导数在函数中的应用探讨.doc

导数在函数中的应用探讨摘要：导数（导函数的简称）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终联系着函数的思想，涉及数学中多种思想和方法，同时又是衔接初、高等数学的桥梁，它的出现为解决一些数学问题提供了新的视野。本文主要就导数的有关知识在函数中的应用进行了探讨。关键字：导数 ；函数 ；应用 Discuss the application of derivative in the functionAbstract：Derivative (the abbreviation of derived function ) is a special function,what it found and defined are always associated with the idea of function,which involved in a variety of ideas and methods about mathematics. Whats more, it is the bridge linking the junior mathematics and senior mathematics,providing a new view for solving mathematical problems.This paper mainly apply the relevant knowledge in the functions derivative was discussed.Keywords：Derivative;Function;apply 目录1 引言 （3）2 导数的基础知识 （3）2.1 导数的定义 （3）2.1.1 一阶导数定义 （3）2.1.2 高阶导数定义 （4）2.2 导数的几何意义 （4）2.3 导数的求法 （4）2.3.1 基本求导法则 （4）2.3.2 基本初等函数导数公式 （4）2.3.3 莱布尼茨公式 （5）3 导数在解决函数问题中的应用 （5）3.1 导数在函数单调性中的应用 （5）3.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系 （5）3.1.2 应用导数判断、求证函数的单调性与单调区间 （6）3.2 导数在函数图象中的应用 （8）3.3 导数在函数中求极值与最值中的应用 （9）3.3.1 导数在求函数极值中的应用 （9）3.3.2 导数在求函数最值中的应用 （10）3.4 导数在函数中凹凸性与拐点中的应用 （11）3.5 导数在函数中求参数的应用 （12）3.5.1 求函数解析式 （12）3.5.2 求参数的取值范围 （13）4 导数的产生和发展 （14）5 导数在其他方面的应用 （14）6 总结 （14）致谢 （15）参考文献 （15）导数在函数中的应用探讨 1 引言 为了反映现实世界中变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的不断深化研究，产生了微积分。从微积分称为一门学科来说，是在十七世纪下半叶，微积分是数学史上重要的转折点，它的出现使得解决很多数学问题有了更加广阔的视。微积分的知识和方法在数学中的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，而导数是微积分的核心概念之一。它的产生和发展蕴含了几代数学家的心血结晶，具有浓厚的时代背景和历史意义。恩格斯说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作是人类精神的最高胜利了，如果在某一个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一功绩，那就是这里。”从而可以看出导数在人类发展史上的地位。 导数在数学问题中起到承上启下的作用：承上是它的加入为高中数学注入了新的活力，使数学解题方法有了新的突破，它的应用潜移默化改变了学习者的思维习惯；启下是它的加入完善了高中阶段教学内容，为接下来进一步学习高等数学和其他自然科学作了必要的铺垫，同时在中学数学和大学数学之间起衔接作用。导数是分析函数变化形态研究函数性质的一种重要手段。运用导数解决函数问题不需要很高的思维能力，强调了通法而淡化了技巧，在分析函数的图象、单调性、极值与最值等方面，可使复杂问题简单化、系统化。本文从多种函数例题入手，由易到难，应用导数解题，突出导数在函数解题中的作用和优势，感悟这个过程中蕴含的数学思想和数学形式化的美丽。2 导数的基础知识2.1 导数的定义2.1.1 一阶导数定义定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若极限 (1)存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作。令，。则(1)式可改写为 (2) 所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为在处关于的变化率1。2.1.2 高阶导数定义 定义1 若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即 (3）同时称在点为二阶可导。 一般地，可由的阶导函数定义的阶导函数（或简称阶导数）1。2.2 导数的几何意义 函数在点处的导数在几何上表 示为：函数在点A处的导数 A 就是该点处切线的斜率。 图1 2.3 导数的求法2.3.1 基本求导法则1 （4） （为常数） （5） （6） 反函数导数 （7） 复合函数导数 （8）2.3.2 基本初等函数导数公式（部分)1 （为常数） （9） （为任意实数） （10） （11） （12） （13） （14） （15） 2.3.3 莱布尼茨公式1 （16）3 导数在解决函数问题中的应用3.1 导数在函数单调性中的应用 函数的单调性是函数最基本的性质之一，描述了某个区间内函数的增减性变化规律，是研究函数必须要掌握的基本知识。用函数单调性本身的定义来处理单调性的问题具有很强的技巧性，需要灵活的思维能力，难度较大；而应用导数来解决单调性的问题则非常系统化，突出了通法，简单易懂。下面应用导数这一工具来处理有关这方面的问题。3.1.1 探讨函数的单调性与其导数正负的关系 观察下面各个函数的图象，思考函数的单调性与其导数的正负之间的关系 图2 图3 图4 图5 图2函数（），其导数恒等于1并且大于0。观察原函数图像可以发现其在定义域R内单调递增，并且斜率是恒定的。 图3函数（），其导数为，当时，导函数恒大于0，当时，导数等于0，当时，导数恒小于0。观察原函数图像可以发现，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减。 图4函数，其导数为，当时，导数恒小于0.观察原函数图象可以发现其定义域上都是单调递减的。 图5函数，其导数为。观察原函数图象可以发现在其定义域内函数值是不变的。综上所述，我们可以总结出： 若函数在区间内可导 如果，那么函数在区间内单调递增； 如果，那么函数在区间内值不变； 如果，那么函数在区间内单调递减。3.1.2 应用导数判断、求证函数的单调性与单调区间 例1：判断函数的单调性和单调区间 分析：本题可以应用函数单调性本身的定义来解答，这能更容易反应出本质，只是利用这种方法计算繁琐，在考试中非常不适用；也可以应用导数的方法解答，这样简单易懂，只需解不等式即可。 解：函数为 ，其定义域为 其导数为 在定义域内，与都是恒大于0的式子 导数也恒大于0 在定义域内，函数都是单调递增的，都是单调递增区间。 例2：证明函数在（2,4）上是减函数。分析：这道题同样是应用导数方法解答比较简单快捷，只需求出其导数在（2,4）恒小于0即可,而如果用定义法则需设再设，这样反而增加了计算难度。 证明：函数为 导数为 且当时， 函数在（2,4）上是减函数。例3：若有三个单调区间，求的取值范围和函数的单调区间。分析：在导数出现之前，处理函数单调性问题时往往用的就是定义法，而应用定义法解决这道题的难度就像“母猪上树一样”。但是出现了导数之后，可以根据题目的导数是个一元二次函数，则只需讨论一元二次函数与轴有无交点即可。所以像这样的题目能更加突出导数是处理函数单调性的重要手段。解：依题可得 ， 当时，对于任意都有，即为在上的增函数， 不符合题意。 当时，为一个开口向下的一元二次函数，的值先小 于0，再大于0，最后小于0。即有三个单调区间，符合题意。 令，解得：， 所以的取值范围为，函数的单调增区间为,单调减区间为。通过以上例题可以总结出应用导数处理函数单调性问题的一般步骤为：确定函数的定义域；求导数；在函数的定义域内解不等式或。得出结果注意：若函数的解析式中含有未知数系数时，要进行分类讨论。 导数值为0的点不一定是单调区间的分界点，需要检验。 求函数单调区间忽视定义域而产生的错误。我们可以发现在处理复杂的函数的单调性问题时，应用导数的方法和应用单调性本身的定义来解决问题时，前者过程简单，解题效率的优势更加明显，而后者过程繁琐，容易出错。3.2 导数在函数图象中的应用 例4：设函数在定义域内可导，其导数的图象如图5所示，则原函数图象可能是：（ ） A B C D 图6 解：当0时，导数在对应的区间内是先小于0，后大于0，然后再小于0，最后大于0，所以在对应区间内是按照减增减增走向的图象。综上所述，可知的图象是A。 例5：若函数在R上连续并可导，其导数是奇函数，且，则其函数图象可能是： A B C D 解：因为其导数是奇函数 所以有，即 所以 （1） 当时，由（1）式可得 所以 所以化简（1）式可得，即是偶函数。 综上所述，可知的图象可能是B。 图象能直观的反应函数的变化情况，简单明了的表示出函数的某些性质，而导数则可以一定程度上表示函数的变化快慢，并与函数某些性质紧密联系。在不知道函数本身的表达式时，且知道其导数特点时，应用导数与函数的联系就可以很快处理函数图像的特点。3.3 导数在函数中求极值与最值的应用 在函数中由于自变量的改变会使得因变量的值存在变化，在一段递增的区间和另一段递减的区间之间都会存在一个转折点，而这些点在研究函数变化规律上有着关键性作用。3.3.1 导数在求函数极值中的应用 极值的概念：函数在某区间内可导，并且存在点 ，且，那么：若在的左边导数的值为正，右边为负，则为在区间内的极大值；若在的左边导数的值为负，右边内为正，则为在区间内的极小值。 例6：求函数在区间上的极值。分析：首先要求出导数，然后列出表格根据极值的概念进行讨论。 解：依题意可得 ，令， 解得：，所以可以列出表格：02+00+递增-9递减-13递增 根据表格可得：在区间内，当时函数取得极大值， 当时函数取得极小值。 注意：如果，若左右边的符号不变，那么不是极值点。 例7：求函数的极值。 分析：对于这样的高次函数，尽量不要去拆项，以免加大计算量。 解：依题意可得 ，令， 解方程得 ：，所以有：00+0+递减1递减0递增1递增 所以当处取得极小值，在和处无极值。3.3.2 导数在求函数最值中的应用 在现实生活中，不可避免的存在比较，就会出现出现谁大谁小的情况，反映到函数里则出现了最大值和最小值的概念。若一个函数（排除常数函数）在区间上连续，必然会出现最大值和最小值。 例8：求函数在区间上的最大值和最小。 解：要使函数有意义，即恒成立， 所以函数的定义域为。 依题意可得： 另，可解得，所以+00+递增递减递增 根据表格可以看出：的单调增区间为与，单调减区间为，所以在区间的最小值即当时取得，为，最大值则需要比较当与的函数值大小。 因为 且 所以最大值为当取得，为。这道题的关键点在于应用导数的时候不能忽视函数的定义域问题和对数大小比较的灵活运用上。 要找出区间上最大值和最小值，若用传统的方法则需要算出每一个函数值再进行比较，当问题里出现复杂的函数的时候，花费的时间之久并不是所有人都能承受的；而应用导数的方法则根据极值的特点，利用区间上的极值与区间的端点值比较大小即可求出。由此可见导数在处理函数最值问题可以使得计算量简化，过程程序化。 通过以上例题得出应用导数求函数极值与最值的一般步骤： 求导数的表达式 令，解方程 检验在的根左右两边的符号 根据极值或最值的概念得出结论 函数的极值与最值都是函数性态的重要特征，但是它们却略有不同，极值反映的部分性态，极值只与在其某邻域附近的函数值比较，远离该点则不予考虑，可能会出现极大值比极小值小的情况；而最值反映的是整体性态，需要与所给区间内所有函数值进行比较，最大值一定比最小值大。3.4 导数在函数中凹凸性与拐点中的应用 研究函数变化规律时，了解函数的单调性对其有重要作用，但是不能完全显现出其变化规律。有些函数虽然一直单调递增或递减，但是却仍然有不同的弯曲，这时考虑函数的凹凸性就有必要了。 定理6.14 设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是 定义2 设曲线在点处有穿过曲线的切线。且在切点近胖，曲线在切线的两次分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点。 例9：求函数的凸性区间与拐点。解：依题意可得 ，令 解方程得：， 当时，所以函数在内为凹函数； 当时，所以函数在内为凸函数。 且与内分别是严格凸和严格凹的， 所以点为函数的拐点 用导数对凹凸性和拐点进行判断只需求出对应函数的二阶导数根据定理即可。不需要图象法的描点、画线、观察。3.5 导数在函数中求参数的应用 在求参数问题上，有不少参数应用传统的方法不容易解决，但是借助导数就会发现这是一条有效途径，其主要是应用导数求函数单调性、极值、最值的延伸。它可以一步一步的剖析问题中的参数，消去或者代换，使得问题得到简化，让我们清晰的看出本质。3.5.1 求函数解析式 例10：若函数为三次函数，其图象与轴的交点为P点，在P点的切线方程为，若函数在处取得极值-16，求函数的解析式。 分析：本题主要抓住“导数的几何意义”与“函数在处取得极值-16”，可以根据曲线某点处切线方程的斜率即为该点的导数和导数与函数中极值的关系分别列出方程，解：设函数解析式为且， P为函数与轴的交点 即P点坐标为 把代入切线方程，解得 切线方程的斜率，且 函数在处取得极值-16 可得： 解得： 3.5.2 求参数的取值范围 例11：函数在处的切线方程为，若函数在区间上单调递增，求的取值范围。 分析：这道题如果应用传统的方法则需要联立与切线方程列出方程组，再经过单调性的定义去取点作差，而应用导数解决则可以减少未知数的出现，简化计算。 解：依题意可得 则函数在处的切线方程是： 即为： 化简得： 因为函数在处的切线方程是： 所以有与 即有的关系 所以可得 且函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因为图象的对称轴为， 即有只有下列几种情况 符合题意： 当时，所以； 当时，此时的取值范围为空集； 当时，所以。 综上所述可得的取值范围为：。 应用导数求函数参数问题时，要注意函数本身的定义域和问题参数的条件，不同问题不同分析。4 导数的产生和发展 导数的思想是最初由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接向联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求他的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。对这两个问题进行分析和归纳，可以得到极限的形式，而导数则含有极限的思想。随着人类认识的深入，导数从低阶到高阶、不全面到比较全面的发展。5 导数在其他方面的应用 因为函数最开始是为了描述现实生活中变化着的现象而产生的，而导数在一定程度上反映了函数的变化快慢。因而导数还可以应用于：物理学方面的运动问题；农业生产过程中的植物生长问题；城市建设的规划面积问题；工业生产中利润最大，原料最少，效率最高的搭配问题6 总结 导数作为一种工具，在解决数学问题内有广泛应用，而