Lloyd-MAX算法的研究报告.doc

LloydMax 算法的总结摘 要：本文分析模拟数字信号转变过程中抽象信号为离散时间，幅度连续，无记忆的 随机信号的最佳量化问题。并对算法做了总结，应用MATLAB编写程序实现该算 法，最后给出了运用该程序进行计算的几个例子。关键词：非均匀量化，失真度，LloydMax算法一引言 模数转换要经过抽样，量化和编码三个步骤。如下图所示： SCH 编码量化抽样 为带限的平稳随机过程，根据抽样理论，我们可以对此随机信号进行奈圭斯特抽样抽样的输出为 。它是与 等效的离散抽样序列。经过量化器以后，用L个电平值来表示次 序列，然后对此L个电平进行编码（假设为2进制码）。如果L为2的整数幂。则每个量化电平需要的码长为： , 如果L不是2的整数幂。则上式为 。如果L个电平值不等概的情况下，我们可以用哈夫蔓编码（又叫熵编码）增加编码效率。 然而，量化过程用到数据的压缩，从而引进了信号的失真。这种失真即为量化失真。我们用量化误差来表示。本文的重点就是讨论如何最大限度的减小量化误差。二信息论的解释 21失真度D 假定抽样器的输出序列为 ，量化器的输出序列为 。 为不同的量化值。则两个量化值的失真为：如果p=2 ；则此失真称为均方失真。平均失真量为：如果x（t）是服从概率密度函数为p（x）的随机信号，则：失真度D：如果用： 来表示。量化噪声MSE：量化信噪比SNR：22率失真函数R（D）： 我们假定信源为无记忆，连续幅度，它的幅度概率密度函数为p（x），则率失真函数R（D）的表示式为： 现在分析一下失真函数R（D）的意义。给定允许的失真度D 的情况下，寻求平均互信息量的最小值。在信源编码过程中，该最小值的意义即为：给定一定的失真度D，存在最小的编码码长R。即可寻求最小的量化电平数L。因此，进行最佳量化设计的目标可以看成以下问题： A：给定量化电平数L，寻求一种方法使得失真度D最小。 B：对于允许的失真度D，怎样减少量化电平数L。本文章将讨论问题A，即怎样寻择量化方法使D最小。量化的方法有很多，如权量化，自适应量化，矢量量化和标量量化。下面将对标量量化进行讨论。三标量量化的最佳量化问题在信源量化中，如果我们知道量化器的输入信号为概率密度函数为p（x），则量化器可以进行优化。同样的，设输入的信号概率密度函数为p（x），量化电平数设为L。误差函数设为 量化失真度为D。最佳量化器的目的即为减小D，为此，必须正确选取最佳量化电平值和量化区间 。Lloyd-Max算法就是最佳量化的好的实现方法。我们称用Lloyd-Max算法的量化器为Lloyd-Max最佳量化器。为讨论该算法，我们先介绍均匀量化 对于均匀量化，设量化电平为： ，其中，为量化台阶当(k-1)x0.01 j=j+1; x(j)=dsum; dold=dsum; xdomin(1)=xmin;xdomin(qsteps+1)=xmax; for i=2:qsteps xdomin(i)=(xvalue(i-1)+xvalue(i)./2; end dsum=0; for i=2:qsteps+1 xstemp=xdomin(i-1):abs(xdomin(i)-xdomin(i-1)/100:xdomin(i); y=(xvalue(i-1)-xstemp).2).*g(xstemp); d=trapz(xstemp,y); dsum=dsum+d; end for i=2:qsteps+1 xstemp=xdomin(i-1):abs(xdomin(i)-xdomin(i-1)/100:xdomin(i); y1=xstemp.*g(xstemp); y2=g(xstemp); d1=trapz(xstemp,y1); d2=trapz(xstemp,y2); xvalue(i-1)=d1/d2; figure(j); plot(xvalue,1:1:qsteps,*,xdomin,1:1:qsteps+1,x) ylabel(the compute numbers) xlabel(regions (x) and outputlevels (*) end outputlevel=xvalue regions=xdomin distortion=dsumendj=j+1;x(j)=dsumoutputlevel=xvalueregions=xdominfigure(j);ylabel(the compute numbers)xlabel(regions (x) and outputlevels (*)plot(xvalue,1:1:qsteps,*,xdomin,1:1:qsteps+1,x)figure(j+1)clear c;for i=2:j c(i-1)=x(i);endplot(1:1:j-1,c,*)xlabel(the compute numbers)ylabel(everyone distortion)附录：计算举例：例子：1当 时，量化电平数L=16； =2。输入-20，+20 过程参数与图示：说明：main为主函数，outputlevel为量化输出电平值，regions为量化区域，distortion为量化失真度,x为每次迭代得出的量化失真度mainPlease input the pdf of the signal: exp(-x.2)/(2*4)/sqrt(2*pi*4)Please input the max amplitude of the signal: 20Please input the min amplitude of the signal: -20Please input the number of the quantization levels: 16outputlevel = -17.7225 -15.2575 -12.8047 -10.3710 -7.9677 -5.6117 -3.3209 -1.0969 1.0969 3.3209 5.6117 7.9677 10.3710 12.8047 15.2575 17.7225regions = -20.0000 -17.5000 -15.0000 -12.5000 -10.0000 -7.5000 -5.0000 -2.5000 0 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000 12.5000 15.0000 17.5000 20.0000distortion =0.5209outputlevel = -16.7250 -14.3051 -11.9139 -9.5678 -7.2895 -5.1032 -3.0152 -0.9973 0.9973 3.0152 5.1032 7.2895 9.5678 11.9139 14.3051 16.7250regions = -20.0000 -16.4900 -14.0311 -11.5878 -9.1694 -6.7897 -4.4663 -2.2089 0 2.2089 4.4663 6.7897 9.1694 11.5878 14.0311 16.4900 20.0000distortion =0.4092outputlevel = -15.7636 -13.4011 -11.0891 -8.8534 -6.7213 -4.7050 -2.7849 -0.9221 0.9221 2.7849 4.7050 6.7213 8.8534 11.0891 13.4011 15.7636regions = -20.0000 -15.5151 -13.1095 -10.7408 -8.4286 -6.1963 -4.0592 -2.0063 0.0000 2.0063 4.0592 6.1963 8.4286 10.7408 13.1095 15.5151 20.0000distortion =0.3390F4 F6F8F10F12outputlevel = -9.8274 -8.3387 -6.9523 -5.6241 -4.3372 -3.0791 -1.8402 -0.6122 0.6122 1.8402 3.0791 4.3372 5.6241 6.9523 8.3387 9.8274regions =-20.0000 -9.4395 -7.9327 -6.5133 -5.1524 -3.8325 -2.5406 -1.2661 0.0000 1.2661 2.5406 3.8325 5.1524 6.5133 7.9327 9.4395 20.0000distortion =0.1354x = 0.5209 0.4092 0.3390 0.2900 0.2536 0.2254 0.2029 0.1845 0.1692 0.1562 0.1451 0.1354 2 同样条件，输入为-60，60时的情况。 outputlevel = -10.1614 -8.5297 -7.0115 -5.6234 -4.3137 -3.0524 -1.8207 -0.6052 0.6052 1.8207 3.0524 4.3137 5.6234 7.0115 8.5297 10.1614 regions = -60.0000 -9.8716 -8.1112 -6.5563 -5.1407 -3.8037 -2.5136 -1.2506 0.0000 1.2506 2.5136 3.8037 5.1407 6.5563 8.1112 9.8716 60.0000 distortion = 0.1332 3同样函数，输入为-20，20，L=8时 outputlevel = -4.9505 -3.3100 -1.9443 -0.6436 0.6436 1.9443 3.3100 4.9505 regions = -20.0000 -4.2345 -2.7073 -1.3360 0.0000 1.3360 2.7073 4.2345 20.0000 distortion =0.16514同样函数，输入为-60，60，L=32时outputlevel = -31.8333 -28.4797 -25.0944 -21.8405 -18.7849 -16.0125 -13.5971 -11.5539 -9.8169 -8.2835 -6.8751 -5.5461 -4.2694 -3.0277 -1.8083 -0.6014 0.6014 1.8083 3.0277 4.2694 5.5461 6.8751 8.2835 9.8169 11.5539 13.5971 16.0125 18.7849 21.8405 25.0944 28.4797 31.8333regions = -60.0000 -31.7736 -28.3413 -24.9372 -21.6598 -18.5750 -15.7669 -13.3094 -11.2202 -9.4397 -7.8702 -6.4306 -5.0723 -3.7663 -2.4941 -1.2422 0.0000 1.2422 2.4941 3.7663 5.0723 6.4306 7.8702 9.4397 11.2202 13.3094 15.7669 18.5750 21.6598 24.9372 28.3413 31.7736 60.0000distortion =0.13085 输入为-20，20，L=16时outputlevel = -18.7500 -16.2500 -13.7500 -11.2500 -8.7500 -6.2500 -3.7500 -1.2500 1.2500 3.7500 6.2500 8.7500 11.2500 13.7500 16.2500 18.7500regions = -20.0000 -17.5000 -15.0000 -12.5000 -10.0000 -7.5000 -5.0000 -2.5000 0.0000 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000 12.5000 15.0000 17.5000 20.0000distortion =0.52096 （Laplacian 函数）， =4， 输入为-20，20，L=16； outputlevel =-17.6367 -14.4158 -11.6987 -9.1889 -6.8127 -4.5851 -2.5525 -0.7608 0.7608 2.5525 4.5851 6.8127 9.1889 11.6987 14.4158 17.6367 regions = -20.0000 -16.1299 -13.1992 -10.5930 -8.1362 -5.8057 -3.6387 -1.6887 0.0000 1.6887 3.6387 5.8057 8.1362 10.5930 13.1992 16.1299 20.0000 7和1。相同的条件： 当 时，量化电平数L=16； =2。输入-20，+20；改变迭代终止条件，即D0.01,改为D0.001的情况。o