理1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_等于同一个_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母d表示，即_d(nN，且n2)或_d(nN)2等差中项三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的_3等差数列的通项公式若an是等差数列，则其通项公式an_.an成等差数列anpnq，其中p_，q_，点(n，an)是直线_上一群孤立的点单调性：d0时，an为_数列；d0时，an为_数列；d0时，an为_4等差数列的前n项和公式(1)等差数列前n项和公式Sn_.其推导方法是_(2)an成等差数列，求Sn的最值：若a10，d0，且满足时，Sn最大；若a10，d0，且满足时，Sn最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值5等差数列的性质(1)aman_d，即d.(2)在等差数列中，若pqmn，则有apaqam_；若2mpq，则有_amapaq(p，q，m，nN*)但要注意：在等差数列anknb中，若mpq，易证得amapaq成立的充要条件是b0，故对一般等差数列而言，若mpq，则amapaq并不一定成立(3)若an，bn均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列pan，anq，anbn也为_数列，且公差分别为_，_，_.(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，anm，an2m，为等差数列，公差为md.(5)等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，为等差数列，公差为n2d.(6)若等差数列的项数为2n，则有S偶S奇nd，.自查自纠1差常数公差anan1an1an2等差中项3a1(n1)dda1dydx(a1d)单调递增单调递减常数列4(1)na1倒序相加法(2)00005(1)(mn)(2)an2(3)等差pd1d1d1d2基础自测 (2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97解：由题意得 解得 所以a100a199d98.故选C. 在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11()A18 B99 C198 D297解：因为a3a927a6，2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.故选B. 在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15 BS16 CS15或S16 DS17解：因为a129，S10S20，所以10a1d20a1d，解得d2，所以Sn29n(2)n230n(n15)2225.所以当n15时，Sn取得最大值故选A. (2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.解：因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，得a55，a2a82a510.故填10. (2016江苏)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_解：设公差为d，则由题意可得a1(a1d)23，5a110d10，解得a14，d3，则a948320.故填20.类型一等差数列的判定与证明数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式解：(1)证明：由an22an1an2得an2an1an1an2.即bn1bn2.又b1a2a11.所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是=，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.【点拨】等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数； (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2；(3)通项公式法：得出anpnq(p，q是常数)；(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn(A，B是常数)已知数列an中，a12，an2(n2，nN*)，设bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式解：(1)证明：因为an2，所以an12.所以bn1bn1，所以bn是首项为b11，公差为1的等差数列(2)由(1)得bnn，即n，所以an的通项公式为an1.类型二等差数列基本量的计算在等差数列an中，(1)已知a1533，a45153，求an；(2)已知a610，S55，求Sn；(3)已知前3项和为12，前3项积为48，且d0，求a1.解：(1)解法一：设首项为a1，公差为d，依条件得 解得所以an23(n1)44n27.解法二：由d，得d4，由ana15(n15)d，得an4n27.(2)因为a610，S55，所以解得a15，d3.所以Sn5n3n2n.(3)设数列的前三项分别为a2d，a2，a2d，依题意有： 即 解得因为d0，所以d2，所以a1a2d2.【点拨】在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用等差数列an的前n项和记为Sn.已知a1030，a2050.(1)求通项公式an；(2)若Sn242，求n.解：(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得a112，d2.所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242，得方程12n2242.解得n11或n22(舍去)类型三等差数列的性质(1)设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，则n_；a9a10_.解：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，所以a1an36，又Sn324，所以18n324，所以n18.因为a1an36，n18，所以a1a1836，从而a9a10a1a1836.故填18；36.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9_.解：由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345.故填45.(3)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3 C4 D5解：由得：，要使为整数，则需7为整数，所以n1，2，3，5，11，共有5个故选D.【点拨】(1)可利用性质“等差数列前m项与后m项的和等于m(a1an)”及“若pqmn，则apaqaman”来求解；(2)可利用等差数列的性质Sn，S2nSn，S3nS2n，为等差数列来求解；(3)可利用等差数列的性质S2n1(2n1)an1来求解，这一性质表明：若等差数列有奇数项，则正中间一项是该数列各项的平均数等差数列的性质是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形，解题时灵活应用这些性质常常可化繁为简，起到事半功倍的效果(1)若一个项数为n等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则n_.(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.(3)若两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，则等于()A7 B. C. D.解：(1)依题意两式相加得(a1an)(a2an1)(a3an2)180.因为a1ana2an1a3an2，所以a1an60.因为Sn390，所以n13.故填13.(2)因为S10，S20S10，S30S20成等差数列，所以2(S20S10)S10(S30S20)，所以4010S3030，所以S3060.故填60.(3)因为a5，b5，所以.故选D.类型四等差数列的最值问题等差数列an的首项a10，设其前n项和为Sn，且S5S12，则当n为何值时，Sn有最大值？解法一：由题意知d0，因为Snn2n，设f(x)x2x，如图，由S5S12知，抛物线的对称轴为x，由图可知，当1n8时，Sn单调递增；当n9时，Sn单调递减，且S8S9.又nN*，所以当n8或9时，Sn有最大值解法二：设等差数列an的公差为d，由S5S12得5a110d12a166d，da10.Snna1dna1a1(n217n)a1a1，因为a10，nN*，所以当n8或9时，Sn有最大值解法三：由解法二得da10.设此数列的前n项和最大，则 即 解得 即8n9，又nN*，所以当n8或9时，Sn有最大值解法四：由解法二得da10，又S5S12得a6a7a8a9a10a11a120，所以7a90，所以a90.所以当n8或9时，Sn有最大值【点拨】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值要注意an0的情形(2015杭州质量检测)设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，则()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8 CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7解：由条件得，即，化简得anan1，所以等差数列an为递增数列又1，所以a80，a70，所以数列an前7项均为负数，第8项为正数，所以Sn的最小值为S7.故选D.点拨1等差数列中，已知5个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个除已知a1，d，n求an，Sn可以直接用公式外，其他情况一般都要列方程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思想注意，我们把a1，d叫做等差数列的基本元素将所有其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常重要的基本思想2求等差数列an前n项的绝对值|an|之和，首先应分清这个数列哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求和3等差数列前n项和的最值通常是在正负项分界的位置产生，利用这一性质可求其最值；另一种方法是利用二次函数的性质4灵活运用等差数列的性质(如等差中项的性质)，可简化运算5等差数列an的前n项和满足：也是等差数列，且首项与an的首项相同，公差为an公差的一半课时作业一1在等差数列an中，a22，a34，则a10()A12 B14 C16 D18解：由a22，a34知d2.所以a10a28d28218.故选D.2设Sn为等差数列的前n项和，公差d2，若S10S11，则a1()A18 B20 C22 D24解：由S10S11，得a110.又已知d2，则a11a110da110(2)0，解得a120.故选B.3如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14 B21 C28 D35解：由a3a4a512得，a44，所以a1a2a777a428.故选C.4(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8解：S648a1a616，a4a5a1a824，作差a8a682dd4.故选C.5已知等差数列an的前n项和为Sn，且4，则()A. B. C. D4解：设S2x，则S44x，因为S2，S4S2，S6S4成等差数列，所以S6S45x，即S69x，所以.故选A.6设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6解：由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为dam1am321，由 得 解得 故选C.7中位数为1011的一组数构成等差数列，其末项为2 019，则该数列的首项为_解：设首项为a1，则a1201921011，解得a13.故填3.8(2017全国卷)等差数列an的前项和为Sn，a33，S410，则_.解：设等差数列的首项为a1，公差为d，所以 解得 所以ann，Sn，那么2，那么22.故填.9已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522，求an和Sn.解：因为数列an为等差数列，所以a3a4a2a522.又a3a4117，所以a3，a4是方程x222x1170的两实根，又公差d0，所以a3a4，所以a39，a413，所以 所以所以通项公式an4n3.所以Snna1d2n2n.10已知数列an满足a11，an(nN*，n2)，数列bn满足关系式bn(nN*)(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：因为bn，且an，所以bn1，所以bn1bn2.又因为b11，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知数列bn的通项公式为bn1(n1)22n1，又bn，所以an.所以数列an的通项公式为an. 设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解：因为a11，an1SnSn1，所以S11，Sn1SnSnSn1，所以1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以n，所以Sn.故填.课时作业二1等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12 D14解：设等差数列an的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S332d12，解得d2，则a6a1(61)d25212.故选C.2设等差数列an的前n项和为Sn，若a5a1410，则S18()A20 B60 C90 D100解：因为an是等差数列，所以S189(a5a14)90.故选C.3已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20等于()A1 B1 C3 D7解：两式相减，可得3d6，d2.由已知可得3a3105，a335，所以a20a317d3517(2)1.故选B.4设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k()A8 B7 C6 D5解：由a11，公差d2得通项an2n1，又Sk2Skak1ak2，所以2k12k324，得k5.故选D.5已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S1224，则a6a7的最大值为()A36 B6 C4 D2解：在等差数列an中，S126(a6a7)24，所以a6a74，又a60，a70，所以a6a74，即a6a7的最大值为4.故选C.6(2016青岛二模)设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为()Abnn1 Bbn2n1Cbnn1 Dbn2n1解：设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.故选B.7数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.解：因为数列an是等差数列，所以a11，a33，a55也成等差数列又 a11，a33，a55构为公比为q的等比数列，所以a11，a33，a55为常数列，故q1.故填1.8在等差数列an中，a13，11a55a813，则数列an的前n项和Sn的最小值为_解：设公差为d，则11(34d)5(37d)13，所以d，所以数列an为递增数列令an0，所以3(n1)0，所以n