哥德巴赫猜想证明.doc

二次互素函二次互素函数数的创立的创立 关于哥德巴赫猜想和波林那克猜想正确性的证明关于哥德巴赫猜想和波林那克猜想正确性的证明 江江 兆兆 谷谷 目目 录录 一 欧拉函数定理另解一 欧拉函数定理另解 1 二 淑兰定理二 淑兰定理 1 含素数会合定理 含素数会合定理 2 三 淑兰定理三 淑兰定理 2 15 四 影响函数数值的大浪花 小浪花 小小浪花四 影响函数数值的大浪花 小浪花 小小浪花 22 五 淑兰定理五 淑兰定理 3 基本结构基本结构 26 六 欧拉六 欧拉 淑兰函数 含淑兰函数 含函数简要证明等 函数简要证明等 n 28 七 素数分布函数图七 素数分布函数图 37 八 淑兰定理八 淑兰定理 3 3 附一 二次行动素数筛率简表附一 二次行动素数筛率简表 38 九 九 偶数 偶数 1 11 1 个数分布函数图 个数分布函数图 43 十 孪生素数的对子数与对应的十 孪生素数的对子数与对应的 30i 630i 6 族类偶数族类偶数 1 11 1 个数的函算值相等 淑兰定理 个数的函算值相等 淑兰定理 4 4 45 1 十一 淑兰定理十一 淑兰定理 5 5 含偶数实有 含偶数实有 1 11 1 个数和函算个数对照表 个数和函算个数对照表 48 二次互素函二次互素函数数的创立的创立 关于哥德巴赫猜想和波林那克猜想正确性的证明关于哥德巴赫猜想和波林那克猜想正确性的证明 江江 兆兆 谷谷 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 认为 认为 4 以上偶数均可表为两个素数之和 本文以上偶数均可表为两个素数之和 本文 将证明将证明 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 是对的 本文还将证明波林那克猜想孪生素数是对的 本文还将证明波林那克猜想孪生素数 是无穷的 并将给出计算是无穷的 并将给出计算 30 以上任意偶数的两个素数之和即 以上任意偶数的两个素数之和即 1 1 个 个 数的公式 如数的公式 如 100 3 97 11 89 17 83 29 71 41 59 47 53 我 我 们依此称们依此称 100 的 的 1 1 个数为 个数为 6 及任意自然数前孪生素数的个数 及任意自然数前孪生素数的个数 先看被折叠的数轴 设先看被折叠的数轴 设 X 为为 30 以上偶数以上偶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 x 2 x X X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 1 2 X 2 x 我们将上表中我们将上表中以内的素数命名为行动素数 显然有行动素数以内的素数命名为行动素数 显然有行动素数x p1 p2 pk 必然是 必然是 pk2 X pk 12 所以 研究所以 研究 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 实际是研究溯数列上的行动素数 实际是研究溯数列上的行动素数 P 2 P 3 P k在数轴折叠后会不会将顺数列上的素数全部踏至 全在数轴折叠后会不会将顺数列上的素数全部踏至 全 部留下足痕的问题 换言之 行动素数第二次筛减后部留下足痕的问题 换言之 行动素数第二次筛减后 1 至无穷大数轴是至无穷大数轴是 2 否从某点开始没有了二次互素数的问题 否从某点开始没有了二次互素数的问题 一 欧拉函数定理另解一 欧拉函数定理另解 先看欧拉函数定理先看欧拉函数定理 2 假使假使 n P1P2 Pk P1 P2 Pk都是素数都是素数 必有必有 n B n P1 P2 Pk n 1 1 1 1 1 1 21k PPP 欧拉在函数中指出的是 上式在欧拉在函数中指出的是 上式在 n 这个数之前 与这个数之前 与 n 互素的数的个互素的数的个 数 欧拉这一函数也可另解为 数 欧拉这一函数也可另解为 在在 1 至至 n 这个数轴上与这个数轴上与 P1 P2 Pk互素的数的个数 互素的数的个数 二 淑兰定理二 淑兰定理 1 含素数会合定理 含素数会合定理 我并由此而寻找在我并由此而寻找在 n P1P2 Pk这个数轴上与这个数轴上与 P1 P2 Pk和和 P 2 P 3 Pk 互素的二次互素函数 互素的二次互素函数 然而 对于第然而 对于第 1 页所述偶数页所述偶数 X 之和的顺 溯数列而言 人们难于找之和的顺 溯数列而言 人们难于找 到与欧拉函数定理到与欧拉函数定理 2 相匹配契合的二次互素函数 原因有二 一是当人相匹配契合的二次互素函数 原因有二 一是当人 们将二次行动素数们将二次行动素数 随机投入表述随机投入表述 X 之和的顺 溯数列时 之和的顺 溯数列时 2 P k P 存在存在 P 在数轴上多占一个点的可能 例如 在数轴上多占一个点的可能 例如 1 至至 62 数轴 数轴 7 在数轴上占在数轴上占 八个点 而当八个点 而当 7 随机投入数轴的随机投入数轴的 1 2 3 4 5 6 中的任何一点 中的任何一点 7 均均 能在数轴上点九个点 另外 能在数轴上点九个点 另外 P 之间 以及之间 以及 P 和除自身外的诸和除自身外的诸 P 之间构之间构 成的各类合数 也存在多占一点的可能 这会有无数多成的各类合数 也存在多占一点的可能 这会有无数多 一一 的可能 的可能 令人无法构建与欧拉函数匹配契合的函数 二是无法构建一个天衣无缝令人无法构建与欧拉函数匹配契合的函数 二是无法构建一个天衣无缝 的一 二次互素函数的统一的数模 因为在的一 二次互素函数的统一的数模 因为在 n P1P2 Pk中 行动素数中 行动素数 P1 P2 Pk在数模在数模 1 至至 n 中 它们的潜在起点均是中 它们的潜在起点均是 O 而终点是 而终点是 n 当二次行动素数 当二次行动素数 P2 P3 Pk 随机投入上述随机投入上述 1 至至 n 数模中时 数模中时 3 它们的潜在起点均在它们的潜在起点均在 O 之左侧 除非之左侧 除非 P 与与 P 重叠 潜在起点才在重叠 潜在起点才在 O 中 中 它们的它们的点即终点 必在点即终点 必在 n 之内 它们的之内 它们的 1 必在必在 n 之外 之外 21 P PPP k 21 P PPP k 这样看来 一 二次行动素数实在是无法共容于这样看来 一 二次行动素数实在是无法共容于 1 至至 n 数模之中 那么 数模之中 那么 有什么方法能让一 二次互素函数的统一的数模构建起来呢 方法是将有什么方法能让一 二次互素函数的统一的数模构建起来呢 方法是将 数轴弯曲成圆 用数轴弯曲成圆 用 P1P2 Pk圆和圆和 P1 P2 Pk 圆 双圆随机叠合 圆 双圆随机叠合 构建起了二次互素函数数模 构建起了二次互素函数数模 当当 n P1P2 Pk时 我们有圆时 我们有圆 A A 圆周有圆周有 P1P2 Pk个点 如下图个点 如下图 又将又将 P1 P2 Pk 随机投入随机投入 A 圆 令圆 令 2 与与 2 重叠 重叠 则有如下顺 溯数列则有如下顺 溯数列 4 1 2 3 4 5 6 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 2 x X x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 6 5 4 3 2 1 2 x 我们将我们将 P 2 P 3 P k随机投入数模随机投入数模 A 圆圆周边上时 它们与圆圆周边上时 它们与 P1 P2 Pk一样 都只能在一样 都只能在 A 圆数轴上占相同数量的点 各圆数轴上占相同数量的点 各 P 自身自身 之间的各类合数和诸之间的各类合数和诸 P 与诸与诸 P 除自身外的各素数构成的各类合数也与诸除自身外的各素数构成的各类合数也与诸 P 之间的各类合数一样占相同数量的点 始端早占之间的各类合数一样占相同数量的点 始端早占 1 尾端必失 尾端必失 1 下 下 面素数会合定理将给出证明 说诸面素数会合定理将给出证明 说诸 P 的随机投入 是因为它随的随机投入 是因为它随 X 之变之变 而变 它们实际是整体按序投入 因为它们随而变 它们实际是整体按序投入 因为它们随 X 而万般变化 我们视而万般变化 我们视 它们为随机投入 当然这是随机投入中的一种 其数值是一样的 这就它们为随机投入 当然这是随机投入中的一种 其数值是一样的 这就 是它的惊人 迷人 令人赞叹之处 我们将诸是它的惊人 迷人 令人赞叹之处 我们将诸 P 投入时排除它与投入时排除它与 P 的重的重 叠 但实际存在的折叠以表现 体现叠 但实际存在的折叠以表现 体现 X 时某些时某些 P 与与 P 重叠 我们顺其重叠 我们顺其 自然 它带来了有利值 自然 它带来了有利值 上页圆形图也可以看作是将上页圆形图也可以看作是将 A 圆倒置 随圆倒置 随 X 之变套在之变套在 A 圆上 圆上 2 与与 2 始终重叠 始终重叠 可以看出 诸 可以看出 诸 P 不可能在不可能在 A 圆周线上多占一个点 各类圆周线上多占一个点 各类 合数亦然 合数亦然 在此提一下在在此提一下在 AA 圆环上 诸圆环上 诸 P 自身之间 诸自身之间 诸 P 自身之间 以及诸自身之间 以及诸 P 与除自身外的诸与除自身外的诸 P 构成合数的素因子个数问题 构成合数的素因子个数问题 在在 AA 圆环上 素因的个数 包括能整除某数的素因子或在该数上圆环上 素因的个数 包括能整除某数的素因子或在该数上 留下足痕的素因子 它们总计起来 不会超过留下足痕的素因子 它们总计起来 不会超过 K 个素因子 个素因子 象象 P1P2 Pk P 4或或 P1P 2 P k t P 5这类数 只有在折叠时其中的这类数 只有在折叠时其中的 P 4与与 P4重叠 重叠 P 5与其中的与其中的 P5重叠才会出现 这并不意味着素因子的重叠才会出现 这并不意味着素因子的 5 增加 反而表明 该增加 反而表明 该 P 已经重叠而退出了第二次筛减 它促成的是有利已经重叠而退出了第二次筛减 它促成的是有利 于 于 1 1 个数增加的正量 个数增加的正量 至此 我们要弄清至此 我们要弄清 P 与除它自身外其他诸与除它自身外其他诸 P 构成合数的起点问题 即构成合数的起点问题 即 素数会合定理素数会合定理 设素数设素数 P i Pr为为 2 以上任意行动素数 且以上任意行动素数 且 Pi Pr PK 在数模首端 在数模首端 当当 Pi 随机投入 随机投入 Pi 与与 Pi不重叠 数模或数轴后不重叠 数模或数轴后 Pi 总是先于第一个总是先于第一个 PiPr 即在它们之前即在它们之前 与与 Pr会合 会合 Pi 最早会与数模首端第一个最早会与数模首端第一个 Pr会合 最会合 最 晚会与首端第 晚会与首端第 Pi 1 Pr会合 并必有下式及会合 并必有下式及 a1 a2 a3 0 总总 1 i P a 计计 Pi个余数 个余数 1 Pr 1 i a P 2 2 r i P a P 1 Pr 1 i i P i P a P 0 ri i PP P 上式中 有上式中 有 Pi个余数 不管它们顺序如何 它们必是个余数 不管它们顺序如何 它们必是 1 2 3 Pi 1 O 它们 它们 Pi 个余数各各不同 无一相等 个余数各各不同 无一相等 假设有两个余数相等 若假设有两个余数相等 若 d b Pi 这余数相等的两数的分子分别 这余数相等的两数的分子分别 为为 Pr b b Pr dPr d 则必有则必有 PrPrPr iii bdbd aa PPp 因为我们已假定因为我们已假定 a a 故上式应成立 则故上式应成立 则 应为正整数应为正整数 Prbd Pi 由于由于 d b b Pi 它们之差也应小于 它们之差也应小于 Pi 设其差为 设其差为 C 则必有 则必有 Pr C 为为 Pi整除 这个结论是悖谬的 因为整除 这个结论是悖谬的 因为 Pi与与 Pr 互素 也与小于它互素 也与小于它 们的任何正整数互素 在们的任何正整数互素 在 Pr C 的乘积中 根本没有的乘积中 根本没有 Pi的素因子 故的素因子 故 6 而悖谬 可见 它们的而悖谬 可见 它们的 Pi个余数 各不相等 必是个余数 各不相等 必是 1 2 3 Pi 1 0 这这样样 P i随随机机投投入入A圆圆周周数数轴轴后后 它它前前方方最最接接近近Pr的的第第一一个个点点距距Pr决决不不 是是a1 除除非非P i与与Pi重重叠叠 如如果果它它 最最接接近近Pr的的第第一一个个点点距距Pr的的距距离离为为 1 i P a 说明它前方第二个最接近说明它前方第二个最接近 Pr的点距的点距 Pr距离为零 它们在那个距离为零 它们在那个 Pr会合会合 了 而了 而 Pi要要到到它它前前方方第第Pi个个最最接接近近 距距离离小小于于Pi 的的Pr点点它它们们才才会会会会 合合 显显 然 在顺数列首端 然 在顺数列首端 P i与与 Pr会会合合 总是早于快于 总是早于快于 Pi与与 Pr构成合数 构成合数 那么 那么 P i在在 A 圆周线上与圆周线上与 Pr构成的合数会比构成的合数会比 Pi和和 Pr构成的合数多构成的合数多 一个吗 不会 因为一个吗 不会 因为 P iPr和和 PiPr同样整除同样整除 P1P2 Pk P iPr再快再早 再快再早 也多不出一个也多不出一个 PiPr之数 之数 我们已经证明我们已经证明 2 以上任意行动素数以上任意行动素数和和必在必在之前会合 那么 之前会合 那么 i P P i P P 若有若有 会在会在之前与之前与会合吗 回答是肯定的 会合吗 回答是肯定的 i P P v P i P i P P v P P v P 设素数设素数 为为 2 以上的任意行动素数 且以上的任意行动素数 且 i P P v P 则必有下式及 则必有下式及 a1 a2 a 1 0 总计总计个余数 个余数 i P P v P P v P P P 并假定当并假定当构成第一个合数时构成第一个合数时未落足于他们 如已落足是说明未落足于他们 如已落足是说明 P v P i P i P 已经先于已经先于已经会合了 已经会合了 P v P i P P v P a1 a2 a 1 0 p ppv 1 i p ppv 2 i p pppv 1 i P p pppv i 上式中 有上式中 有个余数 不管它们的顺序如何 它们必是个余数 不管它们的顺序如何 它们必是 P 1 2 3 0 它们 它们个余数各各不同 无一相等 假设个余数各各不同 无一相等 假设 1 p P 有两个余数相等 若有有两个余数相等 若有 d b 且 且 d b 这余数相等的两数的分子 这余数相等的两数的分子 P 分别为分别为 b d 则必有 则必有 v P i P v P i P p ppvb i a p ppvd i a p ppv d b i 7 因为我们已经假定因为我们已经假定 故上式应成立 且 故上式应成立 且 a a 应为正整数应为正整数 p ppv d b i 由于由于 b d 均小于均小于 它们之差也应小于 它们之差也应小于 设其差为 设其差为 c 则必有 则必有 P P c 为为整除 这个结论是悖谬的 因为整除 这个结论是悖谬的 因为与与 互素 也与小 互素 也与小 v P i P P i P P v P 于它的任何正整数互素 在于它的任何正整数互素 在 c 的乘积中 根本没有的乘积中 根本没有的素因子 的素因子 v P i P P 故而悖谬 可见 上式中它们的故而悖谬 可见 上式中它们的个余数各不相同 必是个余数各不相同 必是 P 1 2 3 0 1 p 在此一数模上 根据素数会合定理的第一个证明 在此一数模上 根据素数会合定理的第一个证明 必先于必先于 v P i P 而会合 函数首端而会合 函数首端前方第一个距离前方第一个距离的最近距离必不是的最近距离必不是 a1 最 最 v P i P P v P i P 近距离是指小于近距离是指小于的距离 的距离 因为 因为前方第一个距前方第一个距最近的距离才是最近的距离才是 P P v P i P a1 这是道理一 其二是 尽管 这是道理一 其二是 尽管中的中的并不能整除并不能整除共同落足的共同落足的 v P i P i P v P i P 那个数 但那个数 但在数轴上与在数轴上与组成的二合数 它们仍将以组成的二合数 它们仍将以同样的步幅同样的步幅 i P v P v P i P 穿行于数模的始终 穿行于数模的始终 此时距前方第一个此时距前方第一个的小于的小于的距离决不是的距离决不是 P v P i P P a1 除非 除非和和重叠 假定它是重叠 假定它是 a2 那意味着它将与前方第 那意味着它将与前方第个个 i P i P 1 p v P 点会合 由于第一个点会合 由于第一个在第一个在第一个之后 且之后 且还需前进才以小于还需前进才以小于 i P v P i P v P i P P 的距离靠近第一个的距离靠近第一个 靠近之后要到前方第 靠近之后要到前方第个个点它们才能会点它们才能会 P v P i P P v P i P 合 显然 合 显然 与与会合总是先于与会合总是先于与的会合 同一事物的另一个说的会合 同一事物的另一个说 P v P i P v P i P 法是法是总是先于总是先于与与会合 会合 i P i P P v P 依此类推 可证明诸四合 五合等等 带依此类推 可证明诸四合 五合等等 带之合数皆先于不带之合数皆先于不带的的 P P 合数而会合 合数而会合 由于由于 A 圆数模与圆数模与 A 圆数模是全等数环 它们互相间不管怎样移动位圆数模是全等数环 它们互相间不管怎样移动位 8 置 诸置 诸 P 都只能在都只能在 A 圆数环上留下它在圆数环上留下它在 A 圆环上相等的点 它与诸圆环上相等的点 它与诸 P 构成的各类合数也与它在构成的各类合数也与它在 A 圆上与诸圆上与诸 P 构成的合数一一对应相等 早构成的合数一一对应相等 早 合于首端 必失之于尾端 因此 我们有淑兰定理合于首端 必失之于尾端 因此 我们有淑兰定理 1 假使假使 n P1P2 Pk P1 P2 Pk都是素数 它们已经运行于都是素数 它们已经运行于 n 数模 对数模 对 n 圆形数模进行圆形数模进行 了筛减 而了筛减 而 Pk 1以上素数安坐不动 现在再将以上素数安坐不动 现在再将 P 4 P 5 P k随机随机 投入投入 n 圆形数环 让它们运行至数模终点 进行二次筛减 求取二次筛圆形数环 让它们运行至数模终点 进行二次筛减 求取二次筛 减后所剩互素数 则有减后所剩互素数 则有 1245 12345 45 111111111 n 1 1 1 1 1 1 PP kk k k H nB n P PPP PP PPPPPP P 证明证明 显然 显然 n B n P1 P2 PK 已经由欧拉完美地证 已经由欧拉完美地证 明了 我提出的是明了 我提出的是 H n B n P1 P2 Pk P 4 P 5 P K 我们将诸我们将诸 P 投入投入 A 圆圆环后它们落足的数并非是它们能整除的数 环后它们落足的数并非是它们能整除的数 除非除非 P 与与 P 重叠 我所探求的是重叠 我所探求的是 A 圆和圆和 A 圆随即叠合后一 二次行动圆随即叠合后一 二次行动 素数筛减数环所剩二次互素数的个数 而这个量 由素数筛减数环所剩二次互素数的个数 而这个量 由 A 圆环和圆环和 A 圆环圆环 提示和数理分析证明 是严密的 客观的 不可动摇地存在的 提示和数理分析证明 是严密的 客观的 不可动摇地存在的 它们表现如下式它们表现如下式 H n n 1 P n 2 P n 3 P n 4 P n 4 p n 5 P n 5 P n K P n KP n 21P P n 31P P n 54 PP n KK PP n 1 KK PP n 1 9 321 PPP n 541 PPP n 654 PPP n KKK PPP n 12 KKK PPP n 12 1 K 1 K K PPP n 21 21K PPP n 我们可以套用欧拉函数定理我们可以套用欧拉函数定理 1 定理 定理 2 的证明方法来证明 显然 所有的证明方法来证明 显然 所有 由由 1 至至 n 的正整数有的正整数有 n 个 不超过个 不超过 n 而且是而且是 P1的倍数的正整数有的倍数的正整数有个 个 1 P n 同样 不超过同样 不超过 n 而且是而且是 P2的倍数的正整数有的倍数的正整数有个个 不超过不超过 n 而且是而且是 PK 2 P n 的倍数的正整数有的倍数的正整数有个 同样 不超过个 同样 不超过 n 而且被而且被 P4 留下足痕的正整数留下足痕的正整数 K P n 有有个 不超过个 不超过 n 而且被而且被 P 5留下足痕的正整数有留下足痕的正整数有个个 不超过不超过 n 而而 4 P n 5 P n 且被且被 P k留下足痕的正整数有留下足痕的正整数有个 因此 为了要得到所求的二次互素个 因此 为了要得到所求的二次互素 k P n 数个数数个数 B n P1 P2 Pk P4 P 5 P K 我们需要构成差数 我们需要构成差数 n 1 P n 2 P n 3 P n 4 P n 4 P n 5 P n 5 P n K P n K P n 不过 这个式子还不等于所求的二次互素的个数不过 这个式子还不等于所求的二次互素的个数 B n P1 P2 PK P 4 P k 如某数同时是两个素数 如某数同时是两个素数 Pi和和 Pt的倍的倍 数或数或 中为一个所整除 一个留足痕会合的数目 我们不是算中为一个所整除 一个留足痕会合的数目 我们不是算 it PP it P P 了一次 而是算了两次 这意思是 我们还应当作一番修正 还应当补了一次 而是算了两次 这意思是 我们还应当作一番修正 还应当补 充以下式子充以下式子 1 2 1 3 1 4 1 51 14151 kk kk nnnnnnnn P PP PP PP PPP P PP PPP 显然显然 第二个式子表示那些乘积第二个式子表示那些乘积 P1P2的数即同时为的数即同时为 P1和和 P2的倍数且不的倍数且不 10 超过超过 n 的正整数的个数 以及表示那些既是的正整数的个数 以及表示那些既是 P1倍数又同时是倍数又同时是 P 4留下足留下足 痕的数且不超过痕的数且不超过 n 的正整数的个数 其余式子也具有类似的意义 的正整数的个数 其余式子也具有类似的意义 这样一来 经过所指出的修正以后 我们得出了下面式子 这样一来 经过所指出的修正以后 我们得出了下面式子 123441 23 43411 kkkkKK nnnnnnnnnnnn n PPPPPPPPPPPP PP pPP 但 我们这里还不能得到所求的个数 因为增加了补充项但 我们这里还不能得到所求的个数 因为增加了补充项 等时 我们把同时被三个素数所整除的或被两个素等时 我们把同时被三个素数所整除的或被两个素 4 14121 PP n PP n PP n 数整除又有另一个二次素数留下足痕的或被一个素数整除 又有另两个数整除又有另一个二次素数留下足痕的或被一个素数整除 又有另两个 二次素数留下足痕的数加回了三次 因此 为修正可能的错误 需要减二次素数留下足痕的数加回了三次 因此 为修正可能的错误 需要减 去 去 K K K KKK PPP n PPP n PPP n PPP n PPP n 1 2 12 4 21421321 依此类推进行类似的方法 我们加进最后的修正 依此类推进行类似的方法 我们加进最后的修正 1212 1 1 kk KK nn P PPPPP 加进这类修正后 我们实在已经除去了一切不超过加进这类修正后 我们实在已经除去了一切不超过 n 而且至少被素数而且至少被素数 P1 PK和 和 P 4 P 5 P k中的一个所除整或被诸中的一个所除整或被诸 P 一个或数个留下足一个或数个留下足 痕的正整数的个数 事实上 在一次互素函数即欧拉函数中 欧拉指出 痕的正整数的个数 事实上 在一次互素函数即欧拉函数中 欧拉指出 例如某一正整数 例如某一正整数 被被 s 个素数个素数 P1 P2 Ps中的每一个所整除 而中的每一个所整除 而ax 不被其余的素数不被其余的素数 Ps 1 Pk 在在 S K 时 所整除 因为时 所整除 因为 a 属于自然属于自然 数列区间数列区间 1 a x 中 所以在等式 中 所以在等式 1 右边的第一行中 右边的第一行中 a 被计算了被计算了 一次 因为一次 因为 a 被数目被数目 P1 P2 Ps每一个所整除 所以它在第二行中每一个所整除 所以它在第二行中 11 被计算了被计算了次 因为次 因为 a 是是 PiPj 1 i j s i j 的倍数 所以它在第三行的倍数 所以它在第三行 1 s C 中被算计了中被算计了次 依次类推 最后 因为次 依次类推 最后 因为 a 被乘积被乘积 P1P2 Ps所整所整 2 s C 除 所以它在第除 所以它在第 s 行中被计算了行中被计算了次 在等式 次 在等式 1 右边的以下几行中 右边的以下几行中 s s C 数目数目 a 已经不被计算到了 因为它只被已经不被计算到了 因为它只被 P1 Ps所整除 这样一来 所整除 这样一来 数目数目 a 在公式 在公式 1 中被计算了 中被计算了 12 1 1 s s sss CCC 1 1 0 s 次 即 即 a 点被筛去了 点被筛去了 然而对于二次互素函数来说 这个然而对于二次互素函数来说 这个 a a 点除可能集合了纯净的点除可能集合了纯净的 P1P2 Ps 及混合的及混合的等等 S 个因素外 还可以出现如下情个因素外 还可以出现如下情 12s P PP 1234S P P P PP 况 况 1 1 折折叠叠数数轴轴或或A A 圆圆和和 A A 圆圆随随机机叠叠合合以以表表现现 体体现现某某类类偶偶数数x x 的的 1 1 1 1 个个数数时时 包包含含P1P2 Ps 的这个的这个 a 点 同时被点 同时被所踏至 所踏至 12S P PP 即即与与完全重叠 这种现象我们前面曾经提到过 后面完全重叠 这种现象我们前面曾经提到过 后面 12S P PP 12S P PP 关于影响函数数值的大浪花的分析 该关于影响函数数值的大浪花的分析 该 a 或它倍数的偶数 或它倍数的偶数 1 1 个数 个数 会增多 后面会详叙 由于它属于函数外额外多出的有利于 会增多 后面会详叙 由于它属于函数外额外多出的有利于 1 1 增 增 多之数 我们知道它 一般会忽视它 也可以修正它 多之数 我们知道它 一般会忽视它 也可以修正它 2 会出现如 会出现如 等 如出现这种情况 也是二次互素函数定义之中 等 如出现这种情况 也是二次互素函数定义之中 1212sssk P PP P PP 只不过原只不过原 S 已经等于已经等于 K 罢了 其所筛数值结果仍是罢了 其所筛数值结果仍是 即排除虚筛之数 又确实筛掉 即排除虚筛之数 又确实筛掉 a 这这 12 1 1 1 1 0 sss sss CCC 次 个点 在二次互素函数中 除个点 在二次互素函数中 除 n 这个点会集合这个点会集合 K 个素因子之外 加上个素因子之外 加上 n 这个点总计会有这个点总计会有个集合着个集合着 K 个素因子的点 显然不含个素因子的点 显然不含 12 1 1 222 k 2 的的 S 个素数的纯个素数的纯 P 纯 纯混合混合 P 与与的的 S 个素因子的组合共有个素因子的组合共有P P 12 个 因为按照素数会合定 个 因为按照素数会合定 P 和和的的各各种种 K K 个个素素因因子子的的组组 12 222s P 合合 绝绝对对具具有有必必合合性性 所所有有带带的的 K K 个个素素因因子子的的会会合合数数它它们们均均在在n n 之之前前P 完完成成组组合合 它它们们会会分分布布在在1 1 至至 n n 数数抽抽或或数数模模上上不不同同的的地地方方 随随机机投投入入不不 同同 它它们们集集合合点点分分布布状状况况也也会会不不同同 我我们们在在按按公公式式计计算算时时 同同样样会会清清除除 一一切切虚虚筛筛之之数数 并并确确实实筛筛去去一一切切应应筛筛之之数数 保保留留一一切切应应保保留留之之数数 这这些些 应应保保留留之之数数就就是是不不为为P P1 1 P P2 2 P Pk k任任何何一一个个所所整整除除 又又不不曾曾被被P P 2 2 P P 3 3 P P k k 中 中任任何何一一个个所所踏踏至至的的数数 它它们们就就是是二二次次互互素素数数 另一方面 不被另一方面 不被 P1 P2 Pk整除又不被整除又不被 P 4 P 5 P k留足留足 的一些数目在第一项的一些数目在第一项 n 中被计算了一次 而在公式的其余各项中它们就中被计算了一次 而在公式的其余各项中它们就 没有被计算到 它们就是二次筛减后所剩的互素数 没有被计算到 它们就是二次筛减后所剩的互素数 因此 我们证明了公式的正确性 因而证明了定理 现在 根据淑因此 我们证明了公式的正确性 因而证明了定理 现在 根据淑 兰定理兰定理 1 我们不难用 我们不难用 n 以及以及 n 的行动素数的行动素数 P1 P2 Pk和和 n 的二次的二次 行动素数行动素数 P 4 P 5 P K来求出与这些行动素数互素的数的个数 来求出与这些行动素数互素的数的个数 例如 例如 2 3 5 7 11 23102 3 5 7 11 2310 显然显然 H H 23102310 2310 2310 360 360 2 1 3 2 5 4 7 5 11 9 我们用欧拉函数计算法 也是上面我们介绍的淑兰定理我们用欧拉函数计算法 也是上面我们介绍的淑兰定理 1 1 的计算方的计算方 法计算和验算它 法计算和验算它 H H 23102310 2310 2310 2 2310 3 2310 5 2310 7 2310 7 2310 11 2310 11 2310 13 231023102310231023102310 2 32 52 72 7 2 112 11 23102310231023102310 3 53 73 7 3 113 11 2310231023102310 5 75 7 5 115 11 2310231023102310 7 117 11 7 117 11 231023102310 2 3 52 3 72 3 23102310 7 2 3 112 3 11 2310231023102310 2 5 72 5 7 2 5 112 5 11 2310231023102310 2 7 112 7 11 2 7 112 7 11 2310231023102310 3 5 73 5 7 3 5 113 5 11 23102310231023 3 7 113 7 11 3 7 11 10 3 7 11 2310231023102310 5 7 115 7 11 5 7 115 7 11 2310231023102310 2 3 5 72 3 5 7 2 3 5 112 3 5 11 2310231023102310 2 3 7 112 3 7 11 2 3 7 112 3 7 11 231023102310 2 5 7 112 5 7 11 2 2310 5 7 112 5 7 11 2310231023102310 3 5 7 112 5 7 11 3 5 7 113 5 7 11 2310231023102310 2 3 5 7 112 3 5 7 11 2 3 5 7 112 3 5 7 11 2310 0 1155 5 770770 462462 330330 330330 210210 210210 385 231 165 165 105 105 154 110 110 70 70 66 66 42 42 385 231 165 165 105 105 154 110 110 70 70 66 66 42 42 30 30 30 30 30 30 30 30 7777 5555 5555 3535 3535 3333 3333 2121 2121 1515 1515 1515 1515 2222 2222 1414 1414 1010 1010 1010 1010 6 6 6 6 6 6 6 6 11 11 7 7 11 11 7 7 5 45 4 3 43 4 2 42 4 4 4 360 360 我们运用淑兰定理我们运用淑兰定理 1 1 做个数学游戏 如下二图 自左向右做个数学游戏 如下二图 自左向右 14 依次设依次设 7777 个空格 将个空格 将7 7 7 7 1111 11 11 随机投入空格中 让它运行 随机投入空格中 让它运行 不使不使 7 7 与与 7 7 1111 与与 11 11 重叠 所剩空格必为重叠 所剩空格必为 4545 7 7 11 11 7 711117 7 7 711 11 7 7 11117 77 7 11 11 7 7 11117 7 7 711 11 7 7 11117 7 7 7 7 7 11 11 11117 7 7 7 7 7 11 11 7 7 1111 7 7 7 711 11 1111 7 7 7 7 7 7 1111 7 7 11 11 7 77 7 11117 7 7 7 11 11 7 71111 7 7 7 7 11 11 7 7 11117 7 7 7 11 11 7 711117 7 7 7 11 11 7 7 11117 77 7 11 11 7 7 1111 7 7 7 711 11 7 7 用公式计算即为 用公式计算即为 H H 7777 B B 7777 7 7 1111 7 7 11 11 77 77 45 11 9 7 5 如果按先后顺序设定如果按先后顺序设定 10011001 个空格 将个空格 将 7 7 7 7 1111 11 11 1313 13 13 随机投入那随机投入那 10011001 空格中 使诸空格中 使诸 P P 不与诸不与诸 P P 重叠 那么 不管怎样投入 它们运行后所剩的空格均为重叠 那么 不管怎样投入 它们运行后所剩的空格均为 495495 它们绝对服从淑兰定理它们绝对服从淑兰定理 1 1 即即 H H 10011001 B B 10011001 7 7 1111 1313 7 7 11 11 13 13 15 1001 1001 495 13 11 11 9 7 5 这就是淑兰定理这就是淑兰定理 1 1 表述的行动素数运行规律和数量关系 它表述的行动素数运行规律和数量关系 它 以最简朴算式揭示了复杂万端的二次互素函数的真谛 已经制作以最简朴算式揭示了复杂万端的二次互素函数的真谛 已经制作 H H 10011001 运行数表 因过长不列入 运行数表 因过长不列入 三 淑兰定理三 淑兰定理 2 2 上面提到 用圆环数模消除一切多上面提到 用圆环数模消除一切多 一一 的可能 现在说说造的可能 现在说说造 成成的偶数 的偶数 1 11 1 个数向上较大幅度波动的两条龙 个数向上较大幅度波动的两条龙 3 3 和和 5 5 当然 当然 7 15 还有还有 K 3K 3 个间歇出现的促成一些偶数 个间歇出现的促成一些偶数 1 11 1 个数上升的变量 个数上升的变量 我们将自然数从我们将自然数从 1 1 至无穷大 排成至无穷大 排成 3030 列纵对 如下图 列纵对 如下图 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 0 0 1 11 1 1 12 2 1 13 3 1 14 4 1 15 5 1 16 6 1 17 7 1 18 8 1 19 9 2 20 0 2 21 1 2 22 2 2 23 3 2 24 4 2 25 5 2 26 6 2 27 7 2 28 8 2 29 9 3 30 0 3 31 1 3 32 2 3 33 3 3 34 4 3 35 5 3 36 6 3 37 7 3 38 8 3 39 9 4 40 0 4 41 1 4 42 2 4 43 3 4 44 4 4 45 5 4 46 6 4 47 7 4 48 8 4 49 9 5 50 0 5 51 1 5 52 2 5 53 3 5 54 4 5 55 5 5 56 6 5 57 7 5 58 8 5 59 9 6 60 0 6 61 1 6 62 2 6 63 3 6 64 4 6 65 5 6 66 6 6 67 7 6 68 8 6 69 9 7 70 0 7 71 1 7 72 2 7 73 3 7 74 4 7 75 5 7 76 6 7 77 7 7 78 8 7 79 9 8 80 0 8 81 1 8 82 2 8 83 3 8 84 4 8 85 5 8 86 6 8 87 7 5 58 8 8 89 9 9 90 0 细看上表可以知道 除了 细看上表可以知道 除了 2 2 3 3 5 5 三个素数外 其他所有素数皆产三个素数外 其他所有素数皆产 生于上表的生于上表的 1 1 7 7 1111 1313 1717 1919 2323 2929 八列之中 我们并发现八列之中 我们并发现 3 3 和和 5 5 有个特性 它处于哪一列 它就会从它起步开始至无穷大 将该列有个特性 它处于哪一列 它就会从它起步开始至无穷大 将该列 全部全部变为合数 在自然数中 全部全部变为合数 在自然数中 2 2 3 3 5 5 绝不会上其中产生素数的八绝不会上其中产生素数的八 列 然而 如果折叠数抽来计算偶数列 然而 如果折叠数抽来计算偶数 X X 的正整数之和 不同的偶数会要的正整数之和 不同的偶数会要 求不同列的奇数捉对相加表现该偶数 含求不同列的奇数捉对相加表现该偶数 含 3 3 5 5 素因子的列与含素因子的列与含 3 3 5 5 素素 因子的列相加 因子的列相加 3 3 与与5 5 会出现部分重叠或全整重叠 凡会出现部分重叠或全整重叠 凡 30i i 1 2 3 30i i 1 2 3 偶偶 16 数 数 3 3 与与5 5 全部重叠 这类偶数 全部重叠 这类偶数 1 11 1 个数就多 个数就多 30i 230i 2 4 4 8 8 1414 1616 2222 2626 2828 族偶数 族偶数 3 3 和和 5 5所所在在 的的n n的的数数列列 即即 3 3 5 5 9 9 1 15 5 2 25 5 2 21 1 2 27 7列列 有有 5 5 列与产生素数的列与产生素数的 8 8 列当中的列当中的 5 5 列捉对表列捉对表 现这族偶数 它们使产生素数的八列中的现这族偶数 它们使产生素数的八列中的 5 5 列全部作废不能构成 列全部作废不能构成 1 11 1 所以这族偶数 所以这族偶数 1 11 1 个数会少 若取 个数会少 若取 6060 以上四类偶数各试一下 参阅以上四类偶数各试一下 参阅 上表 此后本文的叙述就会一览全明白 上表 此后本文的叙述就会一览全明白 下面详细列出各族类偶数能得到 下面详细列出各族类偶数能得到 1 11 1 个数的有效配对数列 个数的有效配对数列 30i 130i 1 列列 29 29 列列 7 7 列列 23 23 列列 1111 列列 19 19 列列 1313 列列 17 17 列列 30i 2 130i 2 1 列列 1 1 列列 1313 列列 19 19 列列 30i 4 1130i 4 11 列列 23 23 列列 1717 列列 17 17 列列 30i 6 730i 6 7 列列 29 29 列列 1313 列列 23 23 列列 1717 列列 19 19 列列 30i 8 130i 8 1 列列 7 7 列列 1919 列列 19 19 列列 30i 10 1130i 10 11 列列 29 29 列列 1717 列列 23 23 列列 30i 12 130i 12 1 列列 11 11 列列 1313 列列 29 29 列列 1919 列列 23 23 列列 30i 14 130i 14 1 列列 13 13 列列 7 7 列列 7 7 列列 30i 16 1730i 16 17 列列 29 29 列列 2323 列列 23 23 列列 30i 18 130i 18 1 列列 17 17 列列 7 7 列列 11 11 列列 1919 列列 29 29 列列 30i 20 730i 20 7 列列 13 13 列列 1 1 列列 19 19 列列 30i 22 1130i 22 11 列列 11 11 列列 2323 列列 29 29 列列 30i 24 130i 24 1 列列 23 23 列列 1111 列列 13 13 列列 7 7 列列 17 17 列列 30i 26 730i 26 7 列列 19 19 列列 1313 列列 13 13 列列 30i 28 1130i 28 11 列列 17 17 列列 2929 列列 29 29 列列 17 因为其他列皆与合数列相配 而因为其他列皆与合数列相配 而 3 3 列 列 5 5 列各只有列各只有 1 1 个素数 故个素数 故 未列入 当然 未列入 当然 3 3 也会在许多偶数中构成一个 也会在许多偶数中构成一个 1 11 1 我们忽略它们 我们忽略它们 为了一目了然 试看为了一目了然 试看 180180 这个偶数 这个偶数 180 1 179180 1 179 7 1737 173 11 16911 169 13 16713 167 31 14931 149 37 14337 143 41 13941 139 43 13743 137 61 11961 119 67 11367 113 71 10971 109 73 10773 107 91 8991 89 97 8397 83 101 79101 79 103 77103 77 121 59121 59 127 53127 53 131 49131 49 133 47133 47 151 29151 29 157 23157 23 161 19161 19 163 17163 17 对于对于 3i 23i 2 这类偶数而言 必是一列自身从中点折叠相加 再是十这类偶数而言 必是一列自身从中点折叠相加 再是十 九列与十三列互倒相加 其余七 十一 十七 二十三 二十九列皆与九列与十三列互倒相加 其余七 十一 十七 二十三 二十九列皆与 合数列相加而无 合数列相加而无 1 11 1 只有 只有 3 3 配二十九列某数可能有效 如配二十九列某数可能有效 如 182 13 169182 13 169 1 1811 181 3 1793 179 43 13943 139 31 15131 151 73 10973 109 61 12161 121 103 79103 79 91 9191 91 133 49133 49 163 19163 19 我因此得到了四组系数 我因此得到了四组系数 30i 230i 2 4 4 8 8 1414 1616 2222 2626 2828 的系数是的系数是 1 1 30i 1030i 10 2020 的系数是的系数是或或 3 4 3 41 3 A 30i 630i 6 1212 1818 2424 的系数是的系数是 2 2 或或 3 6 3 6 18 30i30i 的系数是的系数是或或 3 8 3 82 6 i 1 2 3 i