工程力学-力的平移定理.ppt

第四章平面任意力系 4 1力的平移 4 2平面任意力系向一点简化 4 3平面任意力系的平衡条件 4 4刚体系的平衡 4 5静定与静不定问题的概念平面任意力系习题课 主要介绍 平面任意力系的简化 平面任意力系的平衡条件 刚体系的平衡 平面任意力系 各力的作用线位于同一平面内 但既不汇交于一点又不相互平行的力系叫平面任意力系 研究方法 平面任意力系 未知 平面汇交力系 已知 平面力偶系 已知 4 1力的平移 定理 作用在刚体上的力可以平行移动到刚体上的任一点而不改变其对刚体的作用效应 但必须同时附加一个力偶 其力偶矩等于原来的力对新的作用点的力矩 平移 等效 可知 平移时力的大小 方向不变 M随平移点的位置而变 平移 4 2平面任意力系向一点简化 一 平面任意力系向一点简化 平面任意力系 平面汇交力系 平面力偶系 平面汇交力系合力 平面力偶系合力偶矩 MO 的作用线过O点 称为平面任意力系的主矢 称MO为平面任意力系对简化中心O点的主矩 平面任意力系 平面汇交力系 平面力偶系 平面汇交力系合力 平面力偶系合力偶矩 MO 结论 平面任意力系向一点简化 可得到一个力和一个力偶 这个力等于该力系的主矢 力的作用线通过简化中心O点 这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心O点的主矩 可知 O点位置不同时 主矢不变 主矩MO不同 MO 取坐标系Oxy 则 O 主矢的解析式 对O点主矩的解析式 固定端 插入端 的约束力 如 雨棚 车刀 认为固定端受一平面任意力系作用 将平面任意力系向A点简化 得 一力 一力偶 MA 限制物体移动 限制物体转动 固定端约束力 二 平面任意力系简化的最后结果 简化结果 1 平面任意力系简化为一个力偶 若 此时原力系简化为一力偶 其力偶矩为 且为一常量 即MO与O点位置无关 力偶对平面内任一点的矩都相同 2 平面任意力系简化为一个合力 若 合力的作用线过O点 原力系简化为一合力 且 若 原力系简化为一力 一力偶 可进一步简化为一力 MO 作用线通过A点 3 平面任意力系平衡的情形 若 则平面任意力系平衡 MO FR d 4 3平面任意力系的平衡条件 一 平面任意力系平衡方程的基本形式 简化结果 主矢 主矩MO 若时 力系向其他点简化也均为零 力系一定平衡 充分性 反之 若要力系平衡 MO必须为零 必要性 平面任意力系的平衡条件 MO均为零 即 而 得平衡方程 力系各力在x轴上投影的代数和为零 力系各力在y轴上投影的代数和为零 力系各力对任一点之矩的代数和为零 二 平面任意力系平衡方程的二力矩形式与三力矩形式 其中A B为任意两点 但A B连线不得垂直于x轴 或y轴 1 二力矩形式 2 三力矩形式 其中A B C为任意三点 但A B C三点不得共线 当平面任意力系平衡方程用于平面汇交力系时 对力系汇交点总有 只需 当平面任意力系平衡方程用于平面力偶系时 总有 只需 三 平面平行力系的平衡条件 平面平行力系 力系中各力作用线位于同一平面且相互平行 设力系各力平于y轴 即总有 只需 可求解二各未知量 则各力在x轴上的投影均为零 也可用二力矩形式 其中A B连线不得与各力平行 例1支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接 并各以铰链A D连接于铅直墙上 如图所示 已知杆AC CB 杆DC与水平线成45 角 载荷F 10kN 作用于B处 设梁和杆的重量忽略不计 求铰链A的约束力和杆DC所受的力 1 取AB杆为研究对象 3 选坐标系 列平衡方程 解 2 作受力图 SFx 0FAx FCcos45 0 SFy 0FAy FCsin45 F 0 SMA F 0FCcos45 l F 2l 0 4 求解 FC 28 28kN FAx 20kN FAy 10kN 例2伸臂式起重机如图所示 匀质伸臂AB重P 2200N 吊车D E连同吊起重物各重F1 F2 4000N 已知 l 4 3m a 1 5m b 0 9m c 0 15m a 25 试求A处的约束力 以及拉索BH的拉力 解 1 取伸臂AB为研究对象 2 受力分析如图 3 选如图坐标系 列平衡方程 SFx 0FAx FBcosa 0 SFy 0FAy F1 P F2 FBsina 0 SMA F 0 4 联立求解 FB 12456NFAx 11290NFAy 4936N 例3外伸梁的尺寸及载荷如图所示 F1 2kN F2 1 5kN M 1 2kN m l1 1 5m l2 2 5m 试求支座A及支座B的约束力 1 取梁为研究对象 解 2 受力分析如图 3 选坐标系 列平衡方程 SFx 0FAx F2cos60 0 SFy 0FAy FB F1 F2sin60 0 SMA F 0 FBl2 M F1l1 F2sin60 l1 l2 0 4 求解 FB 3 56kNFAx 0 75kNFAy 0 261kN 例4如图所示为一悬臂梁 A为固定端 设梁上受分布集度为q的均布载荷作用 在自由端B受一集中力F和一力偶M作用 梁的跨度为l 试求固定端的约束力 2 受力分析如图 1 取梁为研究对象 解 3 选坐标系 列平衡方程 SFx 0FAx Fcos45 0 SFy 0FAy ql Fsin45 0 SMA F 0 MA ql l 2 Fcos45 l M 0 4 求解 FAx 0 707FFAy ql 0 707F 解 1 取梁AB为研究对象 2 受力分析如图 其中F q AB 300N 作用在AB的中点C处 3 选坐标系 列平衡方程 SFx 0FAx 0 SFy 0FAy F FD 0 SMA F 0 例5梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用 已知载荷集度 即梁的每单位长度上所受的力 q 100N m 力偶矩M 500N m 长度AB 3m DB 1m 试求活动铰支座D和固定铰支座A的约束力 例5梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用 已知载荷集度 即梁的每单位长度上所受的力 q 100N m 力偶矩M 500N m 长度AB 3m DB 1m 试求活动铰支座D和固定铰支座A的约束力 3 选坐标系 列平衡方程 SFx 0FAx 0 SFy 0FAy F FD 0 SMA F 0 4 联立求解 FD 475NFAx 0FAy 175N 例6某飞机的单支机翼重G 7 8kN 飞机水平匀速直线飞行时 作用在机翼上的升力F 27kN 力的作用线位置如图示 其中尺寸单位是mm 试求机翼与机身连接处的约束力 解 1 取机翼为研究对象 2 受力分析如图 3 选坐标系 列平衡方程 SFx 0FAx 0 SFy 0FAy G F 0 SMA F 0 4 联立求解 FAx 0NFAy 19 2kNMA 38 6kN m 顺时针 例7塔式起重机如图所示 机架重G1 700kN 作用线通过塔架的中心 最大起重量G2 200kN 最大悬臂长为12m 轨道AB的间距为4m 平衡荷重G3到机身中心线距离为6m 试问 1 保证起重机在满载和空载时都不翻倒 求平衡荷重G3应为多少 2 若平衡荷重G3 180kN 求满载时轨道A B给起重机轮子的约束力 解 1 取起重机为研究对象 2 受力分析如图 SMB F 0 3 列平衡方程 SMA F 0 G3 6 2 G1 2 G2 12 2 FA 4 0 G3 6 2 G1 2 G2 12 2 FB 4 0 4 起重机不翻倒时平衡荷重G3 1 满载时 G2 200kN 不绕B点翻倒 应有FA 0 即 临界情况下为FA 0 可得G3min 8G3min 2G1 10G2 0 G3min 75kN 2 空载时 G2 0 不绕A点翻倒 应有FB 0 即 临界情况下为FB 0 可得G3max 2G1 4G3max 0 G3max 350kN 有75kN G3 350kN 5 取G3 180kN 求满载 G2 200kN 时轨道A B对起重机的约束力FA FB 210kN 870kN 4 5静定与静不定问题的概念 汇交力系 未知力数 平衡方程 平行力系 未知力数 平衡方程 F1 F2 FA FB 任意力系 未知力数 平衡方程 FAx Fay MA 静定问题 未知力数 静力平衡方程数 汇交力系 未知力数 平衡方程 平行力系 未知力数 平衡方程 F3 FC F1 F2 FA FB 任意力系 未知力数 平衡方程 FAx FAy MA FB 在静定问题上再加上多余约束 则成为静不定问题 此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量 静不定问题 超静定问题 未知力数 静力平衡方程数 须建立补充方程求解 在材料力学中研究 注意 实际中多余约束可提高结构的强度 刚度 稳定性 并不多余 多余约束只是针对结构平衡而言是多余的 如 物系外力 物系外其他物体对物系的作用力叫物系外力 刚体系 由若干个刚体通过约束所组成的系统 又称为物系 4 4刚体系的平衡 物系内力 物系内部各物体之间的相互作用力叫物系内力 如 主动力 约束力 如 左图中AC杆与CE杆在C铰链处的相互作用力 物系平衡的特点 物系静止 物系平衡时 其中每一物体也处于平衡状态 满足各自的平衡条件 对每一物体都可列出相应的独立平衡方程 其总和即为物系具有的独立平衡方程的数目 设物系由n个物体组成 每个物体均受平面任意力系作用 其平衡方程数为3 则物系的独立平衡方程数为3n个 可求解3n个未知量 当物系中某些物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时 其平衡方程数应相应减少 若物系未知量数不多于物系的独立平衡方程数时 为静定问题 否则为静不定问题 未知力数 平衡方程数 3 2 6 FAx FAy MA FCx FCy FB 未知力数 为静定问题 FAx FAy MA FCx FCy FBx FBy 平衡方程数 3 2 6 为静不定问题 对静定问题 可列出每一物体的平衡方程 再组成方程组联立求解 但常要进行较繁的数学运算 在解题时 若能选取适当的研究对象 列出必须足够的平衡方程 可使运算过程简便 求解物系平衡问题的一般方法 例7如图所示为曲轴冲床简图 由轮I 连杆AB和冲头B组成 A B两处为铰链连接 OA R AB l 如忽略摩擦和物体的自重 当OA在水平位置 冲压力为F时系统处于平衡状态 求 1 作用在轮I上的力偶矩M的大小 2 轴承O处的约束反力 3 连杆AB受的力 4 冲头给导轨的侧压力 解 1 取冲头为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 求解得 2 取轮I为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 求解得 例8三铰拱桥及尺寸如图所示 由左右两段用铰链C连接 又用铰链A B与基础相连接 已知每段重G 40kN 重心分别在D E处 且桥面受一集中载荷F 10kN 设各铰链都是光滑的 试求平衡时各铰链中的力 解 1 取AC段为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 SFx 0FAx FCx 0 SFy 0FAy G FCy 0 SMC F 0 FAx 6 FAy 6 G 5 0 2 取BC段为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 SFx 0FBx F Cx 0 SFy 0FBy F Cy G F 0 SMC F 0 FBx 6 FBy 6 F 3 G 5 0 列平衡方程 SFx 0FAx FCx 0 SFy 0FAy G FCy 0 SMC F 0 FAx 6 FAy 6 G 5 0 列平衡方程 SFx 0FBx F Cx 0 SFy 0FBy F Cy G F 0 SMC F 0 FBx 6 FBy 6 F 3 G 5 0 联立求解得 FAx FBx FCx 9 17kN FAy 42 5kNFBy 47 5kNFCy 2 5kN 此时求解过程较繁 若先取整体为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 SFx 0FAx FBx 0 SFy 0FAy FBy G G F 0 SMA F 0 FBy 12 F 9 G 1 G 11 0 再取BC段为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 SFx 0FBx F Cx 0 SFy 0FBy F Cy G F 0 SMC F 0 FBx 6 FBy 6 F 3 G 5 0 FBy 47 5kN FAy 42 5kN FBx 9 17kN FCx 9 17kN FCy 2 5kN FAx 9 17kN 例9组合梁AC和CE用铰链C相连 A端为固定端 E端为活动铰链支座 受力如图所示 已知 l 8m F 5kN 均布载荷集度q 2 5kN m 力偶矩的大小M 5kN m 试求固定端A 铰链C和支座E处的约束力 解 1 取CE段为研究对象 2 受力分析如图 3 列平衡方程 SFy 0 SMC F 0 4 联立求解 FE 2 5kN FC 2 5kN 6 列平衡方程 SFy 0 SMA F 0 7 联立求解 FA 12 5kN MA 30kN m 5 取AC段为研究对象 受力分析如图 例10刚架结构的尺寸和载荷如图所示 试求A B支座及C铰链处的约束力 解 1 取刚架整体为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 SFx 0FAx FBx qb 0 SFy 0FAy FBy G 0 SMB F 0 求解得 2 取刚架左半部为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 SFx 0FAx FCx qb 0 SFy 0FAy FCy 0 SMC F 0 求解得 一 力的平移定理 1 一力偶 二 平面任意力系向一点简化的最后结果 本章小结 平面任意力系习题课 是力系简化的理论基础 平移 2 一合力 3 平衡 基本形式 A B连线不得 x轴 A B C不得共线 三 平面一般力系的平衡方程 平面平行力系的平衡方程 A B连线不得与各力平行 二力矩形式 三力矩形式 二力矩形式 若力系各力平于y轴 平面汇交力系的平衡方程 平面力偶系的平衡方程 四 静定与静不定问题的概念 五 物系平衡问题 静不定问题 未知力数 独立的静力平衡方程数 静定问题 未知力数 独立的静力平衡方程数 物系平衡时 其中每一物体也处于平衡状态 求解物系平衡问题的一般方法 六 解题步骤与技巧 1 解题步骤 选研究对象 画受力图 受力分析 选坐标 取矩心 列平衡方程 求解未知数 2 解题技巧与注意事项 选研究对象应能应联系已知力和未知力 不要漏掉固定端约束处的约束力偶 选坐标轴最好与未知力 或 取矩心最好选在未知力的汇交点上 充分发挥二力杆的直观性 灵活使用合力矩定理 力偶矩M 常数 它对任一点之矩都相等 G2 FA G1 G3 G FB B 3 0m 2 5m 1 8m 2 0m 例11一车载式起重机 车重G1 26kN 起重机伸臂重G2 4 5kN 起重机的旋转与固定部分共重G3 31kN 尺寸如图所示 设伸臂在起重机对称面内 且放在图示位置 试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax 八 例题分析 G 解 1 取汽车及起重机为研究对象 2 受力分析如图 3 选坐标系 列平衡方程 SFy 0 FA FB G G1 G2 G3 0 SMB F 0 4 联立求解 5 由不翻倒的条件 FA 0 得 最大起吊重量为Gmax 7 5kN 例12A B C D处均为光滑铰链 物块重为G 通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点 各构件自重不计 试求B处的约束力 解 1 取整体为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 SFx 0FAx FBx FE 0 求解得 FAx 2 5G FBx 1 5GFBy 2G SMC F 0G 5r FAx 2r 0 2 取杆AB为研究对象 受力分析如图 列平衡方程 SMA F 0 FBx