[工程科技]材料力学复习.ppt

第七章弯曲变形 基本要求 1 用积分方法求梁的变形时的边界条件与连续条件 2 用叠加法求梁的变形 梁的刚度计算 3 用变形比较法求解简单超静定梁 难点 变形比较法求解简单超静定梁 例 求图示梁的约束反力 并绘内力图 解 一 解除多约束 B处支座 以多余约束RB来代替 基本静定梁的受力形式见图a所示 二 建立变形协调方程 求出多余约束反力 先将图a受力形式分解成单独荷载下的受力形式 图b c 其中 代入 中得 解出 三 由静力平衡方程解出其余的约束反力 四 绘内力图 解 一 CD杆为刚性杆时的内力 先将结构分解成图示形式 此时CD杆为刚性 变形为零 建立变形协调方程时 还需考虑CD杆的变形 此时CD杆变形为 C处位移和D处位移之差即为 变形协调方程为 即 解得 例试作如图所示梁的剪力图和弯矩图 设EA为常数 解 1 这是求解一次超静定问题解除中间铰的约束 则应有约束力FRB如图所示 连续条件 b yB右是外伸梁BCD上B截面的挠度 它有两部分组成 第一部分是有F作用在B截面上引起的挠度 其值为 第二部分是有FRB作用在B截面上引起的挠度 其值为 解得 由悬臂梁AB的平衡条件可得 FRA 0 75kN mA 0 75kN m由外伸梁BCD的平衡条件可得FRC 3 125kN FRD 1 625kN 将 a 式和 b 式代入到连续条件 则 2 绘FS图 M图 第八章平面应力状态分析 基本要求 1 用数解法求解平面应力状态 2 用图解法求解平面应力状态 3 主应力及主平面 极值切应力 4 广义虎克定律的运用 难点 主应力及主平面 极值切应力方位的确定 广义虎克定律的运用 例已知平面应力状态如图a所示 试用数解法求 1 ab面上的应力 并表示于图中 2 主应力 并绘主应力单元体 3 最大切应力及其所在平面的单元体 解 1 求ab面上的应力由图可知 ab面的外法线n和x轴的夹角 300 根据公式可得 所得 30 30均表示于图a中 2 主应力及主应力单元体由主应力计算式得主应力的大小为 应当指出的是 由于此单元体的前 后两平面是零应力平面 主应力为零 因此 它也是主平面 按主应力排列次序 该点的三个主应力为 由公式计算主应力方位 主应力单元体如图所示 由此可见 一个主平面的方位角为 0 19 330 另一个主平面与它相垂直 其方位角为 0 90 70 670 它们之中一个是 1的作用面 另一个是 3的作用面 至于哪一个是 1的作用面 哪一个是 3的作用面 可将 0的值代入ab面上的正应力式中进行计算 然后加以确定 3 最大切应力及其作用面由最大切应力计算式可得最大切应力 最大切应力所在面的方位 2 1 51 340 所以可得 1 25 670 1 90 115 670 最大切应力所在面如图所示 例 求1 图示单元体 300斜截面上的应力 2 主应力 主切应力 2 量出所求的物理量 2 量出所求的物理量 例 求图示单元体的主应力和最大切应力 MPa 解 1 x面为主平面之一 2 建立应力坐标系如图 画y z平面的应力圆及三向应力圆得 例 求图示单元体的主应力及主平面的位置 单位 MPa A B 2 量出所求的物理量 解 1 按比例画此单元体对应的应力圆 数解法 分析思路 150 解 1 确定单元体 应力单位 Mpa 2 求 3 求主应力 主平面 例 如图所示拉杆 横截面为圆形D 2cm E 2 1 106MPa 求 F 600 x A F 解 1 取单元体 2 广义胡克定律 应力与应变关系 3 外力的确定 F 3980 kN y 例 如图所示空心圆轴 外经D 120mm 内经d 80mm E 2 0 105MPa 0 28 450 2 0 10 4 求 m 解 1 取单元体 2 广义胡克定律 应力与应变关系 3 外力的确定 450 m m 8504 Nm 例图示矩形截面杆一端自由一端固定 在中性层A点处沿与杆轴成 45o贴二片应变片 当杆受轴向力P1和横向力P2作用时 测出 45 a和 45 b 试求此时P1和P2的表达式 E L b h均为已知 轴力P1引起的正应力 横向力P2引起的剪应力 解 一 A点的应力 沿方向的应力表示在单元体上 方向的应力表达式为 可先将单元体分解成 和 N单独作用 见分解图 二 求P1和P2 将应力代入广义虎克定律中 得 联立两式可解得 第九章强度理论 基本要求 1 四个强度理论的应用 2 复杂应力状态下的强度计算 难点 取危险点进行应力状态分析 选择合适的强度理论进行强度计算 例 如图所示工字型截面梁 已知 s 180MPa t 100MPa试 全面校核 主应力 梁的强度 解 1 画内力图 100kN 100kN 32kNm x x M Fs 2 最大正应力校核 上 下边缘处 3 最大切应力校核 中性层轴 例 如图所示工字型截面梁 已知 s 180MPa t 100MPa试 全面校核 主应力 梁的强度 K 4 主应力校核 K截面翼缘和腹板交界处B点 例 如图所示工字型截面梁 已知 s 180MPa t 100MPa试 全面校核 主应力 梁的强度 K 主应力校核 翼缘和腹板交界处 结论 满足强度要求 例 如图所示工字型截面梁 已知 s 180MPa t 100MPa试 全面校核 主应力 梁的强度 解 危险点A的应力状态如图 例 直径为d 0 1m的圆杆受力如图 m 7kNm F 50kN 材料为铸铁构件 40MPa 试用第一强度理论校核杆的强度 故 安全 例 薄壁圆筒受最大内压时 测得 x 1 88 10 4 y 7 37 10 4 已知钢的E 210GPa 170MPa 泊松比 0 3 试用第三强度理论校核其强度 解 由广义虎克定律得 所以 此容器不满足第三强度理论 不安全 例一工字形截面梁受力如图所示 已知F 80KN q 10KN m 许用应力 试对梁的强度作全面校核 解 1 求支座反力并作内力图 2 确定危险截面 D右 B左各截面C截面 弯矩和剪力都较大的截面 3 确定危险点的应力状态 C截面b点 B左截面c点 C左截面和D右截面的a点 4 确定几何性质 对于翼缘和腹板交界处的a点 5 对C截面进行强度校核 所以仍在工程容许范围内 故认为是安全的 C截面b点 C左截面a点 按第三和第四强度理论校核 所以C截面强度足够 6 对D截面强度校核 D右截面a点 按第三和第四强度理论校核 D右截面c点 按第三和第四强度理论校核 所以D截面强度足够 已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用 为了测定拉力F和力矩m 可沿轴向及与轴向成45 方向测出线应变 现测得轴向应变 45 方向的应变为 若轴的直径D 100mm 弹性模量E 200Gpa 泊松比 0 3 试求F和m的值 u u 例题 解 1 K点处的应力状态分析 在K点取出单元体 K 其横截面上的应力分量为 2 计算外力F 由广义胡克定律 解得 3 计算外力偶m 已知 式中 由 解得 因此 第十章组合变形 基本要求 1 斜弯曲的强度计算 2 偏心拉伸与压缩的强度计算 3 弯曲与扭转的强度计算 难点 取危险点进行应力状态分析 选择合适的强度理论进行强度计算 铸铁压力机框架 立柱横截面尺寸如图所示 材料的许用拉应力 t 30MPa 许用压应力 c 120MPa 试按立柱的强度计算许可载荷F 解 1 计算横截面的形心 面积 惯性矩 2 立柱横截面的内力 例 3 立柱横截面的最大应力 2 立柱横截面的内力 4 求压力F 例简易吊车的结构如图所示 当电动滑车行走到距梁端还有0 4m处时 吊车横梁处于最不利位置 横梁采用22a工字钢 其允许应力 160MPa 当载荷为F 20kN时 试对吊车横梁进行强度校核 解 1 外力计算吊车横梁的受力如图所示 由静力平衡条件得 2 内力计算作吊车梁的内力图由内力图可知 B左截面是危险截面 在该截面上有 3 强度校核由附录查得22a工字钢截面A 42cm2 Wz 309cm3 由轴向力FN引起的正应力为 由弯矩M引起的最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上 下边缘处 其值为 B左截面上的正应力分布规律如图所示 该梁的强度足够 解 两柱均为压应力最大 例图示不等截面与等截面杆 受力F 350kN 试分别求出两柱内的绝对值最大正应力 1 2 FN F 解 对AB受力分析 例 槽型截面梁AB如图 140MPa试选择槽型截面梁的型号 应力计算 危险截面 C左 采用试选的方法 F 内力分析 选两根18号槽型钢 每根Wz 152 2cm3 A 29 29cm2 重选两根20a号槽型钢每根Wz 178cm3 A 28 83cm2 128 4MPa 140MPa 可选两根20a号槽型钢 例 图示钢板受力F 100kN 试求最大正应力 若将缺口移至板宽的中央 且使最大正应力保持不变 则挖空宽度为多少 解 设坐标如图 挖孔处的形心 F F 内力分析如图 FN F 应力分布及最大应力确定 孔移至板中间时 FN F 例试绘图a所示构件底截面上正应力分布图 已知F 100kN a 0 2m b 0 4m yF 0 05m zF 0 2m 解1 外力简化将偏心力F向形心简化 得轴向力和力偶矩 2 内力计算底截面上的内力有轴力和弯矩 3 应力计算截面的有关几何量计算 底截面上角点的应力计算 4 确定中性轴的位置 绘中性轴及底截面上的正应力分布图 中性轴在两坐标上的截矩为 例结构受力如图所示 钢制圆杆AB的横截面面积 抗弯截面模量 抗扭截面模量 材料的许用应力 试对此杆进行强度校核 解1 对AB杆进行分析作AB杆内力图 2 确定危险截面 由内力图可知 距A截面1m处的截面 Fs 0处 为危险截面 其面上的内力有 弯矩引起的中性轴方位角 3 应力分析 危险截面上的K点是危险点 作出K点的应力单元体 危险截面 计算结果表明强度不足 从而得出强度足够的错误结论 讨论 应该指出的是 不少读者在解此题时不画内力图 而毫无根据的判断固定端截面为危险截面 其计算结果为 4 强度计算 例一钢制圆轴 装有两个皮带轮A和B 两轮有相同的直径D 1m 及相同的重量F 5kN A轮上带的张力是水平方向的 B轮上带的张力是铅垂方向的 它们的大小如图示 设材料的许用应力MPa 试按第三强度理论求圆轴所需直径 解 1 外力简化将轮上带的张力向截面形心简化 并考虑到轮子的重力 轴的计算简图如图示 C D处的约束反力求出后也标在计算简图上 2 内力分析根据计算简图 绘制扭矩图及垂直平面与水平平面内的弯矩图 由内力图分析可知 C B截面可能是危险截面 两截面上的合成弯矩分别为 C截面为危险截面 该截面上的内力为 根据第三强度理论的强度条件 圆轴所需的抗弯截面模量为 圆轴所需直径为 3 设计截面 第十一章能量法 基本要求 1 杆件在各种变形下应变能的计算 2 杆件在组合变形下应变能的计算 3 卡氏第二定理及其应用 难点 杆件在组合变形下应变能的计算 卡氏第二定理及其应用 例2求图示结构荷载作用点C处的垂直位移 cy 解 一 受力分析 二 变形能计算 BD杆 AB段 BC段 由平衡条件解出 三 利用功和能的原理求位移 总变形能为 根据能量守恒定律 例3直角水平圆截面折杆ABC受力如图示 已知抗弯刚度为EI 抗扭刚度为GIp 试求C处的垂直位移 解 一 内力分析 二 变形能计算 总变形能为 总变形能为 三 利用功能原理求位移 例4求图示梁B处的挠度和转角 解 一 求B处挠度由于C B截面都作用着集中力P 为了将二个P区分开 可设作用在B处的P为PB 图a 两段梁的弯矩方程为 BC段 AC段 二 求B处的转角由于B处没有相应的力偶与转角相对应 可假设在B作用一力偶Mf Mf为附加力偶 见图b 两段弯矩方程为 BC段 AC段 例5求图示刚架C点的垂直位移 水平位移及转角 解 一 垂直位移 Cy在C处加一附加力Py BC AB 令式中Py 0 则有 在C处附加一水平力Px BC AB 令 Px 0 则有 二 水平位移 Cx BC AB 三 C处转角 C 在C处附加一力偶Mf 二 建立变形协调方程 求出多余约束反力 由C处的约束情况可知变形条件为 解一 解除多余约束 使超静定问题化简成如所示 为多余约束反力 三 求出其余约束反力 第十二章压杆稳定 基本要求 1 柔度计算 l i 根据 值 确定临界力的计算公式 2 用安全系数法进行稳定计算 3 用系数法进行稳定计算 难点 由 值来判定临界力的计算公式 解 一 计算杆1的临界力 因为 1 p 杆1属于细长压杆 所以采用欧拉公式计算临界力 二 计算杆2的临界力 因为 s 2 p 杆2属于中长杆 所以采用直线公式计算临界应力 例1两根圆截面压杆的直径均为d 160mm 材料为Q235钢 s 240MPa E 2 105MPa 两压杆的两端均为铰支 长度为l1 l2 6m 试计算两杆的临界力 例2两端铰支压杆的长度L 1 2m 材料为Q235钢 E 200GPa s 240MPa p 200MPa 已知截面的面积A 900mm2 若截面的形状分别为圆形 正方形 d D 0 7的空心圆管 试分别计算各杆的临界力 解 1 圆形截面直径惯性半径 柔度 因为 所以属细长压杆 用欧拉公式计算临界力 2 正方形截面截面边长 因为 所以属细长压杆 用欧拉公式计算临界力 柔度计算 3 空心圆管截因为 所以 得D 47 4 10 3m d 33 18 10 3m 因为 所以属中长压杆 用直线公式计算临界力 惯性矩 柔度计算 例3结构受力如图a所示 CD柱由Q235钢制成 E 200GPa p 200MPa 许用应力 120MPa 柱的截面积为a 60mm的正方形 试求 1 当F 40kN时 CD柱的稳定安全系数n 2 如设计要求稳定安全系数 nw 3 结构的许用载荷 F 3 用 系数法计算结构的许用载荷 解 1 计算CD柱的内力和外力F的关系由平衡条件可知 见图b 2 计算CD柱的临界力 因为所以CD柱属细长杆 用欧拉公式计算临界力 注意 此安全系数即为CD柱工作时的安全系数 3 确定CD柱的稳定安全系数因为FNCD 4F 160kN 所以CD柱的稳定安全系数为 4 安全系数法计算许用载荷 nw 3 由CD柱的稳定条件 再由 5 用系数法计算许用载荷因 查表得 讨论上述计算所得的许用载荷分别为19 7kN和25 4kN 这是一个矛盾的结果吗 许用载荷倒底是19 7kN 还是25 4kN 这里应当指出的是 系数表中的稳定安全系数 nw 不是一个定值 它是随 值的变化而改变的量 而稳定安全系数法中的安全系数 nw 是一个规定的特定值 他们之间没有关系 是两种方法中各自采用的安全系数 正因为如此 用 系数法计算的结果不能与用安全系数法所得的结果进行比较 例题简易起重架由两圆钢杆组成 杆AB 杆AC 两杆材料均为Q235钢 规定的强度安全系数 稳定安全系数 试确定起重机架的最大起重量 解 受力分析 2 由杆AC的强度条件确定 3 由杆AB的稳定条件确定 柔度 因此 所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度 为 讨论上述计算所得的许用载荷分别为19 7kN和25 4kN 这是一个矛盾的结果吗 许用载荷倒底是19 7kN 还是25 4kN 这里应当指出的是 系数表中的稳定安全系数 nw 不是一个定值 它是随 值的变化而改变的量 而稳定安全系数法中的安全系数 nw 是一个规定的特定值 他们之间没有关系 是两种方法中各自采用的安全系数 正因为如此 用 系数法计算的结果不能与用安全系数法所得的结果进行比较 第十三章动荷载 基本要求 1 构件在惯性力作用下的动荷系数计算 2 构件在冲击力作用下的动荷系数计算 3 构件在动荷载作用下的应力和变形计算 难点 构件在各种冲击力作用下的动荷系数的确定 例1 试确定图所示起重机吊索所需的横截面面积A 已知提升物体的重量P 40kN 上升时的最大加速度 5m s2 绳索的许用拉应力 80MPa 设绳索的质量相对于物体的质量来说很小 可以忽略不计 解一 惯性力 这是个匀加速直线运动问题 因为加速度与运动方向一致 所以惯性力的方向向下 二 动荷系数 三 计算物体静止时 绳索所需的横截面积 由强度条件得 四 计算绳索所需要的横截面积 Ad KdAst 1 51 0 5 10 3 0 755 10 3 755mm2 例2圆轴AB上作用有两个偏心载荷P 假定偏心载荷的质量集中于轴的对称面 并作用在跨长的三等分处设轴以等角速度 旋转 求 1 试绘轴的内力图 2 若CD EF杆材料的容许应力 为已知 截面积为A 试根据杆件的强度条件确定所容许的最大角速度 max 二 绘AB轴的受力图和内力图 解一 确定偏心重物惯性力和约束反力 三 计算 max 当CD EF两杆位于铅直平面内时 CD杆中有最大轴力 由强度条件 得 例3直径d 300mm 长为L 6m的圆木桩 下端固定 上端受重P 5kN的重锤作用 见图 木桩的E1 10GPa 求在下列三种情况下 木桩内最大正应力 1 重锤以静载荷的方式作用于木桩上 2 重锤从离桩顶1m的高度处自由落下 3 在桩顶放置直径为150mm 厚为20mm的橡胶垫 橡胶的弹性模量E2