五轴数控加工中系统误差的补偿.doc

五轴数控加工中系统误差的补偿五轴数控加工中系统误差的补偿翻译文章来自Compensating for systematic errors in 5-axis NC machining391403页E.L.J. Bohez 摘要 在5轴加工中引入的误差高于机床的内在重复性。它可以分析五轴加工中的系统误差和补偿，从而实现更高的性能。一组系统误差在逆运动学方程可以直接补偿，另一组系统误差可以结合逆运动学关系中的全微分来补偿。在闭环容积误差关系的基础上提出了一种如何补偿系统误差新的一般方法。当前计算机辅助设计与制造和数控系统中，对五轴刀具路径生成的误差进行了详细的分析，提出了一种测量和补偿误差新的策略性方法。 关键词数控铣削；五轴；几何误差；误差补偿1引言五个自由度是工具工件定位中获得最大的灵活性的最低的要求，这意味着工具和工件可以在任何角度相对于彼此而面对。为了使两个刚性机构在空间上彼此位置确定，需要6个自由度或者12个。然而，在不改变相对方向的情况下，任何相同的旋转和平移可以允许减少6个自由度。物体之间的距离是由工件路径决定的，并且允许我们消除额外的自由度，从而达到五自由度这个最低要求。如果一个坐标系统固定在每五个物体上，并且这些物体在五轴机床都配备5个自由度，那么每个物体会有6个误差或者30个误差，这些误差是由于五个主体之间的相对距离引起的误差累加出来的。五个刚体可以通过9个刚性条形图相互连接起来。这些额外的潜在的自由度会导致多于9个的误差分量。所以，从上述情况，可以看到在五轴机床有39个独立的误差分量或者在三轴机床有18个以上的误差分量。在有关五轴机床的运动学知识的基础上将开发出一种新的一般误差模型。对上述误差，在计算机辅助设计与计算机辅助制造系统和机器控制中的插值引起的额外误差分量必须加进去。2著作审核的前期工作2.1误差模型Ramesh等人1 回顾了在机床误差补偿领域的当前研究状态，对误差的来源和消除误差的方法进行了重新评价，这次评价主要是集中在过去对误差的测量和补偿。通过这次重新评价，明确了误差补偿的首要工作是建模，而建模被过去研究严重忽视。过去的研究侧重于误差的测量和补偿，而未建模。Van Luttervelt和Peng 2 证实了通用模型和实测数据的使用这种共生关系，在今后的研究领域将以一种更加综合的方式被提出。Soons等人3提出了一个通用的数控机床误差模型，该模型是以工具和工件的运动链中蕴含的正运动学为基础的。 对于每一个链接，平移和角误差是作为一种额外的转换。在参考帧的相对位置中，一种依赖形状的静态误差补充了这种一般模型。Cho等人 4提出了一个闭环容积的准确性方法，这种准确性依赖于精确的切削运动和工件路径之间的相对运动，考虑了双立方表面和3轴机床的情况。Srivastava 等人5使用了一种方法，这种方法是以形状和联合转换的直接考虑为基础的。这种旋转和平移的建模是随时间变化的矩阵，它使总容积误差作为一种所有误差的函数。这是为了说明了一个RRTTT（两个旋转轴RR和三个线性轴TTT）机床。误差补偿方法基于的计算每个工件的位置误差和正确的数控命令，以这样的方式得以补偿。 Patel和Ehman6介绍了基于Stewart平台正运动学方程的误差模型，它可在生产过程中使用公差分配敏感性分析。软件以可视化的形式把沿刀具路径的误差表现出来。2.2误差分量Weck 7 对一个或者多个直线轴运动中产生的定期或者不变的偏差和误差进行了描述，每个轴都有一个位置误差，两个直线度误差、三个角度误差，这将导致三轴机床产生21个扰度，Weck提供了对误差系统分类的方法和测量误差的方式。当前的著作经常关注单一的误差分量，热误差似乎是很多论文5,8-19的重点。在著作中，另一个常见的误差来源是是动态误差20-26和主轴误差27-31。在论文 32，33讨论了参考点误差。许多检验的方法尽量在补偿一个或者多个误差分量，在大多数情况下，导致了增加了总体积误差的风险而并不是减少这种误差。2.3机床误差的测量Sartori and Zhang 34对用直接和自动校准的方式来集合测量的方法进行了分类，这种分类依靠校准或者无标定的标准的使用来确定的。几何误差的向量方程被提出了，是在三轴机床情况下独立的机床结构方程。软件补偿是运用在三坐标测量中而不是机床中的原因是高速度的数据处理的需求，并且实际上，相比于机床，运动链的假设更容易应用在三坐标测量上。机床的综合误差补偿仍处于起步阶段，唯一的例外是三坐标测量机床。Wang and Ehmann 35使用伸缩杆，伸缩杆的一端用一个球连接固定在工件的位置上，另一端用一个有个三参考点的球支撑，用这种方法来测量位置误差。使用了三个参考点和使用了单独的一个参考点的标准三角法进行了应用和比较。Kakino等人 36还测量了数控机床的运动误差，并且对使用伸缩磁球杆法的起源进行了分析。Suh and Lee 37通过使用球杆仪在轮廓测试中得到了机床误差，并且在计算机辅助制造将会优化刀具路径的准确性。Ahn and Cho 38 使用激光测量了三轴铣床的21个误差分量中的18个齿侧间隙误差分量，并且使用一个通用的刚体运动模型找到了总体积误差。他们找到的齿侧间隙误差取决于位置和速度。Chen 等人 39使用校准了的激光干涉仪测量出了几何误差。Srinivasa 等人 13使用了激光球杆仪测量出了主轴热漂移。Balsamo等人 40回顾了使用球板技术来确定三坐标测量机床的参数误差，球板的主要优点是成本低、使用方便和对预先存在的误差补偿方案具有敏感性。Mou和 Lui 41使用了四种不同的参考部分来确定和改正误差，所有的部分都是二维轮廓。Ahn and Cho 10从不同的观点简要回顾了热误差的现状，但是声明，因为热误差的补偿无法预测由于切割温度随着时间的变化，所以热误差的补偿尚未完全解决。主轴安装五个位置传感器和一个神经网络模型，同时输入切割的深度，主轴的转速，用x代表切割的力度，y代表所用的切割时间，做成一个X，Y的工具坐标，然后输出的的结果是五位移。仅仅使用上述参数和环境温度的神经网络就可以正确的估计出热误差。2.4误差预算在机床设计中，误差预算的概念和分配也很重要。每一部分允许一定数量的误差（预算），这样总误差才可以被接受。每部分的误差导致一定的成本。这里的两个重要问题是，Treib and Matthias 42讨论的优化性和 Shen and Duffie 43讨论的总误差中的单个误差。2.5计算机辅助制造和数控机床中的刀具轨迹误差在多轴加工中，来源于计算机辅助设计与计算机辅助制造系统和数控插补器中的刀具轨迹误差是非常重要的。Moreton and Durnford 44为允许表面铣削的三轴车削中心（X，Y和C轴）开发了一种算法，在数控编程中，用这种算法，适当更正的运动和插值误差可以得到补偿。 Aekambaram和 Raman 45 通过减少插值误差，改进了计算机辅助制造系统中的刀具轨迹。他们认为在机床两个CL点之间的刀具轨迹是线性的。他们的算法提供了刀具轨迹和刀具轨迹函数的误差，以及CL点得数量和刀具轨迹长度。Lee 和 Chang 46分析了由于相邻的刀具轨迹之间的扇贝或尖端而产生的误差，复杂的微分几何给出了尖端误差和相邻的轨迹参数之间的关系。Hwang 47推导出了以运动学模型为基础的四轴铣床的真实轨迹的方程，这证明了运动误差的意义。这个方程可以在封闭形式下获得，因为真实的刀具轨迹曲线是一个平面凸曲线。Bohez等人 48最小化CL刀具中的误差，和最小化了通过用真实的弯曲的刀具轨迹来估计而不是使用分段的直线来估计的后置处理。Bohez 等人 49讨论了当工件接口不是一个刀具接触点而是曲线时，五轴铣机纹面的计算机辅助制造的算法和几何误差检验。3体积误差的概念图1说明闭环体积误差的概念。刀具接触点或者CC点是一个当刀具外表接触到加工中的理论中得表面时产生的点，在图1中用O或者O代表，O点代表了工具侧边的CC点， O点代表参照曲面上相应的点，O点和O点仅在图5中的离散位置是重合的。在图1中不会出现O点和O点处在不同位置的情况。由于各种工件侧边上的误差分量 mEi导致O点移动到D点，O点移动到D点导致了工具侧边的误差分量mEi。DD向量表示闭环体积误差，该误差可能是由热扩展、弹性变形，反弹、夹具定位误差等造成的。每一个五轴机床的工件侧边和工具侧边的分量是不同的。在图1中的所有的误差分量都是三维向量。4五轴机床的几何学和运动学4.1机械分类和运动链图 五轴机床是一个有五个自由度的机床，有三个平移运动X, Y, Z（通常用TTT代表）和两个旋转运动AB, AC 或者 BC(通常用RR代表)。运动链可以用一种简化的方式代表，图2 是图3中轴配置的代表。 图1、闭环体积误差 图2、YXBAZ机床图3、YXBAZ机床4.2逆运动学 在固定在工件的独立的机床坐标系中，计算机辅助制造系统生成刀具轨迹，从工件到机床坐标的转换叫做几何转换，或者更正确来说，类似机器人中逆运动学的说法50。看图3中的五轴配置，桌面上有两个旋转轴A和B。在直角坐标系统右边中，计算机辅助制造产生的刀具轨迹给了刀具向量参考位置。在五轴铣机的情况下，把x1，y1，z1，I1，J1，K1计算机辅助制造数据转换成机床坐标下的x4，y4，z4，A，B，转换后的数据通过G代码可以控制机床的运动，这种转换是必要的。几何转换将把工件坐标系统（O1）转换成可以固定在机框上的预设机床坐标系统。图4给了图3中机床配置一个参考位置的选择，在图3机床中的参考位置是A轴和B轴的交叉点，也就是在Z轴机床这个交叉点将会完全缩进。在这个点上，机床坐标轴会被重置为零。中间参考系统以这样一种方式被选择，这种方式是沿着参考坐标系统的轴线通过轮换，翻译，坐标转换将工件坐标转换成机床坐标。 X01，Y01，Z01是相当于O2的工件坐标系统中的原点坐标，该值取决于机床上工件的安装位置。下面的数值是机床相关的常数：Z02和X02是在O3系统中的O2的坐标。Z02：是O3参考系统中O2的坐标，它是一个结构误差(阿贝误差)或者是位于X2方向中心的A轴和B轴之间的偏差。这是一个系统误差的例子，该误差可以在逆运动学关系中直接得到补偿。如果，例如，A轴和B轴不完全垂直，这个误差也可以通过在逆运动学方程中额外的旋转得到补偿，它不会保持逆运动学关系这么简单。Z03：在参考系统O4中的O3的z4坐标。Z0F：在O4中刀具尖端的z4坐标或者刀具长度校正。图3和图4中的机床是从刀件坐标转换成机床坐标，x1，y1，z1，I1，J1，K1是刀件坐标。x4=(-(z1+Z01-X02)cos(B)+(x1+X01)cos(A)-(y1+Y01)sinA)+Z02)sin(B)y4=-(x1+X01)sinA+(y1+Y01)cosA)z4=-(Z03-(z1+Z01-X02)sin(B)+(x1+X01)cos(A)-(y1+Y01)sin(A)+Z02)cos(B)-Z0F)A=arctan(J1/I1) B=arctan(-K1/（I1平方+J1平方)1/2方） (1)G代码的命令是：G01 x4 y4 A B。 上述方法是一般的，但是参考系统的分配取决于五轴机床的类型。公式（1）仅仅对图3中的机床有效。5误差分析5.1一般数学模型Srivastava 等人 5 使用的方法可以通过机床运动模型的全微分的工件坐标微分dx1， dy1， dz1， dI1， dJ1，dK1可以通过下面方程式，用机床坐标函数微分dx4，dy4，dz4，dA， dB来表示。 图4、参考位置和中间参考系统dx1=Fx(dx4, dy4, dz4,dA,dB)dy1=Fy(dx4, dy4, dz4,dA,dB)dz1=Fz(dx4, dy4, dz4,dA,dB)dI1=FI(dx4, dy4, dz4,dA,dB)dJ1=FJ(dx4, dy4, dz4,dA,dB)dK1=FK(dx4, dy4, dz4,dA,dB) (2)这个方程式是普遍有效的，F函数取决于具体的五轴机床。下面的矩阵方程：X1=FX4是基于上述方程得到的。该F矩阵或者导数行列式可以分为四个矩阵，FTT， FTR， FRT和 FRR矩阵。第一个角标表示受影响了的工件坐标系，第二个角标表示受影响了的机床轴线。字母T代表平移轴和字母R代表旋转的自由度。位置向量也份成了T和R。以下是矩阵方程：X1T= FTT *X4T + FTR* X4RX1R = FRT *X4T + FRR *X4R （3）因为 I1，J1，K1与x4，y4，z4是无关的，所以矩阵FRT在许多具体情下都是零。随着机床坐标转换成工件坐标，上述矩阵可以计算分析。当微分d被有限差异代替，就可以开始误差分析了。5.2表面误差和体积误差的关系 逆运动学关系的总微分为计算总误差或者闭环体积误差提供了方程式。公式（3）的第一个分量可以这样写：x1=(FXX*x4+FXY*y4+FXZ*z4)+(FXA*A+FXB*B)。如果假定x4=y4=z4=A=B=1，然后方程就变成了x1=(FXX +FXY+FXZ)+(FXA +FXB)。通常情况下，F函数的分量将取决于所有机床的轴和参数，然而，在许多情况下，它们不是取决于所有机床的轴和参数。因此，如果F函数标绘我们选择的两个参数，表示在向量标记表面的总和：X1t(A,B)=Ftt(A,B)+Ftr(A,B)以类似的方式，X1r(A,B)=Frt(A,B)+Frr(A,B)也可以得到。 为了获得机床误差怎么累计的更清晰的描绘，我们把平动误差和转动误差分开考虑。矩阵FTT给出机床轴的线性误差DX4，DY4和DZ4和刀尖的位置坐标坐标DX1，DY1和DZ1之间的关系。矩阵FTT,FTR,FRT和FRR的原理可以视为每台机床轴的误差的扩增因素。误差表面显示这些放大因素。5.3 刀具轨迹的真实的参数方程计算机辅助设计/计算机辅助管理系统生成一个固定在工件坐标系的刀具路径。刀具路径的生成是基于假定工件做所有运动的基础上，刀具路径运算法则找到合适的工件的顺序位置，因此在刀具上的参考点(CL-point - ISO 3592)以线性方式移动（图5中的虚线），这种分段线性刀具路径是用CAM模块以这样的方式计算出的，随后的CC点也是在一定的公差范围内接近工件表面的线性刀具路径。图5显示了三个连续的刀具位置，V1、Vi11和Vi12。只有用2D平面绘制，才不影响一般性。从图中可以看出，该刀具将切去更多凸地区的工件材料。该刀具不会切除所有在凹区域的材料。 CAM模块的输出向量的有序集合：x1i，y1i，x1i，I1i，J1i，K1i（图5）。这些向量的X，Y，Z的CL-点（或刀具参考点）的坐标上的工具和刀具矢量的分量，I,J，K。目前所有的CAM系统计算CL点是假定连续两次CL -点的运动是线性。然而，这一点只有在3线性轴同时运动的情况下才成立。如果运动在5轴（三个直线和两个同时旋转）同时发生，那么两CL点间刀具路径是曲线。这条曲线的参数方程可以从几何变换公式很容易地获得。 5轴机床线性插值在5轴X4，Y4，Z4 ，A，B，所以在各个轴上的连续两个CL点的运动方程是： 0t1从机床到工件用变换方程代替这些方程，逆方程. (1), 在两个CL点I1和I11间，给出了在工件的刀具轨迹的参数方程坐标。通过计算机辅助运算（仅适合相同的工件并且仅当CL点在机床上也是线性的），机床将重现微分线性逼近，在5轴加工不是线性的而是弯曲的两CL点的真正的刀具路径。实体曲面线条在图5显示真正的CL和CC点的路径。这弯曲的真正的刀具路径明确引入了一个额外关于5轴直线插补式的误差。方程. (11)。此错误，应检查和补偿。这样使得后处理程序中使用真正的刀具路径的参数方程。如果这种真正的刀具路径偏离比的分段线性CL路径大，刀具路径将线性化。这运动学误差也被称为作为后处理程序的误差，因为那就是可以得到补偿的位置。 当偏差超出允许范围，上述“线性化”问题通过在5轴后处理系统中插入两个连续的cl点的以解决，这种方法是建立在连续两次CL点之间的6D Euclidean 距离减少， CL路径的偏差和实际的偏差也将减少的经验上。 如果在CL文件的生成与计算机辅助设计算法应用期间，真正的刀具路径可以对照几何模型，线性的后处理是可以避免的。不过，这将需要刀具路径生成算法知道其中一部分将被机床加工。这种级别的混合通常不提供或来自高昂的代价的黑箱。5.4刀具路径公差有三种方式，以检查真正的CAM公差（图5）： 1比较CL分段线性路径与CL点真正的刀具路径 2比较CC分段线性路径与CC点真正的刀具路径 3比较CC的几何模型与CC点真正的刀具路径 很显然，第一种方法来评价公差不是正确的。然而，如果某些条件得到，它还是能成立。第二种方法也不正确，因为它需要CC点。而在当前的CC点不能为CAM刀具路径提供标准的CL文档。第三种方法是主要的唯一正确途径。第三种方法不能使用因为它要求不仅要有CC点，但也要有几何模型。为了解决这个问题，假定分段线性CL-路径两个Cl点之间的真正的刀具路径是同一量级，就如这分段线CC路径和真正的刀具路径间的差异。 工件和几何模型的总公差可得出为：Ttot = MAXTCAM; TCL; Ttot是几何模型和真实的刀具路径在CC点间的公差，TCAM是CAM系统生成CL文件产生的误差，它是分段线性CC路径和几何模型之间的误差，TCL是分段线性CL-CL点之间和真正的刀具路径之间的公差。如果CL路径生成的公差TCAM=10.01毫米，20.1毫米和分段线性CL -路径之间真正的刀具路径之间的最大区别CL点是TCL= 10.02毫米，20.3毫米，那么总的公差则为Ttot=10.02毫米，20.3毫米。这清楚的表明，在后处理期间必须检查公差，如果TCL在任何地方都少于TCAM，则不需要任何动作。相反，则需要做一些调整到要求的公差，使得：Ttot = TCAM=TCL;这项工作将在线性化后处理部分的线性来处理。 公差的上述评估，在分段线性的CC -刀具路径是平行分段线性CL-刀具路径的情况下将是正确的。事实并非如此。额外的误差是由于连续两CC和CL点（图5）的角度造成的。这个在生成CL路径（TCC CL）时由CAM模块提供的值将在后期处理是非常有用，这种近似线性化过程中引入了一定程度的不确定性。还应当明确，如果CC点可以通过后置处理器处理的很接近，公差检验的第二种方法就应该使用。在这种情况下，CC的路径应该是线性化，而不是CL的路径。 从上面可以推断以下输入要求公差检查和线性化处理：CL -点，TCAM，刀具的几何形状。 通过CL文档标准输入不能获得：TCCCL /CC -点和工件的几何模型。5.5附加误差是因为工件的倾斜误差 然而，上述的体积误差并不是全部的误差。在图6还有一个工件向量方向误差。 由于CC点与CL点不重合，存在一个额外的测量误差。工具矢量分量I1，J1和K1可以解释为沿X，Y和Z，当CL点沿刀具轴的一个单位距离的变动，沿刀具轴移动一 图6. 刀具倾角误差个L的距离产生一个沿坐标轴的运动： 沿刀具矢量的误差，在一个点的位置，由于方向误差，将在距离L： 、 、都是取自公式。图6显示了在3维工件的倾向误差。两个工件的位置具有相同的CL点，但有不同的方向。可以看出，在CC点会移动。工件矢量端转化OA（DI1），AB（DJ1）和BC（DK1）。工件向量的长度是规范化，所以j CL J J CL=J 1。CC点的位置误差取决于所使用工件类型。这个误差随着CC和CL点（LCC CL，从CL到CC的向量）之间的距离，角度以及工件向量成比例。在一个平底立铣刀，LCC CL =Rtool的情况下，是在一个平面垂直于刀具矢量。如果工件坐标原点是转化的CL点， CC新的位置就可以找到。新的CC点的坐标的轴可以通过绕着W轴旋转工件角获得，轴W与X轴在XY平面形成轴角B。 (16) 这些误差分量仅能当CC点确定时才可以计算。如果切割接触处是一条线而不是一个点（例如平面铣削）。它甚至更复杂，这是因为CC接触线不平行的刀具轴49 6 一个特定的五轴机床的例子研究 现在用一般的方法证明一个特定的5轴机床。如图3图7. Error surface FTT6.1分析结果基于逆运动学关系的基础上（1）矩阵的原理可以计算出FTT, FTR, FRT 和FRR。 如前所述，这些矩阵代表参数曲面。图7的参数曲面（参数A和B）给出了机床的关系FTT。在图3，矩阵FTR给出了旋转轴A和B和刀尖位置补偿误差之间的关系。变量的误差表面在图8中有所涉及。 在图3机床的情况下，（假设1个单位的角度误差为A和B）。矩阵FRR在工件轴矢量方向影响着旋转机床。此误差的表面是在图9中表示，在图3机床的情况下， （再次假设等于1个单位的转角误差为A和B）。 FTT和FRR的误差是独立于机床的线性位置 X4，Y4和Z4。误差表面FTR作为附加参数X4，Y4和zp4（Z4调整刀具偏置）。在这里的误差取决于线性机床轴的位置。6.2解释并使用误差表面在图7中，笼统的看其误差表面，显示最大的误差组合将出现在Y1轴。同样，DX4，DY4和DZ4在Y1的最大误差将是两个单位（ISO -参数曲线B= 0和A=300）并且只有一个最大的长度单元在X1和Z1方向。这个Y1方向对应的Y轴方向上的机床。在机床的一般结构来看，在这个方向将会有一个大弹性变形，因为在这个面上存在一个大的偏心距。此外，这个值将被这两个因素放大。 对于A和B一定的值，DX4，DY4和DZ4的误差之间的关系可以得到。这些误差 ，例如，测量和/或计算变形。在图7的情况下。FTT DX4T如下： 这些关系表明，线性机床轴的误差对工件的体积误差的闭环是如何累积起来的。它们是互不干涉。误差（DX4，DY4和DZ4）本身也不过是个功能函数。 在第二个组体积误差是由于FTR DX4R。 FTR是在图8中表示。作为一个参数等参表面A和B的误差，由于旋转机轴，但也是一个工件的相对旋转轴中心的位置的函数。这是合乎逻辑的的，来自旋转中心A和B轴上的CC点离的越远，误差越大。在图8的表面绘制x4=300, y4=225 和z4 =200 mm ，这相当于在每个线性轴行程的中间位置绘制。这里的最大误差将是X1或Y1方向（500 X1，Y1和图8）。如果这些函数（DX4T，DX4R）已知，则 CNC控制或后处理可针对机床主轴位置补偿。6.3范例间隙误差 使用上述关系的说明，我们对间隙误差补偿进行了讨论。假设每个线性轴具有相同的间隙误差ETB，和每个旋转轴有相同的旋转间隙ERB。间隙误差被认为是不变的。只由标记不同方向的力或力矩而定。在加速过程期间，力将在运动方向。在减速过程中的力将在运动的反向。如果所有轴同时加速过程中所有的间隙误差有害的。在减速的情况下，间隙误差是积极的。从图7可以看出，它的最大的误差将沿Y1轴或2倍的ETB，A=300和B=0。额外的误差是由于旋转轴将最大（图8）500倍ERB或如果ERB是0.01度，最大误差将出现在X1和Y1方向：500mm*2pi*0.01/360=0.087mm,对于B=-180和任何一个位置。但是这些最大值（线性和旋转轴）一般不会发生相同的A和B位置。为了使线性和旋转轴每个位置补偿生效，总的误差可以用方程式计算出来。 （3），（6），（8）和（9）。校正时，从加速到减速，至少必须有一个轴的变化，反之亦然。更多的信息，需要找到总误差是可以通过CNC控制系统，需要加速控制算法获得的加速度。6.4刀具轨迹插补误差 这个误差总的来说在5.3节讨论过，这个假定可以通过例子按照常理处理。误差的变动可以从机床上减少3D和6D之间的距离值和CL点的定位件中查出。两个连续的CL点确定，和真正的刀具路线绘制出来。首先，刀具方向在刀具开始和结束的插补的位置，机床上的工件（XO1，YO1，在第4.2节ZO1）保持不变，而3D和 CL点之间的开始和结束的欧氏距离减少。两个Cl 点PI和PI11确定了： 此时机床坐标： 此时机床坐标： 两点之间的3D欧氏距离：415.331毫米。 图10显示了PI和PI11之间真正的刀具路径曲线的和直线。刀具矢量方向是在曲线的开始和结束显示。图11显示了沿路径的误差。表1说明了在3维内点的靠近与误差变化的关系。 从上面可以看出， 随着CL点接近的，误差并不遵循相同的下降。其原因是由于这一事实，虽然点在3D接近，但在6D的距离仍然很大。该表还清楚地表明，工作台上的工件上的位置也对误差的绝对值上有很大的影响。 为了减小误差，6D的CL点之间的欧氏距离必须减少。坐标和刀具角度必须更接近。表2说明了这个概念。7误差补偿的实施7.1误差测量 一个球门就5轴机床上来说可以被加工。然而，由于许多可能的方向旋转，将需要避免干扰，这样就导致许多参考点的变化。因此，一个基于调整参考点的方法产生了。 在5轴机床的五个刚体每个都有6个误差分量，三个平移及三个旋转误差。这五个机构的每一个误差，会互相影响。以下独立组件可能建立在3到5个机构的扩展上被区分： X4是在x轴的位置相对于机架的总误差。这些误差是由于转化错误的TX（U），所有的5轴机床在X轴方向的运动误差，和各地方的Y和Z轴机Z4乘以旋转绕Y轴或RY5轴转动误差（U）Z4，Y4乘以围绕Z轴或RZ（U）Y4旋转。 DY4和DZ4误差被发现以类似的方式。 由于周围机床X轴RX（U）的5轴转动的误差， DA是相对于机架转动的总误差。DB也是一样。 每个机构，例如，X轴有三个平动TX（X），TY（X）和TZ（X）和三个转动误差RX（X），也称为滚动，RY（X）的，