2008年—2017年湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题.doc

20082017年湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题湖南省2008年普通高等学校对口招生考试数 学 试 题一、选择题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确的选项填入题后的括号内。多选不给分。本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知全集，集合，集合，则（ ）。（A） （B） （C） （D）2、不等式的解集是（ ）。（A） （B）（B） （D）3、已知，则的近似值是（ ）。（A） （B） （C） （D）4、下列命题错误的是（ ）。（A）在复平面上，表示两个共轭复数的点关于实轴对称。（B）复数的三角形式是。（C）方程在复数集内有两个根。（D）复数的模是2。5、已知，则（ ）。（A）5 （B）6 （C）7 （D）86、已知向量，则下列命题错误的是（ ）。（A） （B）（C） （D）7、过点的直线方程是（ ）。（A） （B）（C） （D）8、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为8，则P到另一个焦点的距离为（ ）。（A）6 （B）10 （C）12 （D）149、甲、乙、丙3同学投篮命中的概率依次为，3人各投1次，则其中恰有2人投中的概率是（ ）。（A） （B） （C） （D）10、下列命题正确的是（ ）。（A）当时，是无穷大 （B）（C） （D）二、填空题（本大题8小题，每小题5分，共40分）11、设有命题，命题，则的真值是 （用T或F表示）。12、计算： （结果保留4位小数）。13、计算： 。14、的展开式中的奇数幂的系数之和等于 （结果用数字表示）。15、已知三角形ABC三顶点的坐标依次为，D为A、B的中点，则与向量方向相反的单位向量的坐标是 。16、过点且与直线平行的直线方程是 （用一般式表示）。17、若一种新型药品，给一位病和服用后治治愈的概率是，则服用这种新型药品的3位病人中，至少有2位病人能被治愈的概率是 （结果保留3位小数）。18、函数的连续区间是 。三、解答题（本大题共7小题，其中第24、25题为选做题，共60分，解答时应写出简要步骤）19、（本题满分10分）已知函数（1）求的周期和振幅。（5分）（2）求函数在区间（T为周期）内的图像与轴交点的横坐标。20、（本题满分10分）已知等差数列中，且（1）求公差及首项，并写出数列的通项公式。（5分）（2）求数列的前项和，并求（5分）21、（本题满分10分） 如图，已知PA垂直于三角形ABC所在平面，（1）BC与平面ACP垂直吗？为什么？（5分）（2）求二面角PBCA的大小。（5分）22、（本题满分10分）某一新产品问世后，公司为了推销这一新产品要花大量的广告费。但随着产品在市场上被认可，广告的作用会越来越小。何时减小甚至取消广告往往取决于产品的销售高峰期。设某产品的销售量和时间的关系为（1）求该产品销售函数的单调区间。（7分）（2）当为何值时，该产品的销售量最大？，并求产品的最大销量。（3分）23、（本题满分10分）已知双曲线的中心在原点O，实轴在轴，一条渐近线的斜率是2，P为双曲线上一动点，且的最小值为3。（1）写出双曲线的两渐近线方程。（2分）（2）求双曲线的标准方程。（8分）四、选做题（第24、25题为选做题，分值相等，满分10分，考生可任做一题，如果两题都做了解答，则只给24题评分）24、某工厂现有A种原料2420千克，B种原料3040千克，计划用这两种原料生产甲、乙两种产品共200件。已知生产一件甲产品耗用A种原料18千克，B种原料8千克；生产一件乙产品耗用A种原料8千克，B种原料20千克；且每件甲产品可获利润800元，每件乙产品可获利润1200元。（1）根据原料与产品数量的已知条件，设计甲、乙两种产品所有可行的生产方案。（5分）（2）设甲产品的产量为，总利润为L，写出L与的函数关系式，并由此说明采用哪种生产方案可获最大总利润，并求出最大总利润。（5分）25、已知（k为常数）。（1）求的解析式及其定义域。（4分）（2）讨论的奇偶性。（2分）（3）若，求的值。（4分）湖南省2009年普通高等学校对口招生考试数 学 试 题一、选择题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确的选项填入题后的括号内。多选不给分。本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知全集，集合，集合，则（ ）。（A） （B） （C） （D）2、函数的定义域是（ ）。（A） （B）（B） （D）3、复数的三角形式是（ ）。（A） （B）（C） （D）4、下列命题中，正确的是（ ）。（A） （B）（C） （D）5、的值是（ ）。（A）0 （B） （C）1 （D）26、已知双曲线上一点P到该双曲线一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离是（ ）。（A）8 （B）10 （C）12 （D）147、已知，且是第二象限角，则的值是（ ）。（A） （B） （C） （D）8、某班拟从8名候选人中推选出3名同学参加学生代表大会，8名候选人中有甲、乙两名同学。假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲、乙两同学都被选为学生代表的概率是（ ）。（A） （B） （C） （D）9、下列四个命题：（1）若一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线；（2）若一条直线和一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任何一条直线；（3）若一条直线和两个平面垂直，则这两个平面互相平行；（4）若一条直线和两个平面平行，则这两个平面互相平行；其中正确命题的个数是（ ）。（A）1 （B）2 （C）3 （D）410、设奇函数 存在反函数。当时，一定在函数的图像上的点是（ ）。（A） （B）（C） （D）二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡上对应的横线上）11、函数的最小正周期是 。12、设有命题3是6与9的公约数；命题方程没有实数根，则的真值是 （用T或F作答）。13、若复数的实部和虚部互为相反数，则 。14、的展开式中的系数是 （用数字作答）。15、甲、乙两人独立地解答同一道数学题，甲解答对的概率为，乙解答对的概率为，那么此题能解答对的概率是 。16、如图，在长方体中，已知，则直线与平面ABCD所成的角的大小是 。17、若，在内连续，则实数 。18、若椭圆的的一个焦点为，则常数 。三、解答题（本大题共7小题，其中第24、25题为选做题，每小题10分，共60分，解答应写出文字说明或简演算步骤）19、（本题满分10分）解不等式：20、（本题满分10分）已知平面向量，满足，且，求的值。21、（本题满分10分） 如图，一艘海轮从海港A出发，沿北偏东方向航行了50海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行30海里后到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿北偏东多少度的方向航行？需要航行多少海里？（角度精确到度）。22、（本题满分10分）已知函数（1）求的单调区间。（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围。23、（本题满分10分）已知抛物线的顶点为坐标原点O，焦点F是圆的圆心。（1）求抛物线的方程。（2）设过点F且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线与，求直线与的交点M的坐标，并判断点M与圆的位置关系（圆内，圆上，圆外）。注意：第24、25题任选一题作答，若全部作答，则只评阅24小题24、（本题满分10分）为拉动经济增长，2009年度某市计划新建住房的面积为200万平方米，其中小户型住房面积120万平方米。以后每年新建住房面积比上一年增长，其中小户型面积每年比上一年增加16万平方米。（1）该市2014年度新建住房面积有多少万平方米？其中小户型住房面积有多少万平方米？（精确到万平方米）（2）从2009年初到2014年底，该市每年新建的小户型住房累计总面积占新建住房累计总面积的百分比是多少？（精确到25、（本题满分10分）设数列是公差为2的等差数列，数列是等比数列，且求：（1）数列与的通项公式。（2）湖南省2010年普通高等学校对口招生考试数 学 试 题一、选择题（在本题共10小题，每小题4分，共40分。在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、已知全集，集合，集合，则（ ）。（A） （B） （C） （D）2、是的（ ）。（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（B）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3、在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为，已知，则（ ）。（A） （B）2 （C） （D）4、从7名志愿者中挑选3名，分别担任翻译、导游、导购工作，且每名志愿者都能胜任其中任一项工作，则不同的选派方法的种数是（ ）。（A） （B） （C） （D）5、已知向量且与共线，则（ ）。（A） （B） （C） （D）26、过点且垂直于直线的直线方程是（ ）。（A） （B） （C） （D）7、已知椭圆的中心在原点，长轴长是焦距的2倍，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆的标准方程是（ ）。（A） （B） （C） （D）8、下列命题正确的是（ ）。（A）空间四边形一定是平面图形（B）若一条直线与一个平面垂直，则此直线与这个平面内的所有直线都垂直； （C）若一条直线与一个平面平行，则此直线与这个平面内的所有直线都平行；（D）若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则此直线与这个平面垂直。9、（A）0 （B）1 （C）3 （D）不存在10、下列命题错误的是（ ）。（A） （B）若函数在点处可导，则函数在点处一定连续（C）若函数在点处可导且取得极值，则必有（D）若在区间内恒有，则在内单调减少二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上对应的横线上）11、化简 。12、若复数满足，则的实部是 。13、已庆为等比数列，且，则公比 。14、的展开式的常数项是 （用数字作答）。15、已知向量，若与垂直，则实数 。16、已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，且，则PA的长是 。三、解答题（本大题共7小题，其中第22、23小题为选做题，共50分，解答应写出文字说明或简演算步骤）17、（本题满分8分）求函数的定义域。18、（本题满分8分）已知（1）求的值。（2）求的值。19、（本题满分8分） 设为等比数列，为公差大于0的等差数列。（1）已知，求数列的通项公式。（3分）（2）已知，求数列的通项公式。（3分）（3）若，求（2分）20、（本题满分8分）已知曲线为常数）在对应点处的切线斜率为，且当时，函数取得极值。（1）求的值。（4分）（2）求函数的单调区间。（4分）21、（本题满分10分）设分别是椭圆的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，已知且 （1）求P的坐标。（5分）（2）求中心在原点，一个焦点为，一条渐近线的斜率为的双曲线的标准方程（5分）注意：第22、23小题任选一题作答，若全部作答，则只评阅22小题22、（本题满分8分）有A，B，C三批种子，发芽率分别是，在这三批种子中各取1粒。（1）求3粒种子都发芽的概率。（2分）（2）求恰有1粒种子不发芽的概率。（3分）（3）设X表示取得的三粒种子中发芽种子的粒数与不发芽种子的粒数之差的绝对值，求X的分布列。（3分）23、（本题满分8分）甲、乙两机床生产同一种产品，日产量相同，所产生的次品数分别用X、Y表示，它们的概率分布如下：X0123P0201X0123P0102（1）求的值。（2分）（2）分别求X、Y的数学期望与方差。（4分）（3）哪一台机床的质量好些？请说明理由。（2分）湖南省2011年普通高等学校对口招生考试数 学 试 题一、选择题（在本题共10小题，每小题4分，共40分。在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、不等式的解集是（ ）。（A） （B）（C） （D）2、方程有解的充要条件是（ ）。（A） （B）（C） （D）3、下列函数中为指数函数的是（ ）。（A） （B）（C） （D）4、曲线，与直线的交点个数为（ ）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）35、设复数，则下列命题正确的是（ ）。（A）的实部为2 （B） （C） （D）6、数列的前项和，则的值依次为（ ）。（A）1，21 （B）13，46 （C）1，46 （D）3，217、已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）。（A） （B） （C） （D）8、设为直线，为平面，则下列选项能判定的条件是（ ）。（A） （B）（C） （D）9、已知函数，在点处连续，则（ ）。（A）3 （B） （C）1 （D）010、函数的单调递减区间为（ ）。（A） （B） （C） （D）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上对应的横线上）11、设集合，则 。12、函数的定义域为 （用区间表示）。13、若二次函数是偶函数，且满足，则的表达式是 。14、从四个字母中任取3个，并从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取2个，将它们排成一列，则所有排列的种数是 （用数字作答）。15、过点（1，2）且与直线平行的直线的一般式为 。16、设O是三角形ABC所在平面外一点，若则异面直线AC与BO所成的角度是 。三、解答题（本大题共7小题，其中第22、23小题为选做题，共50分，解答应写出文字说明或简演算步骤）17、（本题满分8分）已知（1）求，（2分）（2）求的值。（6分）18、（本题满分8分）设数列为等差数列，数列为等比数列，（1）若，求（4分）（2）若，求（4分）19、（本题满分8分）已知平面上的三点，D为AB的中点。（1）求D点的坐标。（2分）（2）若向量与垂直，求k的值。（6分）20、（本题满分10分）已知椭圆C： ，其焦距与长轴长之比为，两个焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。（1）求椭圆的标准方程。（4分）（2）过点D且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。（6分）21、（本题满分8分）日本大地震导导致核电站发生泄漏事故。3月21日至4月10日，某调查机构在亚洲、欧洲、南美、北美、非洲等地区调查了3万4千人。结果显示，地震后反对核电站建设的人数比例为，现从该地区随机抽查10人，（1）估计约有多少1反对核电站建设。（精确到个位）（4分）（2）求至少有1人反对核电站建设的概率。（精确到）（4分）注意：第22、23题任选一题作答，若全部作答，则只评阅第22小题。22、（本题满分8分）设，且在处取得极值，（1）求的值。（4分）（2）设，若曲线在对应点处的切线垂直于直线，求的值。（4分）23、（本题满分8分）我国铁路运输迈入高铁时代，高速铁路建设速度快、条件好，但票价高昂。已知某高速铁路某路段每年满负荷运力为2000万人次，当票价为600元时，年实际运送量约800万人次，估计票价每下降100元，实际运送量将提高300万人次。（1）设票价为x元，写出售票收入y（单位：元）与票价x之间的函数关系式，并指明函数的定义域。（4分）（2）当票价定为多少时，售票收入最大？（4分）湖南省2012年普通高等学校对口招生考试数 学 试 题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的选项填入下列答题栏内。）1设全集U0,1,2,3,4,集合A1,2,则等于 （ ） A0,3,4 B 3,4 C1,2 D0,12已知函数满足的最小值为 （ ）A B C D3已知的值为 （ ）A B C D4已知向量(2,1),(,3),且,则实数的值为A B3 C6 D95. 已知，则的值为 ( ) A. -3 B.3 C. -4 D. 46已知等比数列的前n项和为，则 （ ）A0 B C D7. 已知直线：与圆相切，则实数的值为（ ）A2 B C D8为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周 长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数= ( ) A30 B60 C70 D809. 关于直线、与平面、，有下列四个命题： 且，则； 且，；且，则； 且，则.其中正确命题的个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 10某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 （ ）14 24 28 48 二 填空题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分把正确答案填写在答题卷中对应题号的横线上)11. 若函数是奇函数，则m的值是 。12若（）的展开式中的系数是80，则实数 = 。 13在ABC中，角A、B、C所对的边分别是、，已知2,3，B, 则ABC的面积_.14. 计算： +log .（精确到0.001）15(工科类考生做) 右面的程序框图给出了计算数列的前10项和s的算法，算法执行完毕后，输出的s为 .15 （财政类考生做）设变量，满足约束条件： 则目标标函数的最大值为 。三、解答题: 要求写出必要的解答过程，1621（22）题每小题10分，共 60 分。(第21题(工科类)、22题(财经、商贸、服务类)为选做题，每题10分。16(本小题 满分10分)已知向量，, 函数(1) 求的表达式；(2) 写出函数的周期并求函数的最大值.17(本题满分10分)已知数列的前n项和为，且点在直线上.(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；18(本小题满分10分)在正方体中，、分别是棱、的中点.(1)求证：面；(2)求二面角的大小.19.(本小题满分10分)若的两个顶点分别是椭圆的左、右两个焦点，三个内角满足，求顶点的轨迹方程20. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品都是二等品”的概率（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共10件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列 注意：（以下两题为选作题，考生可任选一题作答，每题10分）21 （工科类考生做）随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员 人（1401,为增函数，而 当时，的取值范围为17. （本小题满分10分）从装有5个红球和3个白球的箱子中，随机取出2个球，用表示取出的2个球中白球的个数（I）求随机变量的分布列；（II）求事件“取出的2个球中至少有一个白球”的概率解：（I）012P 随机变量的分布列为：（II）至少有1个白球的概率18. （本小题满分10分）B1A1C1D1DBCA图1如图1，长方体中，（I）证明：平面；（II）求三棱锥的体积解：（I）证明：是长方体， 故，为平行四边形，因此，又因为为平面外的一条直线，而，所以，平面；（II）19. （本小题满分10分）设等差数列的中，若，求：（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和的最小值解：（I）设数列的首项为，公差为，依题意，有： 数列的通项公式为；（II）数列为递增数列，由，所以，数列的前4项和与前5项和相等，并且为最小，即或20. （本小题满分10分）已知抛物线的焦点为（I）求C的方程；（II）设过点F的直线与相交于两点，试判断以为直径的圆M与轴的位置关系，并说明理由解：（I）抛物线的焦点为，解得， 故抛物线C的方程为：； 由抛物线的定义可知，在直角梯形APQB中，故圆心M到准线的距离等于半径，所以，以AB为直径的圆与轴必相交注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答21（本小题满分10分）在中，内角A，B，C的对边分别为，已知 ，且（I）求角的大小；（II）求的面积解：（I）由正弦定理，又， ，（II）22已知甲、乙、丙三种食品中维生素A,B含量及食品价格如下表所示：甲乙丙维生素A（单位/千克）500200300维生素B（单位/千克）200500300单价（元/千克）675营养师拟购买这三种食品共7千克，要求其中维生素A的总含量与维生素B的总含量均不少于2300单位问：这三种食品各购买多少千克，才能使支付的总金额最少？解：设购买甲、乙分别为x、y千克，则购买丙的数量为7-(x+y) 千克，依题意，有： 即 而目标函数为：，作出可行域如下：湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）（ ）1设全集U=1,2,3,4,5,A=1,2,B=5,则B=A5 B3,4,5 C3,4 D1,2,5【解析】，B=3,4,5故选B（ ）2 的最大值为A4 B3 C D【解析】函数是减函数，为该函数在区间-1,2上的最大值故选A（ ）3“或”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】前者后者,后者亦前者故选D（ ）4不等式的解集为A BC D【解析】由或,解得或故选D（ ）5已知向量，且，则m=A B C D【解析】由故选A（ ）6已知,则A B C D【解析】由,，故选C（ ）7已知定义在R上的奇函数当时,则A3 B1 C-1 D-3【解析】依题意，知-故选D（ ）8设，则A B C D【解析】由指数及对数函数性质知0，01,1故选D（ ）9已知点,点在圆上移动,则的取值范围为A1,7 B1,9 C3,7 D3,9【解析】故选C（ ）10已知为三条不重合的直线，给出下面三个命题： 若；若；若，其中正确的命题为A B C D【解析】由于都错，只有才是对的故选A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中任取一个球，则取到的球不是黑球的概率为 【解析】12已知数列的前项和，则 【解析】13若不等式的解集为则c= 【解析】由146位同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有 种不同的排法（用数字作答）【解析】用捆绑法15已知A,B为圆上的两点，为坐标原点，则 【解析】依题意，有，即， ，故三、解答题(本大题共7小题，每小题都为10分，其中第21、22小题为选做题满分60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16已知函数()求的定义域；()若，求m的值【解析】()由，即的定义域为； () 依题意，有，解得17.在中,内角的对边分别为.已知()求的值；()求的值【解析】()由正弦定理得； ()，故， 18已知各项都为正数的等比数列中，()求的通项公式；()设的前项和为，且，求的值【解析】()设公比为依题意有，解得，的通项公式为；(),而,即，解得19如图1，在三棱柱中，底面，CBA图1()证明：平面；()求直线与平面所成角的正弦值 【解析】()证：底面，由平面；()连，则即为直线与平面所成的角，在中,即直线与平面所成角的正弦值为20已知椭圆的离心率()求椭圆C的方程；()设直线与椭圆C相交于两点，且中点的横坐标为1，求k的值【解析】()依题意,知椭圆的焦点在轴上,由,椭圆C的方程为；()联合及,依题意,有,解得或选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答如果两题都做，则按所做的第21题计分作答时请写清题号21已知复数，且()求的值；()若且，求的所有值【解析】() 依题意,有，解得；()，由于，故22某厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品的销售收入为1500元，每件乙产品的销售收入为1000元这两种产品都需要经过两种设备加工，在设备上加工1件甲产品所需工作时数为2h,4h, 加工1件乙产品所需工作时数为4h,2h若两种设备每月工作时数分别不超过200h,250h，则每月生产甲、乙两种产品各多少件，才能使销售收入最大？【解析】设每月生产甲、乙两种产品分别为、件，销售收入为，则目标函数 约束条件为由，此时，即该厂每月生产甲、乙两种产品的数量分别为50、25件时，销售收入可以达到最大值，最大值为十万元湖南省2017年普通高等学校对口招生考试数学试题(附答案)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟.满分120分一、选择题（每小题4分，共40分每小题只有一项是符合题目要求的）1.已知集合,则等于 【答案】DA. B. C. D. 2.已知，,则的大小关系为 【答案】BA B C D 3.已知 ，则 【答案】AA B C D4.已知两条直线互相垂直，则 【答案】DA2 B 1 C0 D5.下列函数中，在区间上单调递增的是 【答案】CA. B. C. D. 6.已知函数的定义域为R，则“为偶函数” 是“”的【答案】CA 充分必要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件7.不等式的解集是 【答案】DA B C D8.设 是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是 【答案】BA若，则 B若，则 C若，则 D若，则9. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取2个不同的数，使其和为偶数，则不同的取法共有A. 72种 B. 36种 C. 32种 D. 16种 【答案】D10在三棱锥 中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB