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比和比例应用题 例104 在比例尺是11000 000的地图上，量得松江县城到上海西区汽车站的距离是4厘米.松江县到上海实际距离是多少千米？（上海市松江县）【分析1】根据“图上距离实际距离=比例尺”，可得“实际距离=图上距离比例尺”.由此可求出松江到上海的实际距离.【解法1】 4 =41000 000=4 000 000（厘米）=40（千米）【分析2】 因为图上距离实际距离=11000 000，所以，实际距离是图上距离的1000 000倍.因此求出4厘米的1000 000倍，即是松江县到上海的实际距离.【解法 2】41 000 000=4 000 000（厘米）=40（千米）.【分析3】因为图上距离实际距离=比例尺，比例尺一定，所以图上距离和实际距离成正比例.【解法3】 设松江到上海实距为x千米.4x=11 000 000x=41 000 000x=40000004 000 000厘米=40千米.答：松江县到上海的实际距离是40千米.【评注】比较以上三种解法，解法1和解法3是常用解法，但运算稍繁些.解法2的思路简单明白，运算简便，是本题最佳解法.例105 太原到晋祠的距离是25千米，在比例尺是的地图上，两地的图上距离是多少厘米？（山西省太原市）【分析1】比例尺是，即图上距离是实际距离的，把两地实际距离看作“1”，运用分数乘法应用题的解法求出图上距离.【解法1】 25千米=2 500 000（厘米）2 500 000=12.5（厘米）.【分析2】因为比例尺是，所以实际距离是图上距离的200 000倍.因此，把两地的实际距离缩小2 00 000倍，即得两地的图上距离.【解法2】25千米=2 500 000厘米2 500 000200 000=12.5（厘米）.【分析 3】因为“图上距离实际距离=比例尺”，而比例尺一定，所以图上距离和实际距离成正比例.【解法3】设图上距离为x厘米.25千米=2 500 000厘米x2500000=1200000200 000x=2 500 000x=x=12.5答：太原到晋祠的图上距离是12.5厘米.【评注】比较以上三种解法，解法1和解法2是本题的较好解法.例106 一幅地图，图上5厘米表示实际距离10千米，已知甲乙两地的实际距离是15千米，在这幅地图上甲乙两地的距离是多少厘米. （福建省福州市）【分析1】先求出这幅图的比例尺，再根据“图上距离=实际距离比例尺”，求出甲乙两地的图上距离.【解法1】 这幅图的比例尺？ 5厘米10千米=5厘米1000000厘米=1200000甲乙两地的图上距离是多少厘米？15=0.000075（千米） =7.5（厘米）综合算式： 15=15=0.000075（千米）=7.5（厘米）.【分析2】先求出实际距离是图上距离的几倍，再用15千米除以这个倍数，即得两地的图上距离.【解法2】 实际距离是图上距离的几倍？10千米5厘米=200 000（倍）甲乙两地的图上距离是多少厘米？15200 000=0.000075（千米）=7.5（厘米）综合算式： 1500 000（1000 0005）=1500 0002 00 000=7.5（厘米）.【分析3】先求出实际距离1千米在图上是多少厘米，再求实际距离15千米在图上是多少厘米.【解法3】 1千米实距在图上是几厘米？510=0.5（厘米）甲乙两地15千米在图上是几厘米？0.515=7.5（厘米）综合算式： 51015= 0.515= 7.5（厘米）.【分析4】先求10千米是15千米的几分之几，即5厘米的对应分率，再求甲乙两地的图上距离.【解法4】 5=5=7.5（厘米）.【分析5】先求15千米里有几个10千米，即有几个5厘米，再求甲乙两地的图上距离.【解法5】5（1510）=51.5=7.5（厘米）.【分析6】 因为“图上距离实际距离=比例尺”，而比例尺一定，所以图上距离和实际距离成正比例.【解法6】 设两地的图距为x厘米.510=x1510x=515x=x=7.5答：在这幅地图上甲乙两地距离是7.5厘米.【评注】 解法1、解法2明显地比其它解法麻烦，而后四种解法都是较好的解法.其中解法3、解法4、解法5的思路更为简单，运算更为简便，是本题的最佳解法.例107 按135用水泥.黄沙、石子制成混凝土24.3吨，需用水泥、黄沙、石子各多少吨？（江苏省句容县）【分析1】水泥、黄沙、石子的重量比是135，即水泥1份，黄沙3份，石子5份，总共9份.因此可按归一解法先求每份多少吨，再分别求3份、5份各多少吨.【解法1】 混凝土共分了几等份？1+3+5=9（份）水泥需用多少吨？24.39=2.7（吨）黄沙需用多少吨？2.73=8.1（吨）石子需用多少吨？2.75=13.5（吨）综合算式：水泥：24.3（1+3+5）=2.7（吨）黄沙：24.3（1+3+5）3=8.1（吨）石子：24.3（1+3+5）5=13.5（吨）.【分析2】运用按比例分配的方法解答.【解法2】总份数：1+3+5=9（份）需用水泥多少吨？24.3=2.7（吨）需用黄沙多少吨？24.3=8.1（吨）需用石子多少吨？24.3=13.5 （吨）.【分析3】因为“混凝土原料重量总份数=每份数重量”，而每份重量一定，所以各种原料所需吨数与它们各占的份数成正比例.由此可分别列比例式.【解法3】设需用水泥x吨.9x=24.3x=24.39x=2.7设需用黄沙y吨.9y=24.33y= y=8.1 石子：24.3-8.1-2.7=13.5（吨）答：略.【评注】比较以上三种解法，解法1和解法2是本题的较好解法.例108 六一班男、女生人数的比是65，女生有20人男生有多少人？（河南省郑州市）【分析1】 用归一解法.男女生人数的比是65，即男生人数为6等份，女生人数为5等份.因为女生人数的5份是20人，所以可先求出每份多少人，再求6份多少人.【解法1】 2056=46=24（人）【分析2】男女生人数的比是65，其比值是，根据“比的前项=后项比值”求出男生人数.【解法2】男生女生=男生20=男生人数=20=24（人）.【分析3】把65转化为，即把女生人数看作“1”，那么男生人数是女生的，由此运用分数应用题的解法，求出男生人数.【解法3】20=24（人）.【分析4】把男生人数看作“1”，那么女生人数占男生的.由此可求男生人数.【解法4】20=20=24（人）.【分析5】按比例分配解法.【解法5】男女生人数共有几份？6+5=11（份）女生人数占全班的几分之几？511=男女生共有多少人？20=44（人）男生有多少人？44=24（人）综合算式： 20=20=20=24 （人）【分析6】用比例解法.因为男生人数女生人数=，比值一定，所以男生人数和女生人数成正比例.【解法8】 设男生人数为x.x20=655x=206x=2065x=24答：男生有24人.【评注】以上六种解法中，前三种解法的思路简单明白，运算简便，是本题较好解法.例109 100克蜂蜜里含有34.5克葡萄糖，300克蜂蜜里含有多少克葡萄糖？（河南省南阳地区）【分析1】用比例解法.因为“葡萄糖重量蜂蜜重量=出糖率”，出糖率一定，所以葡萄糖重量和蜂蜜重量成正比例.【解法1】设300克蜂蜜里含糖x克.34.5100=x300100x=34.5300x=x=103.5【分析2】 用倍比解法.先求300克里有几个100克，即有多少个34.5克葡萄糖.由此可求出葡萄糖的重量.【解法2】 34.5（300100）=34.53=103.5（克）.【分析 3】 用归一解法.先求出1克蜂蜜里含有多少克葡萄糖，再求300克蜂蜜里含有多少克葡萄糖.【解法3】 1克蜂蜜含糖多少克？34.5100=0.345（克）300克蜂蜜含糖多少克？0.345300=103.5（克）综合算式： 34.5100300=0.345300=103.5（克）.【分析4】把蜂蜜重量看作“1”.先求出蜂蜜的出糖率，再求300克蜂蜜含糖多少克.【解法4】蜂蜜的出糖率是多少？34.5100=34.5300克蜂蜜里含葡萄糖多少克？30034.5=103.5（克）综合算式： 300（34.5100）=30034.5=103.5（克）.【分析5】根据“比的前项后项=比值”，推导出“比的前项=后项比值”.从而求出300克蜂蜜里含糖多少克.【解法5】因为糖蜜=34.5100=，即糖300=，所以糖=300=103.5（克）.答：300克蜂蜜含有葡萄糖103.5克.【评注】前三种解法都具有思路简单明白、运算简便的特点，是本题的较好解法.例110 大旺乡挖一条长3 600米的水渠，6天挖了450米，照这样计算，多少天可以挖完？（广东省广州市东山区）【分析1】用比例解法.因为“水渠长度修渠天数=每天修渠长度”，每天修渠长度一定，所以修渠长度和修渠天数成正比例.【解法1】设x天可以挖完.3600x=4506450x=36006x=x=48【分析2】用归一解法.先求每天修渠多少米，再求3 600米内包含多少个每天修的米数，即多少天可以挖完.【解法2】每天修水渠多少米？4506=75 （米）多少天可以挖完？3 60075=48（天）综合算式： 3600（4506）=360075=48（天）.【分析3】 用比例解法.同分析1.不同点，先求剩余的需几天，再加上已修的6天.【解法3】设剩下的需修x天.（3600-450）x=4506450x=31506x=x=4242+6=48（天）.【分析4】用归一解法.先求出剩余的水渠需修多少天，再求修全长要多少天.【解法4】每天修多少米？4506=75（米）剩下水渠还需修多少天？（3 600-450）75=42（天）多少天可以挖完全长？42+6=48（天）综合算式： （3 600-450）（4506）+6=315075+6=42+6=48 （天）.【分析5】用倍比解法.先求出3 600米里有几个450米，即有几个6天，再求挖全长需几天.【解法5】3600米是450米的几倍？3 600450=8（倍）水渠全长需挖几天？68=48（天）综合算式： 6（3 600450）=68=48（天）.【分析6】用归一解法.先求出修1米水渠需多少天.再求修全长3 600米需多少天.【解法6】 64503 600=3600=48 （天）.【分析7】求出450米是3 600米的几分之几.就是 6天相当于挖全长需天数的几分之几.由此可求出挖全长需多少天.【解法7】450米占水渠全长的几分之几？4503600=水渠全长需修几天？6=48（天）综合算式： 6（4503 600）= 6=48（天）.答：水渠全长48天可以挖完.【评注】解法1和解法2易于理解，运算简便，是本题较好解法.解法5和解法7虽不常用，但其思路及运算都较佳，也可列为本题较好的解法.解法3和解法6对培养学生转换角度思考问题大有益处.例111 一批货物，原计划每天运走18吨，84天可以运完.实际每天运21吨，这批货物多少天可以运完？（广东省肇庆市）【分析1】用比例解法.因为每天运货吨数运货天数=运货总吨数，运货总吨数一定，所以每天运货吨数和运货天数成反比例.【解法1】设这批货x天可运完.21x=1884x=x=72【分析2】用比例解法.根据“原计划每天运货量和实际每天运货量的比，等于原计划和实际的工作效率比”这一等量关系，列比例.【解法2】设这批货x天可运完.1821=18=21x=72【分析3】先求出这批货共有多少吨，再看这批货物总量里包含多少个21吨，即这批货物多少天可以运完.【解法3】这批货物共有多少吨？1884=1512（吨）这批货物多少天可以运完？151221=72（天）综合算式： 188421=151221=72（天）.【分析4】因为运货总量一定，而实际每天运货量是计划每天运货量的2118=倍，所以原计划运货天数是实际运货天数的倍.由此可求出这批货实际多少天运完.【解法4】84（2118）=84=72（天）.答：这批货物72天可以运完.【评注】比较以上四种解法，解法3的思路简单明白，但运算并不简便.解法1的思路通畅，运算简便，是本题的较好解法.例112 童装厂要做396套儿童衣服，前8天做了144套，剩下的还要几天才能完成？（广西壮族自治区百色地区）【分析1】用比例解法.因为“衣服总套数天数= 每天做的套数”，每天做的套数一定，所以衣服总套数和做的天数成正比例.【解法1】设剩下的还要x天完成.（39-144）x=1448144x=2528x=14【分析2】用比例法.同分析1.先求出做396套衣服要用多少天，再求剩下的还要用几天完成.【解法2】设做396套衣服要用x天.396x=1448144x=396822-8=14（天）.【分析3】用归一解法.先求出每天能做多少套，再求剩下的套数，最后求剩下套数里包含多少每天做的套数，即还要做的天数.【解法3】每天能做多少套？1448=18（套）还剩下多少套？396-144=252（套）剩下的还要几天完成？25218=14（天）综合算式：（396-144）（1448）=25218=14天）.【分析4】用归一解法。先求出每天能做多少套，再求做396套衣服共要多少天，再减去已做的8天，即得还要做多少天.【解法4】每天能做多少套？1448=18（套）做396套共用多少天？39618=22 （天）剩下的还要多少天？22-8=14（天）综合算式：396（1448）-8=39618-8=22-8=14（天）.【分析5】用归一解法。先求做一套衣服用多少天，再求做396套衣服用多少天，再减去已做的8天，即得还要做的天数.【解法5】做1套衣服要用多少天？做396套衣服用多少天？剩下的还要多少天？22-8=14（天）综合算式：8144396-8【分析6】用归一解法.先求做1套衣服用多少天，再求做剩下的还要多少天.【解法6】做1套衣服要用多少天？剩下的还要几天完成？综合算式：8144（396-144）【分析7】用倍比解法.先求出剩下的套数是144套的几倍，即有几个8天.再求剩下的还要做多少天.【解法7】剩下的套数是144套的几倍？剩下的还要做多少天？综合算式：8（396144-1）答：剩下的还要14天才能完成.【评注】比较以上七种解法，解法1和解法3的思路较简捷，运算较简便，是本题较好的解法.照这样的速度，修完这段路还要多少时间？（湖北省天门市）【分析1】用比例解法.因为“工作量工作时间= 工作效率”，工作效率一定，所以工作量和工作时间成正比例.由此先求共要多少天，再求剩下的还要多少天.【解法1】设修完这段路共要x天.（2403）x=240024x=8080-24=56（天）.【分析2】把这段路的总长看作“1”，其它同分析1.【解法2】设修这段路共要x天.x=8080-24=56（天）.【分析3】同分析1.直接求出剩下的还要多少天.【解法3】设修这段路还要x天.2407x=240324r=56【分析4】把这段路全长看作“ 1”. 其它同分析1.【解法4】设修完这段路还要x天.x=56先求修路的总天数，再求还要多少天.【解法5】修完这段路共要多少天？修完这段路还要多少天？80-24=56（天）【分析6】用工程应用题解法.把这段路全长看作“1”.先求每天修全长的几分之几，即工作效率.再用“1”除以工作效率，即得修路总天数，然后再求还要多少天.【解法6】每天修全长的几分之几？ 修完这段路共要多少天？修完这段路还要多少天？80-24=56（天）综合算式：【分析7】用工程应用题解法.把这段路全长看作“1”.先求出工作效率，再求剩余的工作量，用剩余的工作量除以工作效率，即得还要修的天数.【解法7】每天修全长的几分之几？还剩全长的几分之几？修完这段路还要多少天？综合算式：【分析8】用倍比解法.先求剩下全长的几分之几，再求剩下的工程是已修的几倍，即有几个24天，最后求出还要多少天.【解法8】还剩全长的几分之几？剩下的工程是已修的几倍？修完这段路还要多少天？综合算式： 为10等份，已修的是3份，还剩下7份.由此可先求每份多少天，再求7份多少天. 【解法9】243（10-3）=2437=87=56（天）.答：修完这段路还要56天.【评注】比较以上九种解法，很明显，解法1和解法3无论是解题思路还是运算，都较繁.其它的解法思路简单明白，运算简便，且各有特色，都是本题的较好解法.其中解法9的运算最简便，是本题的最佳解法.例114 王师傅用同一台机床生产一批零件，前4天生产完1400个零件，剩下的任务两天生产完，这批零件共多少个？（北京市海淀区）【分析1】用比例解法.因为“工作量工作时间=工作效率”，工作效率一定，所以工作量和工作时间成正比例.【解法1】设这批零件共有x个.14004= x（ 4+2）4x=14006x=2100【分析2】由分析1可知，工作量和工作时间成正比例，由此列比例式先求后两天做了多少个零件，再加上前4天做的1400个，即得这批零件共多少个.【解法2】设后两天做零件x个.14004=x24x=14002x=700700+1400=2100（个）.【分析3】用归一解法.先求每天生产多少个，再乘以总天数，即得这批零件共多少个.【解法3】每天做零件多少个？14004=350（个）前后共做了几天？4+2=6（天）这批零件共有多少个？3506=2100（个）综合算式：14004（4+2）=140046=3506=2100（个）.【分析4】用归一解法.先求出后两天做了多少个，再求这批零件共有多少个.【解法4】每天做零件多少个？14004=350（个）后两天做了多少个？3502=700（个）这批零件共多少个？700+1400=2100（个）综合算式：140042+1400=3502+1400=700+1400=2100（个）.【分析5】用倍比解法.先求出这批零件生产总天数，再求总天数是4天的几倍，即多少个1400，最后求这批零件共多少个.【解法5】这批零件共生产几天？4+2=6（天）生产总天数是4天的几倍？64=1.5（倍）这批零件共多少个？1400 1.5=2100（个）综合算式：1400（4+2） 4=14001.5=2100（个）.【分析6】用分数应用题解法.先求生产的总天数，再求前4天生产零件数是零件总数的几分之几，即1400个的对应分率，最后求出这批零件共多少个.【解法6】前后共生产多少天？4+2=6（