高考数学一轮复习专题2.12导数的切线方程练习（含解析）.docx

第12讲 导数的切线方程【套路秘籍】-千里之行始于足下1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法（1） 公式：（2） 当直线l1、l2的斜率都存在时：，3. 切线方程的求法（1） 求出直线的斜率（2） 求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式写出直线方程。【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线yx3在x1处切线的倾斜角为。（2）设函数，若，则_【答案】（1）.（2）e【解析】（1）yx2，y|x11，切线的倾斜角满足tan 1，0，.（3） 由题意得，又，解得【套路总结】1.已知切点求切线的斜率解题思路（1）求导：求出导函数（2）将切点的横坐标代入导函数计算即可2.求切点的坐标的解题思路(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标【举一反三】1.已知在曲线上过点的切线为（1）若切线平行于直线，求点的坐标；（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x0=4,x0=2,代入曲线y0=4,切点P（2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于-1.（3）因为切线的倾斜角为，所以其斜率为即，得，故考向二在某点处求切线方程【例2】设函数f(x)xln x，则点(1,0)处的切线方程是_【解析】因为f(x)ln x1，所以f(1)1，所以切线方程为xy10.【答案】xy10【套路总结】已知切点(x0,y0)求切线方程1. 表述：在某点处的切线方程，该点为切点。2. 求切线方程的基本思路（1） 求导：利用求导公式进行求导f(x)（2） 求k:将切点的横坐标x0代入f(x0)=k（3） 求线：利用点斜式y-y0=f(x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。【举一反三】1.函数f(x)excos x在点(0，f(0)处的切线方程为。【答案】xy10【解析】f(x)excos xex(sin x)ex(cos xsin x)，f(0)e0(cos 0sin 0)1又f(0)1，f(x)在点(0,1)处的切线方程为y1x，即xy102.曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_.【答案】5xy20【解析】由y5ex3得，y5ex，所以切线的斜率ky|x05，所以切线方程为y25(x0)，即5xy20.考向三过某点处求切线方程【例3】已知函数，则过（1,1）的切线方程为_【答案】【解析】由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率，所以切线的方程为，即，当点不是切点时，设切点，则，即，解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即.【套路总结】未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上-将点代入曲线曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1,y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路设点：设切点(x0，y0)求x0：利用斜率的关系求切点横坐标kf(x0)=y1-y0y1-x0和y0=f(x0)（即将切点代入原函数）联立解x0求k:利用kf(x0)求线：利用点斜式y-y0=f(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f(x0)(x-x1)【举一反三】1 已知曲线f(x)=1x，则过点(-1,3)，且与曲线y=f(x)相切的直线方程为。【答案】y=-x+2或y=-9x-6【解析】设切点为(x0,y0),切线斜率k=f(x0)=-1x02，则切线方程是y-y0=-1x02(x-x0)，又过点(-1,3)，所以3-y0=-1x02(-1-x0)，又y0=1x0，由解得，x0=1y0=1或x0=-13y0=-3，代入切线方程化简可得：切线方程为x+y-2=0或9x+y+6=0.2过点p(-4,0)作曲线y=xex的切线，则切线方程为_.【答案】x+e2y+4=0【解析】点p(-4,0)不为切点，可设出切点Mm,n，则n=mem，又y=ex+xex，则切线斜率为k=1+mem=k=nm+4，由得，m=-2,n=-2e-2,k=-e-2，故切线方程为y-0=-e-2x+4，即x+e2y+4=0，故答案为x+e2y+4=0.3过坐标原点(0,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为_.【答案】y=ex【解析】因为y=ex，所以y=ex,设切点坐标为m,em，则切线斜率为em，切线方程为y-em=emx-m，把原点坐标代入切线方程可得m=1，所以过坐标原点(0,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为y=ex,故答案为y=ex.考向四求参数【例4】已知函数f(x)bxln x，其中bR，若过原点且斜率为k的直线与曲线yf(x)相切，则kb的值为【答案】【解析】设切点坐标为(x0，bx0ln x0)，因为f(x)b，所以kb，则切线方程为y(bx0ln x0)(xx0)因为切线过坐标原点，所以(bx0ln x0)(0x0)，即ln x01，所以x0e，所以kb.【举一反三】1.已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m.【答案】2【解析】f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，m2.2.已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为。【答案】2【解析】设切点为(x0，y0)，y，所以有解得3.设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.【答案】1【解析】y，则曲线y在点处的切线的斜率为k11.因为直线xay10的斜率k2，又该切线与直线xay10垂直，所以k1k21，解得a1.4，已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是【答案】xy20【解析】由题图可知，f(2)1，过P(2,0)，切线方程为yx2，即xy20.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1.已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.【答案】【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a12.已知f(x)x2，则曲线yf(x)过点P(1,0)的切线方程是【答案】y0或4xy40【解析】设切点坐标为(x0，x)，f(x)2x，切线方程为y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切线方程为y0或y4(x1)，即y0或4xy40.3.已知f(x)为偶函数，当x0，则x0)，则f(x)3(x0)，f(1)2，在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x14.若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.【答案】1ln2【解析】直线ykxb与曲线yln x2，yln (x1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yln x2得y，由yln (x1)得y，k，x1，x21，y1ln k2，y2ln k，即A，B，A，B在直线ykxb上，5已知函数fx=lnx-x2，则fx在x=1处的切线方程为_【答案】x+y=0.【解析】fx=lnx-x2，f(x)=1x-2xf(1)=-1,而f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-(x-1)y=-xx+y=0.6已知某曲线的方程为y=x2+2，则过点B(2,-3)且与该曲线相切的直线方程为_【答案】2x+y-1=0或10x-y-23=0【解析】设直线与曲线切于点（x0，y0）（x02），则k=y0+3x0-2，y0=x02+2，且k=y|x=x0=2x0，y0+3x0-2=2x0，x024x05=0，x0=-1，或x0=5，k=2x0=-2或10，故直线l的方程2x+y-1=0或10x-y-23=0.故答案为：2x+y-1=0或10x-y-23=07已知aR，函数fx=aex-xlnx的图象在点1,f1处的切线为l，则l在y轴上的截距为_.【答案】1【解析】因为函数f(x)=aex-xlnx，所以f(x)=aex-lnx-1，则切线的斜率为k=f1=ae-1，因为切点坐标1,ae，所以切线方程l为y-ae=ae-1x-1，令x=0，可得l在y轴上的截距为ae+ae-1-1=1，故答案为1.8已知恰有两条不同的直线与曲线y=ex-2和x2=2py都相切，则实数p的取值范围是_【答案】0,2【解析】设曲线y=ex-2的切点为（x1，ex1-2），x2=2py的切点坐标为（x2，x222p），y=k1=ex1-2 ,y=2x22p=x2p,ex1-2=x2p切线方程为y-ex1-2=ex1-2x-x1,且过点（x2，x222p），故x222p-ex1-2=ex1-2x2-x1由得x22+1=x1,故1p=ex22-1x2有两解，由知x2p0，若x20,p0,p0,即1p=ex22-1x2在0，+有两解，令f(x)=ex2-1x,fx=ex2-1x2-1x2,0x2,fx2,fx0,fx在（0，2）单减，在（2，+）单增，fx的最小值为f2=12，又x+,fx+,x0,fx+,故1p12,解0p2故答案为0,29已知函数fx=x2+alnx+b在点x=1处的切线方程为y=4x-2，则a+b=_【答案】3【解析】函数f（x）x2+alnx+b，所以f（x）2x+ax（x0），又f（x）在x1处的切线方程为y4x2，所以2+a4解得：a2，f（1）422，可得21+2ln1+bb1，所以a+b3故答案为：310已知函数f(x)=ln(x-1)-8x-1x+1，则函数f(x)的图象在(2,-5)处的切线方程为_【答案】y+5=0.【解析】因为fx=lnx-1-8x-1x+1，点坐标为2,-5可知点在曲线上则fx=1x-1-8x+1-8x-1x+12=1x-1-9x+12则f2=1-1=0即切线的斜率为0又因为过点2,-5所以切线方程为y+5=011已知曲线f(x)=x3-2x2+x.() 求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；() 求曲线y=f(x)过原点O的切线方程.【答案】() 5x-y-8=0 () y=x,y=0【解析】()由题意得fx=3x2-4x+1，所以f2=5，f2=2，可得切线方程为y-2=5x-2，整理得5x-y-8=0。()令切点为x0,y0，因为切点在函数图像上，所以y0=x03-2x02+x0，fx0=3x02-4x0+1，所以在该点的切线为y-x03-2x02+x0=3x02-4x0+1x-x0因为切线过原点，所以0-x03-2x02+x0=3x02-4x0+10-x0，解得x0=0或x0=1，可得切点为0,0，1,0f0=1，f1=0，所以切线方程为y=x或y=0。12已知函数f(x)=x3+x-2（）求曲线y=f(x)在点(2,8)处的切线方程；（）直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.【答案】(1) 13x-y-18=0 (2) 切线方程为y=4x,切点为(-1,-4)【解析】（）f(x)=3x2+1，所以f(2)=13y-8=13(x-2)，即13x-y-18=0（）设切点为（x0,x03+x0-2)，则f(x0)=3x02+1所以切线方程为y-x03+x0-2=3x02+1(x-x0)因为切线过原点，所以-x03+x0-2=-x03x02+1，所以2x03=-2，解得x0=-1，所以f(-1)=4，故所求切线方程为y=4x，又因为f(-1)=-4，切点为(-1,-4)13已知曲线C：yx36x2x6.(1)求C上斜率最小的切线方程；(2)证明：C关于斜率最小时切线的切点对称【答案】见解析【解析】(1)y3x212x13(x2)213.当x2时，y最小，即切线斜率的最小值为13，切点为(2，12)，切线方程为y1213(x2)，即13xy140.(2)证明：设点(x0，y0)C，点(x，y)是点(x0，y0)关于切点(2，12)对称的点，则点(x0，y0)C，24y(4x)36(4x)2(4x)6，整理得yx36x2x6.点(x，y)C，于是曲线C关于切点(2，12)对称14设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切