[理学]ch8：机械振动.ppt

Chapter8机械振动与波动 8 1 1简谐振动方程 定义 特点 1 等幅无耗振动 2 固定周期运动 8 1简谐振动 x是位移量 广义 实例 1 简谐振动的力学特征 谐振子 单摆等 投影式 特点 线性恢复力 指向平衡位置 阻碍位移增加 例 2 动力学方程 动力学方程 圆频率 说明 间谐振动的圆频率由振动系统特性决定 固有圆频率 3 速度和加速度 其中 说明 说明加速度相位超前速度相位 2 超前位移相位 由 1 简谐振动的速度 加速度广义上也是简谐振动 2 简谐振动的位移 速度 加速度圆频率相同 但不同步 8 1 2谐振动的振幅 周期 频率和相位 1 振幅A 反映振动的最大位移及振动的能量大小 2 圆频率和周期T 3 相位 1 t 是t时刻的相位 2 是t 0时刻的相位 初相 间谐振动时 系统的实际振动周期为其固有周期 圆频率反映振动相位 振动状态 的变化速率 讨论 系统的固有振动周期 相位确定了振动的状态 相位在2 范围内变化 状态不重复 相位周期 t x O A A 2 相位差 同频振动时 当 A1 两振动步调相同 称同相 两振动步调相反 称反相 当 4 振幅及初相位的确定 当 2 1 0 则称x2比x1超前 或x1比x2落后 由初位移和初速度确定初相位 由 利用振动图求初相位 结论 当初位移大于零时 初相角取锐角 初位移小于零时 初相角取钝角 当初速度大于零时 初相角取负值 初速度小于零时 初相角取正值 由 例1一物体沿X轴作简谐振动 振幅为0 12m 周期为2s 当t 0时 位移为0 06m 且向X轴正方向运动 已知t 0时 A 0 12m x0 0 06m 所以 v0 0 解 1 设其简谐振动方程为 1 初相 2 求从x 0 06m处 且向X轴负向方向运动回到平衡点所需的最短时间 求 2 将x 0 06m x 0分别代入已得的简谐振动方程中有 v 0 v 0 8 1 3简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例 1 动能 2 势能 3 机械能 简谐振动系统机械能守恒 说明 动能和势能周期性变化 其相位周期为 周期为T 2 动能和势能变化不同步 相位上相差 2 时间上相差T 4 8 1 4谐振动旋转矢量表示法 t o x x t t 0 v a 旋转矢量在x轴上的投影值表示简谐振动 物理意义 1 使相位的变化更加直观 2 更能洞察圆频率意义 旋转矢量 旋转矢量 3 便于振动的合成 例 由图可知 求 一物体沿X轴作简谐振动 振幅为0 12m 周期为2s 当t 0时 位移为0 06m 且向x轴正方向运动 2 在x 0 06m处 且向x轴负向方向运动时 物体从这一位置回到平衡位置所需的最短时间 1 初相 由图可知 1 图 解 2 图 8 2谐振动的合成 8 2 1同方向同频率谐振动的合成 1 分振动 2 合振动 结论 合振动x仍是同频率的简谐振动 旋转矢量法处理两个同向 同频谐振动的合成 1 分振动 2 合振动 合成 讨论 1 若两分振动同相 即 2 1 2k k 0 1 2 2 若两分振动反相 即 2 1 2k 1 k 0 1 2 当A1 A2时 A 0 则A A1 A2 两分振动相互加强 则A A1 A2 两分振动相互减弱 当A1 A2时 A 2A1 旋转矢量法处理多个同向同频 等幅等相差的谐振动的合成 A1 AN R N A A1 AN R N A 1 合振振幅及初相位取决于分振动数目及彼此间的相位差 讨论 2 当 2k k 1 2 A NA1 3 当 2k N K 1 2 3 N 1 N 1 A 0 合振动不是简谐振动 式中 随t缓变 随t快变 合振动可看作振幅缓变的简谐振动 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动 当 2 1时 拍 合振动忽强忽弱的现象 拍频 单位时间内强弱变化的次数 2 1 8 2 2两个相互垂直谐振动的合成利萨如图 1 分振动 2 合运动 当 2 1 k k为整数 时 椭圆运动退化为直线运动 x y 该运动仍然是简谐振动 由 当 2k 1 2 2k 3 2 k为整数 2k 1 2 2k 3 2 说明 运动轨迹相同 谐振子旋转方向不同 2 3 2 t 1 0时 t 1 0 时 2 3 2 0 第一象限 2 3 2 第二象限 第三象限 第四象限 合成 TheoremandexperimentshowthatthesuperpositionresultformsLisajou sfigure 李莎茹图形 8 3振动相图 1 相平面与相空间 速度是时间的函数 某一时刻的速度 速度是位置的函数 某一点的速度 例 简谐振动 时间函数 坐标函数 定义 由时间和速度为坐标轴构成的空间称状态空间 状态空间的曲线为运动状态曲线 由位置和速度为坐标轴构成的空间称相空间 相空间的曲线为相图 1 简谐振动相图 由 2 相图 谐振相图的信息 A 椭园面积越大 振动系统能量越大 椭园的封闭性表明了振动的周期性 交点说明有两个最大位移和两个最大速度 A V 坐标原点对应与平衡位置 曲线不经过原点说明谐振动能量不会为零 中心 X 混沌现象 当有人问你 宇宙诞生之初 世界是什么样子 你可能给出的答案是 混沌 二字 混乱而说不清 也许那时的世界就是一个混沌世界 在学习了牛顿力学后 往往会使我们产生这样一种信念 宏观物体的机械运动规律总是受到牛顿力学的支配 当初始条件给定后 物体以后的运动情况就完全决定了 并且可以预测出确定的结果 而不可预测的混沌现象是不可能出现的 地确 许多事例使我们对运动现象中决定论的可预测性深信不疑 1957年哈雷彗星在预定的时间回归 1864年海王星在在预言的方位上被发现 当今日日食和月食的准确预测 宇宙探测器的成功发射与轨道设计 都惊人的证明了这一点 难怪当初法国伟大的数学家拉普拉斯曾经 夸下海口 给定宇宙的初始条件 我们就能预测宇宙的未来 但是 这种传统的思想观念在20世纪60年代遇到了严重的挑战 人们发现 牛顿力学显示出的决定论的可预测性只适应线性系统 对于受力较为复杂的非线性系统 情况就不同了 结果难以预测 运动处于混沌 19世纪末 法国伟大的数学家庞加莱研究了三个星体在相互引力作用下运动 他列出了一组非线性常微分方程 研究的结论是这种方程没有解析解 此系统的轨道非常杂乱 下面的一个实验 更能帮助你了解混沌现象 如图所示 首先让弹簧振子在框架的作用下做受迫振动 这是一个线性振动系统 经过一段时间 振动的周期及振幅处于稳定 下来在把振动条件改变一下 用刚砧撞击弹簧振子使其发生非线性振动 如图 这时振动情况变的十分复杂起来 用记录笔记录的结果显示振动轨迹十分混乱 而且初始条件稍有变化 结果混乱暂且不说 而且结果差异很大 上述实验说明 在非线性系统中 结果和可预测性之间的联系被切断了 结果是必然的 但同时又不可预测的 混沌就是决定论的混乱 在非线性系统中 对初始值的极端敏感是混沌运动的普遍特征 初始值的微小差别会随着时间推移指数式的放大而导致结果巨大的差别 而初始值在在任一实验中是不可能完全精确的给定 因而进程就更加不能预测了 60年代初 美国气象学家洛伦茨借助计算机来研究大气对流对天气的影响 他在某一初值的设定下算出了一系列气候演变 气候演变的数据 当他再次考察一系列更长期气候演变时 将机内存储的16位小数0 506127 按3位小数0 506输入 计算的结果大大的出乎所料 他很快意识到这是不到千分之一的初始值误差带来的结果 他断言 由于非线性系统对初始值非线性的指数式放大 长期的天气预报是不可能 在自然界中 线性系统只占很小一部分 因而牛顿力学所处理的问题对整个自然界来说并不典型 我们面对的自然界是决定与混乱并存 1994年7月苏梅克 列维9号彗星撞上木星这种罕见的太空奇观可能就是混沌运动的结果 有人曾提出 在6500万年前 有一颗小行星在混沌运动中脱离了原有的轨道撞上地球 引起了气候的巨变 植物的死亡 恐龙的灭绝 混沌 往往使人想到灾难 然而 自然界正是利用混沌来对抗不可预测的环境 利用无序的突变产生出各种各样的生命形式来适应自然选择的需要 可以说 生物进化就是具有反馈性质的混沌 当今 对混沌的研究具有十分重要的意义 2 横波与纵波 体变 介质体积的变化 D d F F 横波 纵波 8 4机械波的产生与传播 条件 振源 波源 弹性介质 1 波的产生 横波与纵波与介质产生的应变形式有关 介质应变 切变 垂直于传播方向横截面形状的变化 线变 沿波传播方向长度的变化 变化是指弹性变化 介质能够产生的切变 固体 传播横波 介质能够产生的线变 传播纵波 介质能够产生的体变 传播纵波 固体 固 液 气 波速由介质性质 密度 温度 应变系数等 决定 3描述波动的物理量 1 波速 波动传播的速度 例 均匀细棒中 纵波的波速为 F S 线应力 l l 线应变 F 例 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为 T T 波速 相速 相位传播速度振动状态传播速度 波速反映能量传播的速度 两个相位差为2 的质点之间的距离 即波源作一次完全振动 波前进的距离 波前进一个波长距离所需的时间 2 波长 3 周期T 波的周期等于波源的振动周期 波长与波速成正比 随介质变化 波的的周期由波源决定 与介质无关 单位时间内 波前进距离中完整波的数目 4 频率 在波传播过程中 任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面 5 波面 平面波 球面波 波面 球面波 柱面波 波面 频率与周期的关系为 沿波的传播方向作的有方向的线 波线 波线 规定相邻两波面的距离为 或相位差2 6 波线 7 波前 在某一时刻 波传播到的最前面的波面 x y z 在各向同性均匀媒质中 波线 波面 波振面 波前 波面为平面 4 平面简谐波的波动方程 简谐波不考虑能量吸收问题 1 平面简谐波 平面简谐波 2 特点 简谐波是一种最简单 最基本的 理想化的波动传播形式 各质点作同频率 等振幅的简谐振动 研究简谐波是研究更复杂波的基础 3 平面简谐波的波函数 波函数 表达波形的数学函数 波动 y x x P 原点 t时刻的振动状态 O x点 注意 波函数应是坐标与时间两个变量函数 在t x u时刻的振动状态 在t时刻的振动状态 t x u时刻的振动状态 当波沿X方向传播时 y x点t时刻的位移 当波沿X正方向传播时 同理 若波沿轴负向传播时 其它形式 所以 若波沿轴正向传播时 式中负号对应于正向传播 加号对应于负向传播 由波函数可知波的传播过程中任意两质点x1和x2振动的相位差为 说明沿传播方向振动相位逐点滞后 讨论 5波函数的物理意义 1 振动状态的空间周期性 说明波线上振动状态的空间周期性 2 波形传播的时间周期性 说明波形传播的时间周期性 t1时刻的波形 O y x 4 t给定 y y x 表示t时刻的波形图 5 X和t都在变化 表明波形传播和时空周期性 3 x给定 y y t 是x处振动方程 t1 t时刻的波形 波形 一平面简谐波沿x轴正方向传播 已知其波函数为 比较法 与标准形式比较 标准形式 波函数为 比较可得 例 解 1 波的振幅 波长 周期及波速 2 质点振动的最大速度 同学课堂练习 求 a 振幅 波长 周期 波速 2 b 分析法 由各量物理意义 分析相位关系 如图 试求 3 若u沿x轴负向 以上两种情况又如何 例 1 波动方程 2 原点的振动方程 o A u 40m s A点的振动方程为 在x轴上任取一点P 坐标为x 解 5 在不同给定条件下波动方程的建立 1 由某点的简谐振动建立波函数 波动方程 A点的振动态经 即A点t t振动同于P点t时刻的振动 传到P点 3 负向传播时 原点振动方程 波函数为 2 由振动图建立波函数 例 一平面简谐波 波长为12m 沿X轴负方向运动 图示为x 1 0m质点振动曲线 求该平面波的波动方程 解 此波的波动方程可表示为 2 令x 0得到原点的振动方程 由图可得 所以有 因V0 0 所以有 3 由波形图建立波函数 例 图示表示平面简谐波在t 0时的波形图 设此简谐波的频率为250HZ 求波动方程 解 由波形图P点的运动方向可知此波沿X轴负方向传播 所以 波动方程可表示为 6 平面波的波动微分方程 由 知 2 不仅适用于机械波 也广泛地适用于电磁波等 1 上式是一切平面波所满足的微分方程 正 反传播 3 波在三维空间中以波的形式传播 波动方程为 说明 8 5波动的特征 1 波传播的独立性 2 叠加原理 当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开时 仍保持它们各自原有的频率 波长 振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进 在波相遇区域内 任一质点的振动 为各波单独存在时所引起的振动的合振动 v1 v2 注意 波的叠加原理仅适用于线性波的问题 独立性 叠加 3 干涉现象 相干波 相干条件 频率相同 振动方向相同 相位差恒定 在两波交叠的区域 由叠加产生波强在空间上强弱相间呈现出具有周期性的稳定分布 干涉 S1 S2 P P 根据叠加原理可知 P点处振动方程为 其中 非相干波源 振源间的相位差 由几何路程引入的相位差 说明 非相干叠加在叠加区波强不随位置变化 当 干涉相长 当 干涉相消 相干叠加在叠加区波强随空间位置而变化 介于强弱之间 1 知某一时刻波前 可用几何方法决定下一时刻波前 说明 R1 R2 S1 S2 O 4 衍射现象 惠更斯提出 1 行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源 3 各个子波所形成的包络面 就是的新波面 2 所有子波源不断的向外发出子波 波通过障碍物到达几何阴影区继续传播的现象 衍射 A B为两相干波源 距离为30m 振幅相同 相同 B A波源的初相差为 u 400m s f 100Hz 例 A B连线上因干涉而静止的各点位置 求 解 B A 30m P在A左侧 P在B右侧 r1 r2