[信息与通信]第3章 随机变量与随机分布.ppt

2020 2 15 1 第3章随机变量和随机分布 3 1随机变量和随机分布概述3 1 1离散型随机变量3 1 2连续型随机变量3 1 3随机变量的数字特征3 1 4常用随机分布类型及其特性3 1 5随机变量分布类型及其参数的确定3 2随机数的生成方法3 2 1随机数的特性3 2 2随机数发生器的设计3 3随机数发生器的检验3 4随机变量的生成原理3 5典型随机变量的生成3 5 1离散型随机变量的生成3 5 2连续型随机变量的生成 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 2 3 1随机变量和随机分布概述 活动的分类 1 确定性活动 deterministicactivity 活动的变化规律已知 活动结果可以准确预计 在一定条件下活动可以准确地再现和重复 或由根据过去状态可以准确预见活动的未来进展 例如 重物的自由落体运动 炮弹的运行轨迹及落点等都可以根据相关公式进行计算 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 3 3 1随机变量和随机分布概述 2 随机性活动 stochasticactivity或probabilisticactivity 活动的结果难以准确预见 即使在相同的条件下进行重复试验 每次试验的结果未必相同 或者由过去状态不能确定相同条件下活动的未来发展趋势 例如 抛掷硬币时 每次硬币是正面向上还是正面向下 南京长江大桥每一时段汽车的通行量 百货商店内不同时刻到达的顾客人数 从一批相同型号齿轮中任意抽取一个齿轮 测量它在一定条件下的工作寿命 某型号发电机组每次的大修时间等 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 4 3 1随机变量和随机分布概述 对于随机性活动 我们可以定义一个变量 以变量的不同取值表示活动的不同结果 并通过统计确定变量取不同数值的概率 将这类变量称为随机变量 randomvariable或stochasticvariable 根据取值是否连续 随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 5 3 1随机变量和随机分布概述 3 1 1离散型随机变量 若随机变量的取值为有限个数值或为可以逐一列举的无穷多个数值 则称此类随机变量为离散型随机变量 discreterandomvariable 设离散随机变量X所有可能的取值为x1 x2 xn 并且所有可能取值的概率分别为p1 p2 pn 则将 xi pi i 1 2 n 配对的集合称为随机变量X的概率分布 probabilitydistribution 并将P p1 p2 pn 称为随机变量X的概率质量函数 probabilitymassfunction pmf JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 6 3 1随机变量和随机分布概述 概率质量函数满足以下条件 pi 0 i 1 2 n JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 7 3 1随机变量和随机分布概述 设F x 为离散型随机变量的累积分布函数 cumulativedistributionfunction cdf 它表示X小于或等于某个给定值xi i 1 2 n 的概率函数 累积分布函数具有以下特性 F x 为单调递增函数 即当x y时 有F x F y JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 8 3 1随机变量和随机分布概述 例如 某班有40名学生 现对某门课程考试成绩X进行统计分析 其中优秀A x 90分 为5人 良好B 80 x 90 为16人 中等C 70 x 80 为12人 及格D 60 x 70 为5人 不及格E x 60 为2人 绘制课程成绩分布直方图 绘制成绩的概率分布和累积分布函数 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 9 3 1随机变量和随机分布概述 3 1 2连续型随机变量 若随机变量X可以在某个数值区间内连续取任一数值 则称之为连续型随机变量 continuousrandomvariable 由于X的取值为无穷多个点 我们无法定义X在某一个数值点的概率 只能考察X落入某个子区间内的概率 X的概率密度函数 probabilitydensityfunction pdf JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 10 3 1随机变量和随机分布概述 f x 需满足以下条件 F x 为连续型随机变量的累积分布函数 cdf 它表示随机变量小于或等于x的概率 当x1 x2时 有F x1 F x2 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 11 3 1随机变量和随机分布概述 要求绘制均匀分布U a b 的概率密度函数f x 曲线和累积分布函数F x 曲线 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 12 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 13 3 1随机变量和随机分布概述 3 1 3随机变量的数字特征 概率函数 概率密度函数以及累积分布函数等反映了随机变量的某些概率特征 但是 在工程实际中 往往存在以下情况 无法了解或无需知道随机变量准切的概率特征 只能得到或只需利用随机变量的具有代表性的数值 此时 仅靠概率函数 概率密度函数和累积分布函数等参数还不足以反映随机变量的某些特性 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 14 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 15 3 1随机变量和随机分布概述 也称数学期望值 expectation或expectedvalue 或随机变量的一阶矩 thefirstmoment 它是指随机变量取值的平均数 表示随机变量取值的集中程度 一般以E X 或 表示 1 平均值 mean或meanvalue JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 16 3 1随机变量和随机分布概述 若某一随机变量的方差为0 则表示该随机变量没有偏差 此时随机变量退化为一个确定值 因此 确定性变量可认为是方差为零的随机变量 是随机变量的一种特殊形式 2 方差和标准差 variance 方差的定义为 表示随机变量相对于均值的平均分散和变动程度 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 17 3 1随机变量和随机分布概述 方差的单位是随机变量单位的平方 为了保持与随机变量单位的一致性 常以方差的平方根作为衡量分散性的尺度 将方差的平方根称为随机变量的标准差 standarddeviation 通常以 表示 即 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 18 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 19 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 20 3 1随机变量和随机分布概述 为了更好地描述随机变量的分散程度 引入变异系数的概念 也称变化系数或变差系数 变异系数是指随机变量的标准差与平均值的比值 即 3 变异系数 coefficientofvariation 由于标准差与平均值的量纲相同 变异系数是无量纲量 它不受数据量纲的影响 变异系数的数值越小 则随机变量的分散性越小 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 21 3 1随机变量和随机分布概述 模数也称众数 它是指随机变量的频率 或频数 取得某个峰值时的随机变量的值 当随机变量的概率密度函数有多个峰值时 通常取最大峰值作为随机变量的模数 对于离散型随机变量 观测值出现最多的数即为模数 对于连续型随机变量 模数是指概率密度函数为极大值时的x值 即概率密度函数峰值所对应的x值 4 模数 modenumber JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 22 3 1随机变量和随机分布概述 中间值也称中位数 对于随机变量X 若存在一个点xm使得随机变量的一半数值落在该点以下 则称xm点为随机变量的中间值 即与F x 0 5相对应的点 也可以由累积分布函数曲线求得随机变量的中间值 howtocalculate 5 中间值 mediumvalue JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 23 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 24 3 1随机变量和随机分布概述 3 1 4常用随机分布类型及其特性 根据参数的物理意义和几何意义 可以将分布参数分为 位置参数 locationparameter 比例参数 scaleparameter 形状参数 shapeparameter 也称为位移参数 它确定分布函数在横坐标 x轴 的取值范围 当位置参数发生变化时 分布函数在横坐标的位置上会向左或向右发生偏移 而它的范围或形状不发生变化 1 位置参数 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 25 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 26 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 27 3 1随机变量和随机分布概述 比例参数用于确定在分布范围内取值大小的比例尺度 当比例参数的数值改变时 分布函数被压缩或扩张 分布的范围发生改变 但分布的基本形状不会改变 2 比例参数 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 28 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 29 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 30 3 1随机变量和随机分布概述 形状参数用来决定分布函数的基本形状 改变分布函数的性质 形状参数与位置参数 比例参数之间相互独立 与位置参数 比例参数相比 形状参数可以从根本上改变分布的形状 一些分布 如正态分布 指数分布等 没有形状参数 另一些分布 如 分布 威布尔分布等 具有形状参数 3 形状参数 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 31 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 32 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 33 3 1随机变量和随机分布概述 广义 分布和Weibull分布都是三参数分布 由于具有形状参数 它们具有很强的数据拟合能力 通过改变参数数值 可以模拟其它分布或具有与其它分布相类似的属性 分布可以用来模拟威布尔分布或正态分布 当形状参数 1时 威布尔分布演化为指数分布 当 3 43954时 威布尔分布接近于正态分布 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 34 3 1随机变量和随机分布概述 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 35 3 2随机数的生成方法 3 2 1随机数的特性 随机数 randomnumbers 是随机变量的取样值 它是离散事件系统仿真的基础和必备的建模元素 任何离散事件系统仿真程序或模型都必须具备能够产生指定分布的随机变量生成模块或子程序 运行仿真程序或模型 当用户赋予某一随机变量以确定参数的分布时 仿真系统就调用和生成相应的随机变量 以便再现系统的随机特征 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 36 3 2随机数的生成方法 其中 产生 0 1 区间上均匀分布的随机数是产生随机变量的基础 其它类型分布 如正态分布 分布 分布 指数分布等 都是在 0 1 均匀分布的基础上通过一定变换实现的 鉴于 0 1 区间均匀分布随机数在系统仿真中的重要性 通常将生成这种类型随机数的算法或程序称为随机数发生器 randomnumbergenerator JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 37 3 2随机数的生成方法 仿真程序中的随机数序列必须具有以下统计特性 均匀性 uniformity 随机变量在其可能取值范围中任一区间出现的概率和此区间的大小与可能值范围的比值成正比 独立性 independence 在某个区间内一个观测值发生的概率与先前已有的观测值结果无关 仿真程序中常根据确定的递推公式近似地生成随机数 这些随机数并不能严格地满足 均匀性 和 独立性 准则 不是真正的随机数 又能在某种程度上表现出随机性 常称之为伪随机数 pseudorandomnumber JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 38 3 2随机数的生成方法 随机数发生器的评价指标 1 随机性 randomness 2 长周期 longperiod 3 可再现性 reproducibility 4 高计算效率 highcomputationalefficiency JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 39 3 2随机数的生成方法 1 中值平方法 随机数发生器的设计 3 混合同余法 2 线性同余法 4 乘同余法 5 组合法 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 40 3 2随机数的生成方法 产生 0 1 区间上均匀分布的随机数是生成随机变量的基础 其它类型的分布 如正态分布 分布 分布 泊松分布等 都可以通过对 0 1 区间均匀分布的转化来实现 用于产生 0 1 区间均匀分布随机数的专门程序称为 随机数发生器 random numbergenerator 随机数发生器应具备的特点 随机性 randomness 长周期 largeperiod 可再现性 reproducibility 计算效率高 computationalefficiency JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 41 3 2随机数的生成方法 线性同余法 linearcongruence 式中 m为模数 modulus a为乘数 multiplier c为增量 increment 其中 Z0为种子数 由上式产生一系列数Z1 Z2 Zi 令Ui Zi m得到区间 0 1 上的随机数Ui i 1 2 3 2 2随机数发生器的设计 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 42 3 2随机数的生成方法 线性同余法举例 m 24 a 13 c 17 Z0 5 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 43 3 2随机数的生成方法 线性同余法的代码实现 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 44 3 2随机数的生成方法 线性同余法的缺点 Ui并不是真正意义上的均匀分布随机数 当模数m较小时 Ui只能取到有限个数值 为取得近似均匀分布的数值 m通常取得很大 如m 109 由于Ui只能取到有限个数值 随机数发生器会出现周期性 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 45 3 2随机数的生成方法 混合同余法 Mixedcongruence 乘同余法 Multiplicativecongruence 取小数法 取小数法又可分为平方取小数法和开方取小数法 平方取小数法 将前一次随机数平方后的数 取其小数点后第一个非零数字后面的尾数作为下一个所求的随机数 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 46 3 2随机数的生成方法 开方取小数法 将前一次随机数开方后的数 取其小数点后第一个非零数字后面的尾数为下一所求随机数 JiangZengqiang HefeiUniversityofTechnology 2020 2 15 47 3 2随机数的生成方法 随机数发生器的检验 参数检验 检验该随机分布的参数估计值与 0 1 均匀分布的参值 或称理论值 的差异是否显著 独立性检验 检查随机数序列u1 u2 un前后各项的统计相关是否显著 均匀性检验 频率检验 检查随机数序列u1 u2 un的实际频率与理