第五章 测量误差.ppt

测量学第5章测量误差基本知识 第5章测量误差及数据处理的基本知识 5 1概述 5 2观测值的算术平均值 5 3衡量观测值精度的标准 5 4误差传播定律 5 5加权平均值及中误差 测量与观测值 观测与观测值的分类 观测条件 等精度观测和不等精度观测 直接观测和间接观测 独立观测和非独立观测 5 1测量误差概述 5 1测量误差概述 1 测量误差及其来源 测量误差的来源 1 仪器误差 仪器精度的局限 轴系残余误差等 2 人为误差 判断力和分辨率的限制 经验等 3 外界条件的影响 温度变化 风 大气折光等 测量误差的表现形式 测量误差 真误差 观测值 真值 观测值与真值之差 观测值与观测值之差 例 误差处理方法钢尺尺长误差 ld计算改正钢尺温度误差 lt计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消 前后视等距 经纬仪视准轴误差C操作时抵消 盘左盘右取平均 2 系统误差 误差出现的大小 符号相同 或按规律性变化 具有积累性 系统误差可以消除或减弱 计算改正 观测方法 仪器检校 测量误差分为 粗差 系统误差和偶然误差 2 测量误差的种类及处理方法 1 粗差 错误 超限的误差 3 偶然误差 误差出现的大小 符号各不相同 表面看无规律性 例 估读数 气泡居中判断 瞄准 对中等误差 导致观测值产生误差 准确度 测量成果与真值的差异 最或是值 最接近真值的估值 最可靠值 测量平差 求解最或是值并评定精度 4 几个概念 精 密 度 观测值之间的离散程度 举例 在某测区 等精度观测了358个三角形的内角之和 得到358个三角形闭合差 i 偶然误差 也即真误差 然后对三角形闭合差 i进行分析 分析结果表明 当观测次数很多时 偶然误差的出现 呈现出统计学上的规律性 而且 观测次数越多 规律性越明显 3 偶然误差的特性 用频率直方图表示的偶然误差统计 频率直方图的中间高 两边低 并向横轴逐渐逼近 对称于y轴 频率直方图中 每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k n 而所有条形的总面积等于1 各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状 表现出偶然误差的普遍规律 图5 1误差统计直方图 从误差统计表和频率直方图中 可以归纳出偶然误差的四个特性 特性 1 2 3 决定了特性 4 特性 4 具有实用意义 3 偶然误差的特性 偶然误差具有正态分布的特性 当观测次数n无限增多 n 误差区间d 无限缩小 d 0 时 各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线 这条曲线称为 正态分布曲线 又称为 高斯误差分布曲线 所以偶然误差具有正态分布的特性 图5 1误差统计直方图 5 2算术平均值原理 一 算术平均值原理在等精度观测条件下 对某量作一系列观测 取其观测值li的算术平均值 做为真值X的最可靠估值 最或是值 二 最或是误差 观测值的改正数 作为计算检核 代替真误差 用最小二乘法证明算术平均值原理 最小二乘法的意义 见下图 根据n个实验点可回归出的直线方程有无数个 其中使各个点至直线的距离vi满足 vv 最小的为最优估值 最或是值 证明 vv v12 v22 vn2 x l1 2 x l2 2 x ln 2 vv 2 x l1 2 x l2 2 x ln vv 2 2 2 2n 0有极小值当 vv 2 x l1 2 x l2 2 x ln 0即当 时 vv 最小 满足最小二乘法原理要求 即在等精度观测中 算术平均值x为真值X的最优估值 最佳估值 最或然值 最可靠值等 1 方差与标准差 x y 正态分布曲线 a 0 令 上式为 5 3衡量精度的指标 标准差的数学意义 表示 的离散程度 x y 较小 较大 称为标准差 测量工作中 用中误差作为衡量观测值精度的标准 中误差 观测次数无限多时 用标准差表示偶然误差的离散情形 P123表5 2 m1小于m2 说明第一组观测值的误差分布比较集中 其精度较高 相对地 第二组观测值的误差分布比较离散 其精度较低 m1 2 7 是第一组观测值的中误差 m2 3 6 是第二组观测值的中误差 例 对于同一个三角形分别观测两组各十次 每次测得三角形内角和的真误差 第一组 0 1 2 0 8 1 2 0 7 4 第二组 4 2 3 1 2 4 3 1 3 2 若以平均误差 n计算 则两组相同 均为2 5 由于中误差能突出地反映出大误差的存在 因而能较好地评定误差分布的离散程度 即精度 白塞尔公式 在等精度观测中 以算术平均值为最或然值代替真值 以最或然误差代替真误差 m 观测值中误差 一测回中误差 并不等于每个观测值的真误差 而是一组观测值真误差离散程度的代表 算术平均值中误差mx 例题 等精度观测某角四测回 观测值如下表 求其算术平均值 一测回中误差及算术平均值中误差 257 36 00 12 6 6 12 0 144 36 36 144 360 2 容许误差 极限误差 3 相对误差 相对中误差 误差绝对值与观测量之比 用于表示距离的精度 用分子为1的分数表示 分数值较小相对精度较高 分数值较大相对精度较低 K2 K1 所以距离S2精度较高 0 02m 0 02m 例题 746 124 9 2 6 5 2 8 0 81 4 36 25 4 64 214 5 3误差传播定律及其应用 水准测量中 h a b高差h为水准尺读数a b的差函数 若a b的观测误差以偶然误差为主 可根据多次实验测出其中误差 例如 ma 1mm mb 1mm 那么高差的中误差mh 1 2 0 2 研究观测值函数误差传播的规律 称为误差传播定律 一 和差函数 设Z X Y X Y不相关 有观测误差 真误差 平方求和 除以n 根据偶然误差第四特性 有 和差函数误差 二 倍函数 设Z KX K为常数 有观测误差 真误差 平方求和 除以n 倍函数误差 例 在1 1000地形图上量得图上距离d 123 456mm 其误差md 0 1mm 则其实地距离D及其误差mD D 123 456m mD 0 1m 三 线性函数 设Z K1 X1 K2 X2 Kn Xn 设Yi Ki Xi 则 代入和差函数传播定律 则得线性函数传播定律 例 算术平均值 算术平均值中误差 四 一般函数 设有函数Z f X1 X2 Xn Xi间不相关 Z Z f X1 1 X2 2 Xn n 求全微分 式中的各偏导数 在实际观测了各Xi后 即为常数 以微分代表测量真误差 上述全微分公式与线性函数的真误差公式相似 则有 如图6 3所示 用测距仪测得斜距L 1287 44m 10mm 竖直角 23 12 18 6 仪器高i 1 454m 2mm 镜高v 1 565m 2mm 求AB间距离D及高差hAB的中误差 解 1 计算公式 3 代入公式 计算得 2 分别求全微分 206265 误差传播应用示例 水准测量 水准测量的高差中误差设水准测量测定A B两点间高差 中间共设n站 则A B间高差等于各站高差之和 即hAB h1 h2 hn设每站高差中误差均为m站 则有 即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比 即水准测量高差中误差与路线长的平方根成正比 若为平坦地区 测站间距离S大致相等 设A B间的距离为L 则测站数n L S 代入上式 并设每公里高差中误差 m站 S 得 误差传播应用示例 角度测量 1 由三角形闭合差计算测角中误差 菲列罗公式设在三角网中等精度观测各三角形内角 其测角中误差均为m 各三角形闭合差fi 闭合差的中误差m 为 闭合差是内