克莱姆法则的一个简易证明.doc_第1页
克莱姆法则的一个简易证明.doc_第2页
克莱姆法则的一个简易证明.doc_第3页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

克莱姆法则的一个简易证明(学员作业)范崇金(哈尔滨工程大学理学院)在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式; 又为了完整和扣题, 是通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法则. 由于此时, 我们还没有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑. 特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数相同的)齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立. 在本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理. 用此引理, 我们又可以轻松地证明克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要条件. 虽然我们多加了一个引理, 但此引理突显的是消元法, 而这也是线性代数中理应强调的. 引理 线性方程组可以通过消元变换(将一方程的倍加到另一个上)变为同解方程组. 证明 首先, 通过消元法我们证明方程组可化为下列形式的同解方程组. (1) 若, 用乘第1个方程加到第方程上, 方程组就可以化为方程组的形式; (2) 若, 但某个, 则先将第个方程加到第1个方程上, 再进行按上面的方法进行; (3) 若, 结论成立. 对于方程组的后个方程再进行同样的处理即知本引理成立. 克莱姆法则 若线性方程组的系数行列式, 则此方程组有唯一的一组解 ,这里是将中的第列换成得到的行列式.证明 由上述引理, 方程组与同解, 且它们的系数行列式相等, 即. 再对方程组从下向上逐步消元知, 方程组与同解, 且 再由行列式的性质, 我们还有, , ., .于是.定理 齐次线性方程组有非零解系数行列式.证明 设齐次方程组有非零解, 我们用反证法来证实. 假设, 由克莱姆法则知此方程组有唯一一组解; 又因为齐次方程组一定有零解, 故方程组无非零解. 这与开始的假设矛盾. 此时, 以为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解. 由引理知, 方程组与方程组同解, 且. 此刻, 至少有一个. 设中第一个为0的是. 现在, 取代入方程组, 方程组化为.此时, 方程组的系数
人人文库> 全部分类> 生活休闲 > 科普知识

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论