[材料科学]工程力学第6章 剪切与扭转.ppt

工程力学 第6章连接件的实用计算与圆轴扭转 6 1剪切与挤压的实用计算6 2圆轴扭转的实例及计算模型6 3薄壁圆筒的扭转6 4圆轴扭转时的应力与变形6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件6 6圆轴扭转时的应变能 6 1剪切与挤压的实用计算 一 连接件 铆钉连接 6 1剪切与挤压的实用计算 销轴连接 平键连接 6 1剪切与挤压的实用计算 剪切受力特点 作用在构件两侧面上的外力合力大小相等 方向相反且作用线很近 变形特点 位于两力之间的截面发生相对错动 二 剪切 shearing 的实用计算 6 1剪切与挤压的实用计算 得剪应力 名义剪应力 计算公式 剪应力强度条件 假设剪应力在剪切面 m m截面 上是均匀分布的 剪切面上的剪力 FS F 常由实验方法确定 6 1剪切与挤压的实用计算 在计算中 要正确确定有几个剪切面 以及每个剪切面上的剪力 单剪 双剪 6 1剪切与挤压的实用计算 例6 1钢板厚度t 5mm 剪切强度极限 320MPa 若用直径d 15mm的冲头在钢板上冲孔 求冲床所需的冲压力 分布于此圆柱面上的剪力为 可得冲压力 解 冲孔的过程就是发生剪切破坏的过程 剪切面面积是直径为d 高为t的圆柱面面积 F 6 1剪切与挤压的实用计算 三 挤压 bearing 的实用计算 1 挤压力 Fbs 接触面上的合力 2 挤压面积 接触面在垂直Fbs方向上的投影面 3 挤压强度条件 准则 常由实验方法确定 Fbs Fbs Fbs 6 1剪切与挤压的实用计算 四 应用 6 1剪切与挤压的实用计算 为充分利用材料 切应力和挤压应力应满足 6 1剪切与挤压的实用计算 例 图示接头 受轴向力F作用 已知F 50kN b 150mm 10mm d 17mm a 80mm 160MPa 120MPa bs 320MPa 铆钉和板的材料相同 试校核其强度 解 1 板的拉伸强度 2 铆钉的剪切强度 3 板和铆钉的挤压强度 故强度足够 6 1剪切与挤压的实用计算 若板与铆钉材料不同呢 6 1剪切与挤压的实用计算 问题 指出下图中的剪切面和挤压面位置 写出各剪切面面积和计算挤压面面积 q 正方形板 正方形柱 挤压面 剪切面 6 1剪切与挤压的实用计算 问题 指出下图中的剪切面和挤压面位置 写出各剪切面面积和计算挤压面面积 a a 挤压面 剪切面 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 工程实例 汽车主传动轴 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 汽车方向盘 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 传动轴 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 构件的受力特点 在垂直于杆件轴线的两个平面内 作用一对大小相等 转向相反的力偶 扭转变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动 杆表面的纵向线变成螺旋线 轴 以扭转为主要变形的直杆称为轴 如 机器中的传动轴 石油钻机中的钻杆等 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 扭转角 任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移 剪应变 纵向线倾斜的角度 直角的改变量 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 一 外力偶矩的计算功率为力偶在单位时间内作的功 即 其中 P 功率 千瓦 kW n 转速 转 分 rpm 其中 P 功率 马力 PS n 转速 转 分 rpm 1PS 735 5N m s 1kW 1 36PS 轴所传递的功率 轴的转速与外力偶矩的关系为 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 二 扭矩及扭矩图1 扭矩 torque 构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 T 2 截面法求扭矩 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 3 扭矩的符号规定 右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正 反之为负 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 4 扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线 目的 x T 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 1 1 2 2 3 3 解 例6 3 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 截面上的扭矩T等于截面保留一侧所有扭转外力偶矩的代数和 外力偶矩正负号用右手螺旋法则确定 四个手指表示转向 大拇指代表方向与保留侧端面外法线一致为负 5 内力方程法求扭矩 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 例6 4已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入P1 500kW 从动轮输出P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 解 计算外力偶矩 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 求扭矩 内力方程法 1 1 2 2 3 3 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 绘制扭矩图 BC段为危险截面 6 2圆轴扭转的实例及计算模型 你对了吗 如错了 请讨论一下错在哪儿 解 6 3薄壁圆筒的扭转 一 实验 1 实验前 绘纵向线 圆周线 施加一对外力偶m 6 3薄壁圆筒的扭转 2 实验后 圆周线不变 纵向线变成斜直线 3 结论 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 6 3薄壁圆筒的扭转 无正应力 横截面上各点处 只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 沿周向大小不变 方向与该截面的扭矩方向一致 4 与 的关系 微小矩形单元体如图所示 6 3薄壁圆筒的扭转 二 薄壁圆筒剪应力 大小 A0 平均半径所作圆的面积 6 3薄壁圆筒的扭转 三 剪应力互等定理 上式称为剪应力互等定理 该定理表明 在单元体相互垂直的两个截面上 剪应力必然成对出现 且数值相等 两者都垂直于两个面的交线 其方向则同时指向或同时背离该交线 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 stressstateofpureshear 6 3薄壁圆筒的扭转 剪切胡克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 p 剪应力与剪应变成正比关系 四 剪切胡克定律 6 3薄壁圆筒的扭转 式中 G是材料的一个弹性常数 称为剪变模量 shearmodulus 因 无量纲 故G的量纲与 相同 不同材料的G值可通过实验确定 钢材的G值约为80GPa 剪变模量 弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 推导详见后面章节 可见 在三个弹性常数中 只要知道任意两个 第三个量就可以推算出来 6 4圆轴扭转时的应力与变形 一 等直圆杆扭转实验观察 6 圆轴扭转时的应力与变形 1 横截面变形后仍为平面 只是刚性地绕杆轴线转动 一 等直圆杆扭转实验观察 各圆周线的形状 大小和间距均未改变 仅绕轴线作相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 假设 圆轴扭转时可视为许多薄壁筒镶套而成 则认为 2 轴向无伸缩 6 圆轴扭转时的应力与变形 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力 1 变形几何关系 距圆心为 任一点处的 与到圆心的距离 成正比 扭转角沿长度方向变化率 1 变形几何方面 2 物理关系方面 3 静力学方面 6 圆轴扭转时的应力与变形 T 2 物理关系 胡克定律 代入上式得 6 圆轴扭转时的应力与变形 3 静力学关系 令 代入物理关系式得 6 圆轴扭转时的应力与变形 横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式 4 公式讨论 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等直圆截面杆 式中 T 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 该点到圆心的距离 Ip 极惯性矩 polarmomentofinertiaofanarea 纯几何量 无物理意义 单位 mm4 m4 6 圆轴扭转时的应力与变形 公式尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是Ip值不同 D d O 6 圆轴扭转时的应力与变形 O d 6 圆轴扭转时的应力与变形 应力分布 T t max t max t max T 实心截面 空心截面 工程上采用空心截面构件 提高强度 节约材料 重量轻 结构轻便 应用广泛 6 圆轴扭转时的应力与变形 确定最大剪应力 Wp 扭转截面系数 sectionmodulusintorsion 几何量 单位 mm3或m3 6 圆轴扭转时的应力与变形 三 等直圆杆扭转时的变形 由公式 知 长为l一段杆两截面间相对扭转角 为 6 圆轴扭转时的应力与变形 四 单位长度扭转角 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力 称为截面的抗扭刚度 torsionalrigidity 6 圆轴扭转时的应力与变形 例6 5空心圆轴在A B C三处受外力偶作用 已知MA 150N m MB 50N m MC 100N m 材料G 80GPa 试求 1 轴横截面内的最大剪应力 max 2 C截面相对B截面的扭转角 CB 6 圆轴扭转时的应力与变形 解 1 求扭矩 作扭矩图 2 计算轴中最大剪应力 BA段 6 圆轴扭转时的应力与变形 AC段 可见 此轴最大剪应力出现在AC段 6 圆轴扭转时的应力与变形 6 圆轴扭转时的应力与变形 解 1 求扭矩 作扭矩图 2 计算轴中最大剪应力 BA段 6 圆轴扭转时的应力与变形 3 计算扭转角 6 圆轴扭转时的应力与变形 3 计算扭转角 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 一 圆轴扭转时的破坏现象 低碳钢试件 沿横截面断开 铸铁试件 沿与轴线约成45 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 1 点M的应力单元体如图 b a b t t c 2 斜截面上的应力 取分离体如图 d d 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 d n t 转角规定 x轴正向转至截面外法线 逆时针 为 顺时针 为 由平衡方程 解得 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 分析 当 0 时 当 45 时 当 45 时 当 90 时 t 由此可见 圆轴扭转时 在横截面和纵截面上的剪应力为最大值 在方向角 45 的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力 根据这一结论 就可解释前述的破坏现象 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 二 圆轴扭转时的强度计算 强度条件 对于等截面圆轴 称为许用剪应力 强度计算三方面 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 例6 6功率为150kW 转速为15 4转 秒的电动机转子轴如图 许用剪应力 30MPa 试校核其强度 T m 解 求扭矩及扭矩图 计算并校核剪应力强度 此轴满足强度要求 x 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 例6 7联轴节如图所示 轴径D 100mm 四个直径d 20mm的螺栓对称置于D1 320mm的圆上 t 12mm 若 80MPa bs 120MPa 试确定许用的扭矩 T 解 1 考虑轴的扭转强度条件 得到 T pD3 t 16 1003p 80 16 N mm 15 7kN m 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 2 考虑螺栓剪切 平衡方程 可得 剪切强度条件为 代入数据 得 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 3 考虑螺栓挤压 除去螺栓 取右端部分研究受力 平衡方程 可得 挤压强度条件为 代入数据 得 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 轴的扭转强度 得 T 15 7kN m 螺栓剪切强度 得 螺栓挤压强度 得 故 允许使用的扭矩为 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 三 圆轴扭转时的刚度条件 或 称为单位长度的许用扭转角 刚度计算的三方面 校核刚度 设计截面尺寸 计算许可载荷 有时 还可依据此条件进行选材 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 例6 8长为L 2m的圆杆受均布力偶m 20Nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 G 80GPa 许用剪应力 30MPa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解 设计杆的外径 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 代入数值得 D 0 0226m 由扭转刚度条件校核刚度 满足刚度要求 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 右端面转角为 解 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 例6 9 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 例6 10某传动轴设计要求转速n 500r min 输入功率P1 500马力 输出功率分别P2 200马力及P3 300马力 已知 G 80GPa 70MPa 1 m 试确定 AB段直径d1和BC段直径d2 若全轴选同一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理 解 轴的扭矩图 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 由强度条件 得 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 由刚度条件 得 综上 6 5圆轴扭转时的强度 刚度条件 全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最大直径为75mm 6 6圆轴扭转时的应变能 一 应变能与应变能密度 单元体微功 应变能密度 应变能 6 6圆轴扭转时的应变能 二 圆柱形密圈螺旋弹簧的计算 簧圈的平均直径为D 簧杆的直径为d 弹簧的有效圈数为n 簧杆材料的剪变模量为G 螺旋角 D d 6 6圆轴扭转时的应变能 1 簧杆横截面上的应力 t