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平面几何问题选讲沈文选（湖南师范大学数学奥林匹克研究所，410081）概念：点对圆的幂：从一点作一圆周的任一割线，从起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对此圆的幂。根轴：对于两已知圆等幂的点的轨迹是一条直线，这条直线叫两圆的根轴。根心：圆心不共线的三个圆两两的根轴交于一点，这点称为三圆的根心。定差幂线定理：的充要条件是。垂心组：以三点为三角形的顶点，另一点为该三角形的垂心的四点称为垂心组。线段调和分割：设两点内分和外分同一线段成同一比例，即，则称点调和分割线段，或称为调和点列。完全四边形：两两相交又无三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形称为完全四边形。三角形等角共轭点：与三角形的边所成的角对应相等的一对点。广勾股定理：在中，设于点，则。调和四边形：对边乘积相等的圆内接四边形。九点圆：三角形三条高的垂足，三条边的中点，垂心与顶点连线的中点共九点共圆。戴维斯定理：三角形每边所在直线上有一对点，若每两对点共圆，则三对点都在一个圆上。例题：4.在完全四边形中，每条对角线被其他两条对角线调和分割.7 设为锐角的垂心，为边的中点，过点的直线分别交边、于点,使得，射线与的外接圆交于点，求证：四点共圆。（2009年西部数学奥林匹克）8 设为的高所在直线异于垂足的任一点.在直线上的射影分别为，则。9. 是的直径，过分别引射线和相交于点，点,一个在圆内，一个在圆外，且.求证: . 10. 是的直径，过点分别引相交于点的两弦和，的延长线与的延长线相交于点，设为的外心，则为的垂心的充要条件是.11. 两圆交于点，过点的一条直线分别交圆于点，过点的另一条直线分别交圆于点，直线分别交圆于点。设分别是弧的中点。若，求证:四点共圆。(2010年CMO题)12. 凸四边形内接于圆，对角线与相交于，的外接圆相交于和另一点，且三点两两不重合。试证：（1992年CMO题）13已知两个半径不等的圆与圆相交于两点，且圆,圆分别与圆内切于点。求证：的充要条件是三点共线。（1997年联赛题）14. 设凸四边形的对角线交于，的外接圆交于、两点，直线分别交的外接圆于两点。求证：是线段的中点。（2006年女子数学奥林匹克）15. 圆与圆相交于两点，圆在点处的切线交圆于，圆在点处的切线交圆于，为的中点，则。16. 圆心为,的两个半径相等的圆相交于两点，是公共弦的中点，过任作两条割线和，点在圆上，点在圆上，联结和，点分别是,的中点，已知,不在两圆的公共部分内，点均不与重合。求证：三点共线。（2004年国家集训题）17. 的内切圆分别切,于点，直线交于点。求证：.（2006年黑龙江竞赛题）18.
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