2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变形22.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数学案北师大版.docx

2.1两角差的余弦函数 2.2两角和与差的正弦、余弦函数学 习 目 标核 心 素 养1.了解两角差的余弦公式的推导过程2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦、余弦公式(重点)3.会利用公式解决简单的化简求值问题(难点)1.通过推导两角差的余弦公式、两角差的正弦公式、两角和的正弦、余弦公式体会逻辑推理素养2.通过利用公式解决简单的化简求值问题提升数学运算素养.1两角差的余弦公式cos()cos_cos_sin_sin_.(C)2两角和的余弦公式cos()cos_cos_sin_sin_.(C)3两角和与差的正弦公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_.(S)，(2)sin()sin_cos_cos_sin_.(S)思考：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？提示sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin .1cos 75cos 15sin 75sin 15的值等于()ABC0D1C逆用两角和的余弦公式可得cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900.2cos 75_.cos 75cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.3cos(xy)cos ysin(xy)sin y_.cos x原式cos(xy)ycos x4cos 66cos 36cos 24cos 54的值为_cos 66cos 36cos 24cos 54cos 66cos 36sin 66sin 36cos(6636)cos 30.给角求值【例1】求下列各式的值：(1)cos 105sin 195；(2)sin 14cos 16sin 76cos 74；(3)sincos.解(1)cos 105sin 195cos(9015)sin(18015)sin 15sin 152sin 152sin(4530)2(sin 45cos 30cos 45sin 30)2.(2)sin 14cos 16sin 76cos 74sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30.(3)法一：sincos222cos2cos2.法二：sincos222sin2sin2.解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”.1求下列式子的值：(1)cos(15)；(2)sin 795.解(1)cos(15)cos(3045)cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)sin 795sin(236075)sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.给值求值【例2】已知0，cos，sin，求sin()的值思路探究注意()，可通过求出和的正、余弦值来求sin()解，0.sin .又0，cos ，sin()coscoscoscossinsin.1给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值二是变角求值即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号2常见的变角技巧：2()()，2()()，()，()等2已知，是锐角，且sin ，cos()，求sin 的值解是锐角，且sin ，cos .又sin()，sin sin()sin()cos cos()sin .给值求角探究问题1给值求角的实质是什么？提示给值求角即求该角的某种三角函数值2给值求角的关键是什么？提示关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示3常用的角的变换技巧有哪些？提示互余或互补关系的应用，如与互余，与互补等【例3】已知，且cos()，sin ，求.思路探究先计算sin 后再根据确定角大小解，(0，)cos()，sin().，sin ，cos ，sin sin()sin()cos cos()sin .又，.1将例3的条件变为“、为锐角，cos ，cos()”，试求的值解、且cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .又，.2将例3中的条件变为“、均为锐角，且sin ，sin ”，试求的值解因为，都是锐角，所以0，0，0，又sin ，sin ，所以cos ，cos ，所以cos()cos cos sin sin .又0，所以.1解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解2确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin()，可能就会导致或.1两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin()sin cos cos sin sin .2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin cos()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin .3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的余弦公式中，角，是任意的()(2)sin()sin sin 一定不成立()(3)sin 54cos 24sin 36cos 66.()(4)存在，使cos()cos cos .()答案(1)(2)(3)(4)2若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则ab_.abcos 60