第十二章 量子力学基础.ppt

早期量子论 量子力学 相对论量子力学 普朗克 能量量子化假说爱因斯坦 光子假说康普顿效应玻尔 氢原子理论 德布罗意实物粒子波粒二象性薛定谔方程波恩的物质波统计解释海森伯的测不准关系 狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合 量子力学是建立在物质波基础上的描述微观粒子运动规律的理论 物体在任何温度下都向外辐射电磁波的现象 热辐射 12 1黑体辐射 平衡热辐射 物体具有稳定温度 发射电磁辐射能量 吸收电磁辐射能量 相等 一 黑体 黑体辐射 第十二章 量子力学基础 如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射 这种物体称为黑体 黑体模型用不透明的材料制成带一开口的大空腔 黑体 当给空腔加热时 由小孔发出的辐射就是黑体辐射 单位时间物体单位表面积发射的各种波长的总辐射能 单色辐出度 单位时间内 从物体表面单位面积上发出的 波长在 附近单位波长间隔内的辐射能 辐射出射度 辐出度 反映了物体在不同温度下辐射能按波长分布的情况 绝对黑体的单色辐出度按波长分布曲线 0123456 1700K 1500K 1300K 1100K 二 斯忒藩 Stefan 玻尔兹曼定律维恩 Wien 位移定律 每条曲线下的面积等于绝对黑体在一定温度下的辐射出射度 斯忒藩常数 1 斯忒藩 Stefan 玻尔兹曼定律 维恩位移定律 维恩位移定律指出 当绝对黑体的温度升高时 单色辐出度最大值向短波方向移动 2 维恩 Wien 位移定律 例假设太阳表面的特性和黑体等效 测得太阳 表面单色辐出度的最大值所对应的波长为465nm 试估计太阳表面的温度和单位面积上的辐射功率 解 三 普朗克的量子假说普朗克公式 瑞利 Rayleigh 金斯 Jeans 经验公式 维恩 Wien 经验公式 问题 如何从理论上找到符合实验的函数式 1 经典理论的困难 o 1235689 4 7 实验值 o 1235689 4 7 实验值 维恩 o 1235689 4 7 实验值 瑞利 金斯 o 1235689 4 7 实验值 维恩 瑞利 金斯 暴露出经典物理学的缺陷 2 普朗克量子假说 能量子假说 1 组成黑体壁的分子 原子可看作是带电的线性谐振子 可以吸收和辐射电磁波 我试图将h 纳入经典理论的范围 但一切这样的尝试都失败了 这个量非常顽固 后来他又说 在好几年内我花费了很大的劳动 徒劳地去尝试如何将作用量子引入到经典理论中去 我的一些同事把这看成是悲剧 但我有自已的看法 因为我从这种深入剖析中获得了极大的好处 起初我只是倾向于认为 而现在是确切地知道作用量子将在物理中发挥出巨大作用 量子假设标志着人类对自然的认识进入到微观领域事实上正是这一理论导致了量子力学的诞生 普朗克也成为了量子力学的开山鼻祖 1918年因此而获得诺贝尔奖 振子在辐射或吸收能量时 从一个状态跃迁到另一个状态 在能量子假说基础上 普朗克得到了黑体辐射公式 这一公式称为普朗克公式 它和实验符合得很好 c 光速 k 玻尔兹曼恒量 e 自然对数的底 o M V 普朗克研究辐射的量子理论 发现基本量子 提出能量量子化的假设 1918诺贝尔物理学奖 一 光电效应的实验规律 光电效应光照射到金属表面时 有电子从金属表面逸出的现象 光电子逸出的电子 光电子由K飞向A 回路中形成光电流 12 2光电效应光的波粒二象性 光电效应伏安特性曲线 1 单位时间内从阴极逸出的光电子数与入射光的强度成正比 2 存在遏止电势差 使光电流为零时所加的反向电压 实验指出 遏止电压 光电子的最大初动能 和入射光频率有线性关系 即 结论 光电子初动能和入射光频率成正比 与入射光光强无关 3 存在截止频率 红限 对于给定的金属 当照射光频率小于某一数值 称为红限 时 无论照射光多强都不会产生光电效应 结论 光电效应的产生几乎无需时间的累积 因为初动能大于零 因而产生光电效应的条件是 称为红限 截止频率 4 光电效应瞬时响应性质 实验发现 无论光强如何微弱 从光照射到光电子出现只需要的时间 W为金属表面的逸出功 1 按经典理论光电子的初动能应决定于入射光的光强 而不决定于光的频率 经典电磁波理论的缺陷 3 无法解释光电效应的产生几乎无须时间的积累 2 无法解释红限的存在 二 光量子 光子 爱因斯坦方程 爱因斯坦光电效应方程 爱因斯坦光子假说 3 从方程可以看出光电子初动能和照射光的频率成线性关系 爱因斯坦对光电效应的解释 2 电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出 所以无须时间的累积 1 光强大 光子数多 释放的光电子也多 所以光电流也大 4 从光电效应方程中 当初动能为零时 可得到红限频率 因为 由于光子速度恒为c 所以光子的 静止质量 为零 光子质量 光子的动量 光子能量 三 光的波粒二象性 1922 1933年间康普顿 A H Compton 观察X射线通过物质散射时 发现散射的波长发生变化的现象 1927诺贝尔物理学奖 12 3康普顿效应 康普顿实验装置示意图 调节A对R的方位 可使不同方向的散射线进入光谱仪 康普顿实验指出 改变波长的散射 康普顿散射 康普顿效应 2 当散射角 增加时 波长改变也随着增加 1 散射光中除了和入射光波长相同的射线之外 还出现一种波长大于的新的射线 3 在同一散射角下 所有散射物质的波长改变都相同 石墨的康普顿效应 0 O a b c d o 相 对 强 度 A 0 700 0 750 波长 石墨的康普顿效应 0 45 O O a b c d 相 对 强 度 A 0 700 0 750 波长 石墨的康普顿效应 0 45 90 O O O a b c d 相 对 强 度 A 0 700 0 750 波长 石墨的康普顿效应 0 45 90 135 O O O O a b c d o A 0 700 0 750 波长 波长改变随散射角增大而增加 经典电磁理论在解释康普顿效应时遇到的困难 根据经典电磁波理论 当电磁波通过散射物质时 物质中带电粒子将作受迫振动 其频率等于入射光频率 所以它所发射的散射光频率应等于入射光频率 无法解释波长改变和散射角的关系 光子理论对康普顿效应的解释 光子理论认为康普顿效应是高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果 具体解释如下 若光子和散射物外层电子 相当于自由电子 相碰撞 光子有一部分能量传给电子 散射光子的能量减少 因此波长变长 频率变低 若光子和被原子核束缚很紧的内层电子相碰撞时 就相当于和整个原子相碰撞 由于光子质量远小于原子质量 碰撞过程中光子传递给原子的能量很少 碰撞前后光子能量几乎不变 故在散射光中仍然保留有波长 0的成分 因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关 所以波长改变和散射角有关 康普顿效应的定量分析 1 碰撞前 2 碰撞后 3 动量守恒 光子在自由电子上的散射 由能量守恒 由动量守恒 能量守恒 动量守恒 最后得到 康普顿散射公式 此式说明 波长改变与散射物质无关 仅决定于散射角 波长改变随散射角增大而增加 由能量守恒 由动量守恒 电子的康普顿波长 其值为 我国物理学家吴有训在与康普顿共同研究中还发现 随着原子序数的增加 波长不变的散度增加 而波长改变的散射强度减少 这是因为当原子序数增加时 内层电子数相对增加 而外层电子数相对减少 思考题 波长为0 05nm的X射线与自由电子碰撞 在与入射线60 方向观察散射的X射线 求 1 散射X射线的波长 2 反冲电子的动能 解 1 由康普顿效应公式得 故散射X射线的波长为 2 由能量守恒 反冲电子的动能为 12 4氢原子的玻尔理论 一 氢原子光谱的规律性 谱线是线状分立的 光谱公式 R 4 B里德伯常数1 0967758 107m 1 巴耳末公式 广义巴耳末公式 1 氢原子光谱是分立的线状光谱 各条谱线具有确定的波长 2 每一谱线的波数可用两个光谱项之差表示 3 前项保持定值 后项改变 就给出同一谱线系的各条谱线的波长 4 改变前项 就给出不同的谱系 n k 1 2 3 结论 氢原子光谱规律如下 原子不再是物质组成的最小单位 二 经典原子模型的困难 1 卢瑟福原子模型 2 经典理论的困难 注意 经典理论解释不了H原子光谱 按1911年卢瑟福提出的原子的行星模型 电子绕原子核 10 12m 高速旋转 对此经典物理势必得出如下结论 1 原子是 短命 的 电子绕核运动是加速运动必向外辐射能量 电子轨道半径越来越小 直到掉到原子核与正电荷中和 这个过程时间 10 10秒 因此不可能有稳定的原子存在 2 原子光谱是连续光谱 因电磁波频率 r 3 2 半径的连续变化 必导致产生连续光谱 三 玻尔的氢原子理论 玻尔理论的基本假设 1 定态假设 原子系统存在一系列不连续的能量状态 处于这些状态的原子中的电子只能在一定的轨道上绕核作圆周运动 不辐射能量也不吸收能量 这些状态为原子的稳定状态 简称定态 相应的能量只能是不连续的值E1 E2 E3 2 频率假设 当原子从一个较大的能量En的稳定状态跃迁到另一较低能量Ek的稳定状态时 原子辐射一个光子 光子的频率 反之 当原子在较低能量Ek的稳定状态时 吸收了一个能量为h 的光子 则可跃迁到较大能量En的稳定状态 3 轨道角动量量子化假设 其中n为正整数 称为轨道量子数 原子中电子绕核运动的轨道角动量只能取h 2 的整数 1 电子轨道半径的量子化 n 1 2 3 4 结论 电子轨道是量子化的 玻尔氢原子理论 n 1 2 3 4 注意 n 1的轨道r1称为玻尔半径 量子数为n的轨道半径 2 能量量子化和原子能级 n 1 2 3 4 结论 能量是量子化的 注意 这种不连续的能量称为能级 n 1 n 1的各定态称为受激态 当n 1时为氢原子的最低能级 称为基态能级 称为电离态 氢原子从基态变成电离态所需的氢原子的电离能为 当n 1时 称为基态 3 导出里德伯常数 将En代入频率条件 与里德伯公式对照 计算值 里德伯常数 实验值 玻尔理论的成功与局限 成功 解释了H光谱 尔后有人推广到类H原子 也获得成功 只要将电量换成Ze Z为原序数 他的定态跃迁的思想至今仍是正确的 并且它是导致新理论的跳板 1922年获诺贝尔奖 局限 只能解释H及类H原子 也解释不了原子的精细结构 原因 它是半经典半量子理论的产物 还应用了经典物理的轨道和坐标的概念 1 把电子看作是一经典粒子 推导中应用了牛顿定律 使用了轨道的概念 所以玻尔理论不是彻底的量子论 2 角动量量子化的假设以及电子在稳定轨道上运动时不辐射电磁波的是十分生硬的 3 不能预言光谱线的强度 他是卢瑟福的学生 在其影响下具有严谨的科学态度 勤奋好学 平易近人 后来很多的科学家都纷纷来到他身边工作 当有人问他 为什么能吸引那么多科学家来到他身边工作时 他回答说 因为我不怕在青年面前暴露自已的愚蠢 这种坦率和实事求是的态度是使当时他领导的哥本哈根理论研究所永远充满活力 兴旺发达的原因 爱因斯坦评价说 作为一个科学的思想家玻尔具有那么惊人的吸引力 在于他具有大胆和谦逊两种品德难得的结合 玻尔其人 H原子能级跃迁图 例 试计算氢原子中巴耳末系的最短波长和最长波长各是多少 解 根据巴耳末系的波长公式 其最长波长应是n 3 n 2跃迁的光子 即 最短波长应是n n 2跃迁的光子 即 例 1 将一个氢原子从基态激发到n 4的激发态需要多少能量 2 处于n 4的激发态的氢原子可发出多少条谱线 其中多少条可见光谱线 其光波波长各多少 解 1 使一个氢原子从基态激发到n 4激发态需提供能量为 2 在某一瞬时 一个氢原子只能发射与某一谱线相应的一定频率的一个光子 在一段时间内可以发出的谱线跃迁如图所示 共有6条谱线 由图可知 可见光的谱线为n 4和n 3跃迁到n 2的两条 辐射出光子相应的波数和波长为 12 5德布罗意波实物粒子的波粒二象性 一 德布罗意假设 德布罗意提出了物质波的假设 一切实物粒子 如电子 质子 中子 都与光子一样 具有波粒二象性 运动的实物粒子的能量E 动量p与它相关联的波的频率 和波长 之间满足如下关系 德布罗意公式 或假设 与实物粒子相联系的波称为德布罗意波 或物质波 波长越短 粒子性越明显 波长越长 波动性越明显 电子的德布罗意波长为 例如 电子经加速电势差U加速后 例1一质量m0 0 05kg的子弹 v 300m s 求其物质波的波长 解 即4 4 10 24 波长太短 显示不出其波动性 代入h e m0值 解 例2一原静止的电子被电场加速到速度v v c 加速电压为U 则速度为v的电子的DeBr glie波波长为多大 该德布罗意波波长已与原子尺度数量级相同 有明显波动性 L V 德布罗意电子波动性的理论研究 1929诺贝尔物理学奖 二 德布罗意波的实验证明 电子衍射实验 1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验 衍射最大值 电子的波长 一切微观粒子都具有波粒二象性 实验表明电流极大值正好满足此式 1927年汤姆逊 G P Thomson 以600伏慢电子 0 5 射向铝箔 也得到了像X射线衍射一样的衍射 再次发现了电子的波动性 1937年戴维逊与GP汤姆逊共获当年诺贝尔奖 G P Thomson为电子发现人J J Thmson的儿子 尔后又发现了质子 中子的衍射 C J 戴维孙通过实验发现晶体对电子的衍射作用 1937诺贝尔物理学奖 三 德布罗意波的统计解释 1926年 德国物理学家玻恩 Born 1882 1972 提出了概率波 认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性 但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律 并形成一条连续的分布曲线 物质波是概率波在某时刻在空间某点的强度正比于实物粒子在该点出现的概率 M 玻恩对量子力学的基础研究 特别是量子力学中波函数的统计解释 1954诺贝尔物理学奖 微观粒子的空间位置要由概率波来描述 概率波只能给出粒子在各处出现的概率 任意时刻不具有确定的位置和确定的动量 12 6不确定关系 UncertaintyRelation 电子具有波粒二象性 也可产生类似波的单缝衍射的图样 若电子波长为 则让电子进行单缝衍射则应满足 明纹 暗纹 1 位置的不确定程度 用单缝来确定电子在穿过单缝时的位置 电子在单缝的何处通过是不确定的 只知是在宽为a的的缝中通过 我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不确定程度 2 单缝处电子的动量的不确定程度 先强调一点 电子衍射是电子自身的波粒二象性结果 不能归于外部的原因 即不是外界作用的结果 如有人认为衍射是电子与单缝的作用 即电子与单缝材料中的原子碰撞的结果 碰撞后电子的动量大小与方向均发生改变 但实验告诉我们衍射的花样与单缝材料无关 只决定于电子的波长与缝宽a 可见不能归结于外部作用 显然 电子通过单缝不与单缝材料作用 因此通过单缝后 其动量大小p不变 但不同的电子要到达屏上不同的点 故各电子的动量方向有不同 单缝处 衍射角为 的电子在X轴上存在动量的分量 pa pb pd pe pc 其衍射角分别为 即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值 X X方向电子的位置不确定量为 电子大部分都到达中央明纹处 研究正负一级暗纹间的电子 这部分电子在单缝处的动量在X轴上的分量值为 为一级暗纹的衍射角 由单缝暗纹条件 为一级暗纹的衍射角 到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在X轴上的分量的不确定量为 考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现 所以 经严格证明此式应为 这就是著名的海森伯不确定关系式 位置和同方向上的动量不可能同时具有确定值 设有一个动量为p 质量为m的粒子 能量 考虑到E的增量 能量与时间不确定关系式 即 能量与时间不确定关系 不确定关系式的理解 1 用经典物理学量 动量 坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制 3 不确定关系指出了使用经典物理理论的限度 2 不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的 不能理解为仪器的精度达不到 W 海森堡创立量子力学 并导致氢的同素异形的发现 1932诺贝尔物理学奖 所以坐标及动量可以同时确定 1 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定 电子的动量是不确定的 应该用量子力学来处理 2 微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定 例3电子射线管中的电子束中的电子速度一般为105m s 设测得速度的精度为1 10000 即 v 10m s 求电子位置的不确定量 解 可以用位置 动量描述 结论 能否用经典方法来描述某一问题 关键在于由不确定关系所加限制能否被忽略 单色平面简谐波波动方程 1 波函数 描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子 12 7薛定谔方程 一 波函数及其统计解释 自由粒子的物质波波函数 2 概率密度 物质波是概率波在某时刻在空间某点的强度正比于实物粒子在该点出现的概率 波函数的统计诠释 波恩Born 代表什么 看电子的单缝衍射 1 大量电子的一次性行为 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波强度大 大 小 波强度小 波强介于二者之间 粒子的观点 波动的观点 2 一个粒子多次重复性行为 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波强度大 大 小 波强度小 波强介于二者之间 粒子的观点 波动的观点 则波函数模的平方表征了t时刻 在空间 x y z 处出现粒子的概率密度 通常比例系数取1 物质波与经典波的本质区别 经典波的波函数是实数 具有物理意义 可测量 可测量 具有物理意义 1 物质波是复函数 本身无具体的物理意义 一般是不可测量的 2 物质波是概率波 等价 对于经典波 3 波函数的标准化条件与归一化条件 1 波函数具有有限性 在空间是有限函数 2 波函数是连续的 3 波函数是单值的 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 4 满足归一化条件 归一化条件 因为粒子在全空间出现是必然事件 Narmulisation 波函数的标准条件 单值 有限和连续 微观粒子遵循的是统计规律 而不是经典的决定性规律 牛顿说 只要给出了初始条件 下一时刻粒子的轨迹是已知的 决定性的 量子力学说 波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点 只给出到达各点的统计分布 即只知道 2大的地方粒子出现的可能性大 2小的地方几率小 一个粒子下一时刻出现在什么地方 走什么路径是不知道的 非决定性的 解 利用归一化条件 例 求波函数归一化常数和概率密度 E 薛定谔量子力学的广泛发展 1933诺贝尔物理学奖 质量为m的粒子在外力场中作一维运动 势能函数为 当xa时 三 一维无限深势阱 方程的通解为 由边界条件 粒子的能量 一维无限深势阱中的粒子 四 一维势垒 隧道效应 一维方势垒是指粒子受到势能为 的作用 称为一维方势垒 入射波 反射波 透射波 透射系数 当U0 E 5eV时 势垒的宽度约50nm以上时 透射系数会小六个数量级以上 隧道效应在实际上已经没有意义了 量子概念过渡到经典了 扫描隧道显微镜STM Scanningtunnelingmicroscopy 原理 电子穿过金属表面的势垒形成隧道电流 隧道电流I与样品和针尖间距离a的关系 样品表面 隧道电流 扫描探针 计算机 放大器 样品 探针 运动控制系统 显示器 扫描隧道显微镜示意图 48个Fe原子形成 量子围栏 围栏中的电子形成驻波 12 8氢原子的量子理论 氢原子由一个质子和一个电子组成 质子质量是电子质量的1837倍 可近似认为质子静止 电子受质子库仑电场作用而绕核运动 电子势能函数 电子的定态薛定谔方程为 一 氢原子的薛定谔方程 二 氢原子的量子化特征 1主量子数n 主量子数决定着氢原子的能量 E与n的依赖关系与波尔理论相同 2角量子数l 角动量有确定值 为 角动量是量子化的 叫轨道角