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第八讲一试真题分析（一）名人名言毕达哥拉斯（二）令比达格拉斯学派引以为傲的应该是“毕达哥拉斯定理”的发现，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方我国称为“勾股定理”毕达哥拉斯定理可谓数学史上的第一块里程碑，它揭示了三角形边长的数量和形状的关系，后来成为解析几何的“距离公式”，并在高维空间的数学中有着重要作用，因此被人们誉为数学大厦的“拱心石”毕达哥拉斯定理已有多年的历史，它的证明方法多达余种，这中间有著名画家达芬奇的杰作，也有一位盲童的贡献，甚至爱因斯坦也和毕氏定理有过邂逅有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕氏定理得内容，而未讲任何证明他的侄儿理解所涉及的关系，并感到基于一种理由可推导出来这个小孩在三个星期中用其全部的思维力量去证明这一定理他专注到三角形的相似性（从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线）得到了一个证明为此他久久地激动不已！这虽然仅涉及一个非常古老的著名定理，他却经历了发现者的首次快乐据说毕氏学派为了纪念这一发现，要杀掉一百头牛来庆贺但是，他们却没有想到，由毕达哥拉斯定理引发的关于无理数的发现，却使毕达哥拉斯学派陷入困境根据“毕达哥拉斯定理”，单位正方形对角线的长应为，那么是什么性质的数呢？毕达哥拉斯派认为“万物皆数”的“数”是整数或可以表示整数的比的数，即有理数但是，这一信条在上出现了例外因为，如果可以表示为两个整数的比，即有：，是两个互素的整数，由此得：，即是偶数；那么是偶数，据此是偶数，则也是偶数，这与，互素矛盾！这个矛盾是对毕达哥拉斯学派的严峻挑战据说为了严守秘密，在一次乘船出游时，发现这个“秘密”的希帕索斯被扔进了大海谁也不会想到，中学课本所说的“无理数”的背后会有这样一个悲惨的故事！不过，需要指出，“无理数”并不是“没有道理的数”，而是“不可比的数”知识点拨一、函数1函数的图象及其变换平移、伸缩；对称；翻折：，2函数的性质奇偶性；单调性；周期性3函数的最值在闭区间内连续，则必有最大值与最小值恒成立或二、数列1求通项公式 常见形式即一般求解方法注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了若，则显然是以为首项，为公差的等差数列；若，则两边同时加上，变为，显然是以为首项，为公比的等比数列；或由及，两式相减得，有是首项为，且公比为的等比数列，先求出，再求出，其中不是常数若，则显然，；若，则两边同时除以，变形为，利用叠加法易得，从而形如的递归式，其通项求法为（累积法）形如（）的递归式，两边取对数有，令，则，仿得，再求注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法” 不动点法当时，的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法典型例子：注：感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了令，即，令此方程的两个根为，若，则有其中可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解注：如果有能力，可以将的表达式记住，；若，则有其中可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解注：如果有能力，可以将的表达式记住， 特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程特征方程为，令其两根为，则其通项公式为，、用待定系数法求得特征方程为，令其三根为则其通项公式为，、用待定系数法求得通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了2数列求和求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里再介绍一个竞赛中应当掌握的方法阿贝尔恒等式阿贝尔（Abel）恒等式有多种形式，最一般的是：，其中一般的，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用Abel恒等式就是给出了一个新的求和方法很多时候能简化不少三、不等式 均值不等式链设，则（调和平均）（几何平均）（算术平均）（平方平均）（次方平均，），等号成立的条件是 柯西不等式设与，则等号成立的条件是 排序不等式设有两个有序实数组：；是的任一排列，则有 （同序和）（乱序和）（反序和）当且仅当或时，等号成立四、解题思想与方法1函数与方程思想 2数形结合思想 3分类讨论思想 4转化 5换元法 6配方法 7判别式法 8局部调整法例题精讲【例1】 （2009年全国高中数学联赛）若函数且，则 （2005年全国高中数学联赛）已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是_【例2】 （2006年全国高中数学联赛）设，则的取值范围为（ ）A B，且 C D（2004年全国高中数学联赛）不等式的解集为（ ）ABCD【例3】 （2009年全国高中数学联赛）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【例4】 （2006年全国高中数学联赛）方程的实数解的个数为_【例5】 （2007全国高中数学联赛）将号码分别为、的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为则使不等式成立的事件发生的概率等于（ ）A B C D 【例6】 （2009年全国高中数学联赛）求函数的最大和最小值【例7】 （2008年全国高中数学联赛）解不等式：【例8】 （2005年全国高中数学联赛）数列满足：证明：对任意为正整数；对任意为完全平方数大显身手1 （2009年全国高中数学联赛）使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 _2 （20