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不等式的证明【经典例题】：例1证明不等式(nN*)证法一（数学归纳法）：（1）当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立，（2）假设时，不等式成立，即1+2， 当时，不等式成立 综合（1）、（2）得 当时，都有1+ 0，y 0)恒成立的a的最小值解法一 由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：，即， 而，则（当且仅当x = y时，等号成立） 比较、得a的最小值满足a21=1，a2 = 2，a = ()，从而a的最小值是 解法二 设 ，（当且仅当x = y时，等号成立），的最大值是1，从而u的最大值为，又由已知，得，于是a的最小值为 解法三 ，原不等式等价于：+1a，设，则有：，易知的最大值为1，由式可知a的最小值为 例3已知，且 求证： 证法一 (分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证4(ab)233(ab)+80，即证ab或ab8 a 0，b 0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，从而得证 证法二 (均值代换法)设a=+t1，b=+t2 a+b=1，a 0，b 0，t1+t2=0，|t1|，|t2| 0，b 0，a+b2，ab证法四 (综合法)a+b=1， a 0，b 0，a+b2，ab 即 证法五 (三角代换法） a 0，b 0，a+b=1，故令，2即 【练习】：1 已知x、y，a、b是正常数,且=1，x+y的最小值为_ 2 设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|ad|bc|，则ad与bc的大小关系是_ 3 若mn，pq，且(pm)(pn)0，(qm)(qn) 0，b 0，a3+b3=2，求证：a+b2，ab1【参考答案】：1 答案 a+b+2解析：令，则， 2 答案 解析：由 a + d = b + c，故 3 答案 解析 把p、q看成变量，则 4 （1）证法一 a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)=3a2+3b2+3c2(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2证法二 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2证法三 a2+b2+c2a2+b2+c2证法四 设， a + b + c = 1， （2）证法一：同理： 证法二 0，b 0，所以m 0，n 0，且 由可得：n =将代入得m24()0，即，所以m3+80，即m2，所以a + b 2，由2m 得4m2，又m24n，所以44n，即n1，所以ab1 证法三 因a 0，b 0，a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)(a+b)(2abab)=ab(a+b)于是有63ab(a+b)，从而83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3= (a+b)3，所以a+b2，(下同证法二）证法四：由于0，所以对任意非负实数a、b，有因为a 0，b 0，a3+b3=2，所以1=，1，即a+b2，(以下略）证法五 假设a+b 2，则a3+b3 = (a+b)(a2ab+b2) = (a+b)(a+b)23ab