初三数学 典型例题及习题精选-人教版.doc

初三数学：第七章 圆第一节：圆 第二节：过三点的圆 第三节：垂直于弦的直径第四节：圆心角、弧、弦、弦心第五节：圆周角 第六节：圆的内接四边形 第七节：直线和圆的位置关系第八节：切线的判定和性质 第九节：三角形的内切圆第十节：切线长定理第十一节：弦切角第十二节：和圆有关的比例线段 第十三节：圆和圆的位置关系第十四节：两圆的公切线第十五节：相切在作图中的应用第十六节：正多边形和圆第十七节：正多边形的有关计算第十八节：画正多边形第十九节：圆的周长、弧长第二十节：圆、扇形、弓形的面积第二十一节：圆柱和圆锥的侧面展开图第一节：圆 典型例题例1（天津2002中考试题）、已知AB、CD是O的两条直径，则四边形ACBD一定是()（A）等腰梯形（B）菱形（C）矩形（D）正方形分析：问题的关键是圆的两条直径具备什么性质，构成特殊四边形的条件.解：AB、CD是O的两条直径，AB=CD，且AB、CD互相平分，ACBD一定是矩形.应选（C）.说明：巩固圆的定义；研究特殊四边形的顶点共圆问题.是圆与直线形知识的综合.（此题适宜第一课时用）例2、已知等腰直角三角形ABC（如图），试取斜边AB上的一点为圆心画圆，使点A、B、C分别在所画的圆内、圆外和圆上分析：确定一个圆有两个条件：圆心和半径，设选取圆心是点O，因为点C要在所画圆上，所以OC即为所画的圆的半径（此题适宜第一课时用）解：作中线CD，则AD=BD=CD，且CDAB在AD上任取一点0，连接OC以0为圆心，OC为半径画圆，这个0即符合要求这是因为AOAD=CDOC (垂线段最短)，所以点A在0内BO=BD+DO=CD+DOCO(三角形两边之和大于第三边)，所以点B在0外说明：该题可以激发学生的思维，提高学习兴趣；在画的过程中，复习和巩固知识，培养学生的思维能力.例3、判断题（1）直径是弦（ ）（2）弦是直径（ ）（3）半圆是弧（ ）（4）弧是半圆（ ）（5）长度相等的两段弧是等弧（ ）（6）等弧的长度相等（ ）解（略）说明：通过原命题和逆命题的对比，深刻理解概念.另外这样的题目很多，这里知识抛砖引玉.（此题适宜第二课时用）例4、已知：如图，两同心圆的直径AC、BD相交于O点.求证：AB=CD.分析：证AOBCOD即可.证明：两同心圆的直径AC、BD相交于O点，O点为两同心圆的圆心，OA=OC，OB=OD，又AOB=CODAOBCOD（SAS）AB=CD.说明：此题目不难，但它是以“同心圆”为背景的，所以该题目重点不是证明过程，而是“同心圆”具备什么性质和特征.（此题适宜第二课时用）习题精选习题1：圆的有关性质（1）（圆的概念、点和圆的位置关系）1、以2cm 为半径可以画_个圆，以O为圆心可以画_个圆，以O为圆心，以 2为半径可以画_个圆2、已知O的半径为5 cm，P为一点，当OP5 cm时，点P在_；当OP_时，点P在圆内；当OP大于5 cm时，点P在_3、在ABC中，C=90，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点在圆外的有_，在圆上的有_，在圆内的有_4、已知O的直径是6 cm，若P是O内部的一点，则OP的长度的取值范围是().(A) OP6cm(B) (C) (D) 5、点P到圆上的最大距离为8cm，最小距离为6cm，求O的半径，并说明如何找最大距离和最小距离.6、以O的半径OA为边作正方形OABC，求证点B在圆外，点C在圆上，两对角线的交点M在圆内.习题1答案1、无数多，无数多，一个；2、圆上；圆外. 3、B，M，A、C.4、C5、解：如图，连接OP，直线OP交O于A、B，设M是O上异于点A和点B的一点.连接OM和MP，则有PA=OP+OA=OP+OMPM，PB=OB-OP=OM-OPPM由此可以得知PA、PB表示点P到圆上的最大距离和最小距离. 方法一设O的半径为R，解得R=7，即O的半径为7cm.方法二设O的半径为R，则有2R8+6，解得R=7，即O的半径为7cm.若点P在圆外，如图，设圆的半径为r，则有6十2r8，r1，即圆的半径为1 cm.即O的半径为1cm.故此圆的半径为7cm或1 cm6、解：如图，设OA=R，则OC=R=AB=BC. 在RtOAB中，OC=R，点C在圆上；，点B在圆外；正方形对角线交于M，点M在圆内习题2 圆的有关性质（2）1、以点C为圆心，任意画三个圆，则它们是_圆.2、一个圆的最大的弦长为10cm，则此圆的半径为_.3、如图，则图中有_条直径，有_条弦，以A点为一个端点的优弧有_个，劣弧有_个. 4、下列说法正确的是（ ）（A）两个半圆是等弧（B）同圆中优弧与半圆的差必为劣弧（C）同圆中优弧与劣弧的差必为劣弧（D）由弦和弧组成的图形叫弓形5、如图，已知：O中，A、B在圆上，AM=BN。求证：四边形ABNM为等腰梯形6、求证：直径是圆中最长的弦.习题2答案1、同心 2、5cm 3、1，3，4，4 4、B 5（略）6、已知：如图， AB是O的直径，CD是非直径的任一弦. 求证：ABCD. 证明：连结OC、OD在ODC中，OC+ODCD，又AB是O的直径，AB=CO+ODABCD.第二节：过三点的圆 典型例题例1、如图，表示一块破碎的圆形木盖，确定它的圆心分析：根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理可作出圆心作法：(1)在弧上任取三点A、B、C；(2)连接AC、BC；(3)分别作AC、BC的中垂线MN、PQ，相交于点0，点0即为所求圆心说明：此题是最基础的题目，主要培养学生的作图能力，学生必须落实.例2、如图，在ABC中，BD、CE为ABC的中线，延长BD到F，使DF=BD.延长CE到G，EG=CE.求证：过A、G、F三点不能作圆分析：只要证明点G、A、F三点共线即可证明：连接AG、AF、BG、CF.AD=DC、BD=DF，四边形ABCF是平行四边形故AFBC.同理AGBC是平行四边形，故AGBC.点G、A、F三点在同一直线上过点G、A、F不可能作圆说明：此题是小型一个综合题，主要培养学生的思维能力.例3、如图，在梯形ABCD中，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF求证：EFAB分析：对反证法思想的理解和基本步骤的掌握是解决本题的关键.证明：(用反证法证明)假设EF与AB不平行，作EGAB交BC于G(如图所示)，则 E为AD的中点，CGBG即G是BC的中点一条线段只有一个中点，F不是BC的中点，这与已知条件矛盾因此假设EF与AB不平行是错误的，EFAB说明：此题目的是理解和掌握反证法的基本步骤，是初中应用反证法证明的典例之一.例4、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.已知：在ABC中，AB=AC.求证：A、B为锐角.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；(1)由A=B=90则A+B+C=A+90+90180，这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90这个假设不成立.(2)由90B180，90C180，则A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾.两个底角都是钝角这个假设也不成立故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角.说明：本例中“是锐角(小于90)”的反面有“是直角(等于90)”和“是钝角（大于90)”两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.习题精选1、下列命题中正确的为（ ）（A）三点确定一个圆（B）圆有切只有一个内接三角形（C）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点（D）面积相等的三角形的外接圆是等圆2、钝角三角形的外心在（）（A）三角形的内部（B）三角形的外部（C）三角形的钝角所对的边上（D）以上都有可能3、己知命题：(1)三角形中最少有一个内角不小于60；(2)三角形的外心到三角形各边的距离都相等. 下面判断中正确的是（ ）（A）命题(1)(2)都正确（B）命题(1)正确，(2)不正确（C）命题(1)不正确，(2)正确（D）命题(1)(2)都不正确4、用反证法证明ab时，应先假设_.5、若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是_梯形.6、已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上. 7、如右上图，在ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证CD、BE不可能互相平分.参考答案：1、C；2、B；3、B； 4、 ； 5、等腰；6、（略）；7、提示：应用反证法（略）第三节：垂直于弦的直径典型例题1、如图，已知O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求CD的长. 分析 要充分利用条件BED=30，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求得未知量.解 过O作OFCD于F，连结CO，AE=6cm，EB=2cm，AB=8cmOA=AB=4cm，OE=AE-AO=2cm，在RtOEB中，CEA=BED=30，OF=OE=1cm.在RtCFO中，OF =1cm，OCOA4cm，CF=cm又OFCD CD2CF2cm答：CD的长为2cm.说明：此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时，常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解；另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解，较为困难.2、已知：ABC内接于O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；利用条件构造垂径定理的基本图形解题解：分两种情况： （1）如图，过A作ADBC于D，又AB=AC，点O在AD上，OD=3cm连结OB，在RtODB中，OB=5cm，OD=3cm，由勾股定理，得，在RtADB中， AD=AO+OD=5+3=8cm，由勾股定理，得，（cm）（2）如图，同理可得：AB=（cm）说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题；作辅助线的能力3、在直径为50cm的O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且ABCD，求：AB与CD之间的距离. 分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的两侧，即有两解.解：（略，8cm，22cm）说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题.4、已知：如图，AB是O的直径，CD是弦，AECD于E ，BFCD于F .求证： CE=DF ；OE=OF 分析：本题的关键是作OHCD，构造垂径定理的基本图形解题，另外还用到平行线等分线段定理等.证明：（一）过O作OHCD于H，AECD，BFCD AEOHBFAO = BO EH = HF OHCD且O为圆心CH = HD CHEH = HDHF 即 CE = DF EH = HF ，OHEF OH是EF的中垂线 OE = OF .证明（二）延长EO交BF于G，用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE = OF.说明：（1）此题展示构造垂径定理的基本图形解题的基本方法；（2）让几何动起来.引申：让弦CD动起来，与直径AB不相交，让学生在运动中观察、发现问题，培养学生的探究能力.5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是 的中点，ADBC于D，求证：AD= BF. 分析：（方法一）由于A是 的中点，连结OA可构造垂径定理的基本图形，BE=BF，ADOBEO，得AD=BE=BF.（方法二）如图，补圆，延长AD交O于E，造垂径定理的基本图形，问题即可解决. 证明：（略）说明：此题是垂径定理的应用为过程，培养学生的发散思维.第四节：圆心角、弧、弦、弦心典型例题例1、如图，已知：在O中， =2 ，试判断AOB与COD，AB与2CD之间的关系，并说明理由.分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中.解：AOB=2COD， AB CC，CC2CD，即AB0，说明：添加辅助线，构造直角三角形；构成典型的双垂直图形，非常重要例3、（陕西省，2002）已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是 的中点，ADBC于点D，BF交AD于点E（1）求证：BEBF=BDBC；（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理分析：（1）连结FC，证BDEBCF即可；（2）要比较两条线段的大小，通常是把两条线段转移到一个三角形内，利用大角对大边来判断证明：（1）连结FC，则BFFC在BDE和BCF中，BEC=EDB=90，EBC=EBD，BDEBCF，即BEBF=BDBC解：（2）AEBD，连结AC、AB，则BAC=90， = ，1=2又2+ABC=90，3+ABD=90，2=3，AE=BE在RtEBD中，BEBD，AEBD说明：训练学生添加辅助线；第（2）小问是教材P102中3题的拓展例4、（太原市，2002）如图，已知BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BF（1）求证： = ；（2）如果sinFBC=，AB，求AD的长解：（1）连结ACBC是O的直径，BAC=90，又ADBC，垂足为D，1=3在AEB中，AE=BE，1=22=3， = （2）设DE=3x，ADBC，sinFBC=，BE=5x，BD=4xAE=BE，AE=5x，AD=8x在RtADB中，ADB=90，AB，解这个方程，得 x=1，AD=8说明：此题是教材P102中3题的变形；训练学生求线段长度的方法：直接求和列方程求解习题精选1、O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）（A）30（B）150（C）30或150（D）)602、ABC中，B90，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12 ，则 的度数为（ ）（A）60（B）80（C）100（D）)1203、如图，ABC是O的内接等边三角形，D是AB弧上一点，AB与CD交于E点，则图中60的角共有( )个（A）3（B）4（C）5（D）64、如图，ABC内接于O，OBC=25，则A的度数为（ ）（A）70（B）65（C）60（D）)505、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为_6、如图，AB是O的直径，CDAB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长7、已知：如图，ABC是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：参考答案和提示：1、C；2、A；3、B；4、B；5、45，60，75；6、提示：连结BC，构成双垂直三角形，由ADCACB，ADCCDB得比例式，求得CD=6cm，AC= cm7、提示：连结AD，可证C=D=BAG，ABGCBA即可第六节：圆的内接四边形 典型例题例1、圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数的比是327，求四边形各内角度数解：设A、B、C的度数分别为3x、2x、7xABCD是圆内接四边形A +C=180即3x+7x=180，x=18，A=3x=54，B=2x=36，C=7x=126，又B+D=180，D=180一36144说明：巩固性质；方程思想的应用例2、（2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于D求证：DB=DC分析：要证DB=DC，只要证BCD=CBD，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决证明：AD平分EAC，EAD =DAC，EAD为圆内接四边形ABCD的外角，BCD=EAD，又CBD=DAC，BCD=CBD，DB=DC说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁例3、如图，ABC是等边三角形，D是 上任一点，求证：DB+DC=DA分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明证明： 延长DB至点E，使BE=DC，连AE在AEB和ADC中，BE=DCABC是等边三角形AB=AC 四边形ABDC是O的内接四边形，ABE=ACDAEBADCAEB=ADC=ABCADE=ACB，又 ABC=ACB60，AEB=ADE=60 AED是等边三角形，AD=DE=DB+BEBE=DC，DB+DC=DA说明：本例利用“截长”和“补短”法证明培养学生“角相等的灵活转换”能力在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视习题精选1、已知ABCD是圆内接四边形，若A与C的度数之比是12，则A的度数是_度2、若A，B，C，D四点共圆，且ACD为36，则 所对的圆心角的度数是_度3、圆内接四边形相邻三个内角的比是217，则这个四边形的最大角的度数为_度4、圆内接平行四边形一定是（ ）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形5、四边形ABCD内接于圆，则A、B、C、D的度数比可以是( )（A）1234（B）75108（C）131517（D）13246、若ABCD为圆内接四边形，AECD于E，ABC=130，则DAE为（ ）（A）50（B）40（C）30（D）207、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形( )（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对8、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DBCE，求证：ADBC=CDBE；（2）若ADBC=CDBE，求证：DBCE9、已知：O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交O于F求证：AFC=DFE参考答案：1、60；2、72；3、160；4、A；5、C；6、B；7、A；8、提示：连结AC，证明ADCCBE即可；9、（略）第七节：直线和圆的位置关系典型例题例1、在RtABC中，C=90，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=1cm；（2）r= cm；（3）r=2.5cm分析 如图，欲判定C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可解：过C点作CDAB于D，在RtABC中，C=90，AB=4，BC=2，AC=2 ，ABCD=ACBC， ，（1）当r =1cm时 CDr，圆C与AB相离；（2）当r= cm时，CD=r，圆C与AB相切；（3）当r=2.5cm时，CDr，圆C与AB相交说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系例2、在RtABC中，C=90，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与C，（1）相交；（2）相切；（3）相离求半径r的取值解：过C点作CDAB于D，在RtABC中，C=90，AB=4，BC=2，AC=2 ，ABCD=ACBC， ， （1）直线AB与C相离，0 rCD，即0rCD，即r 说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径例3、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=D=90，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使RtPBCRtAPD？分析：若RtPBCRtAPD，则APD+BPC=90，可知APB=90，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为O与DC相切，所以存在一点P，使RtPBCRtAPD解：设以AB为直径的圆为O，OPDC，则：OP为直角梯形ABCD的中位线，OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又OA=OB=AB/2=3，OP=OA，O与DC相切，APB=90，APD+BPC=90又PBC+BPC=90，APD=PBC，又C=D=90，RtPBCRtAPD因此， DC上存在点P，使RtPBCRtAPD说明：直线与圆位置关系的应用；此题目可以变动数值，使DC与O相交、相离习题精选（一）习题精选填空题：1、已知O的直径为12cm（1）若圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与O 的位置关系为_；（2）若圆心O到直线l的距离为6cm，则直线l与O 的位置关系为_；（3）若圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与O 的位置关系为_2、已知O的直径为10cm（1）若直线l与O相交，则圆心O到直线l的距离为_；（2）若直线l与O相切，则圆心O到直线l的距离为_；（3）若直线l与O相离，则圆心O到直线l的距离为_3、两个同心圆，大圆半径R3 cm，小圆半径r2 cm，d是圆心到直线l的距离，当d=2 cm ，l与小圆的交点个数为_， l与大圆的交点个数为_；当d=2.5cm，l与小圆的交点个数为_， l与大圆的交点个数为_4、过圆上点可以作圆的_条切线，过圆外一点可以作圆的_条切线，过_点，不存在圆的切线解答题：5、已知O中的最长的弦为8，当圆心到直线l的距离d为何值时，直线l与O相切、相离、相交?6、在RtABC中，C=90，AB=8cm，BC=4cm，以点C为圆心，半径分别为2cm和4cm画两个圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系?当半径多长时，AB与O相切?7、已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，C=D=90，切AD+BC=AB，AB为O的直径，求证：O与CD相切参考答案：1、相离，相切，相交；2、大于0小于5，等于5，大于5；3、一个，两个；没有，两个；4、一条，两条，圆内；5、当d =4时，相切；当d 4时，相离；当0 d 4时，相交6、提示：过点C作CFAB于F，CF=2 当r =2cm时 CFr，圆与AB相离；当r=4cm时，CFr，圆与AB相交；当r=CF=2 时，圆与AB相切7、提示：过点O作OECD于E，利用梯形中位线可知，OE=（AD+BC）/2=AB/2=OA，O与CD相切切点个数为6当r9时，O与ABC不能相切，即切点个数为0第八节：切线的判定和性质 典型例题例1、如图，ABC内接于大O，BC，小O与AB相切于点D求证：AC是小圆的切线分析 AC与小O的公共点没有确定，故应过O作AC的垂线段OE再证明OE等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC是小圆的切线证明 连结OD，作OEAC于EBC，AB=AC又AB与O小相切于D，ODABOEAC，OD=OE即小O的圆心O到AC的距离等于半径，所以AC是小圆的切线说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（连半径证垂直；作垂直证半径）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页例4的变形题例2、（大连市，l 999）阅读：“如图ABC内接于O，CAE=B求证：AE与O相切于点A证明：作直径AF，连结FC，则ACF90 AFC+CAF90 BAFC B+CAF90 又 CAE=B， CAE+CAF90 即AE与O相切于点A问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)如图，已知ABC 内接于OP是CB延长线上一点，连结AP且PA2PBPC求证：PA是O的切线证明：PA2PBPC， 又 P=P，PABPCAPAB=C由阅读题的结论可知，PA是O的切线说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线例3、（西宁，1999）已知：如图，RtABC中，C=90，以AB为直径的O交斜边AB于E，ODAB求证：（1）ED是O的切线；（2）2 DE2BEOD证明：（1）连结OE、CE，则CEAB在RtABC中，OA=OC，ODAB，D为BC的中点，DE=CD，又OC=OE，OD=OD，CODEOD，OED=OCD=90，ED是O的切线（2）在RtABC中，CEAB，CBEABC，CB2BEAB，OD为ABC的中位线，AB=2OD，BC=2ED，（2ED）2BE2OD即2DE2BEOD说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识习题精选1、下列说法正确的是（ D ）（A）若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线（B）经过半径的外端的直线是圆的切线（C）和半径垂直的直线是圆的切线（D）经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点2、若CD是O的切线，要判定ABCD，还需要添加的条件是（ C ）（A）AB经过圆心O（B）AB是直径（C）AB是直径，B是切点（D）AB是直线，B是切点3、下列直线，是圆的切线是（ D ）（A）经过半径外端的直线（B）垂直于半径的直线（C）与圆有一个公共点的直线（D）圆心到它的距离等于这个圆的半径长的直线4、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的弦AB与小圆相切，则AB= _8_cm5、半圆圆心在RtABC的斜边BC上，且半圆分别切AB、AC于D、E，AB=4cm，AC=5cm，则半圆的半径为 _20/9_cm解答题：6、如图AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB，垂足为E且PC2PEPO求证：PC是O的切线（提示：连结CO，证PCOPEC，即可）7、已知：如图，AB是O的直径，ACl，BDl，C、D是垂足，且AC+BD=AB求证：DC是O的切线（提示：作OECD，证OE=1/2AB即可）8、已知：AB是半O的直径，EF切半圆于C点，AEEF于E，BFEF于F 求证：EF2=4AEBF证明：连CA，CB，OCEF是切线，C为切点，OCEF是直径AEEF，BFEF，AEOCBFOA=OB ， CE=CFAB是直径 ，ACB=901+2=90， 1+3=90，2=3F=E=90，EACFCB = ，AEBF=CFEC，CF=CE= EF， EF2=AEBF，EF2=4AEBF第九节：三角形的内切圆典型例题例1、如图，ABC的内心为I，外心为O，且BIC=115，求BOC的度数 解：I为ABC的内心，IBC= ABC，ICB= ACBIBC+ICB=180-BIC=180-115=65ABC+ACB=130 A=180-（ABC+ACB）=50又O是ABC的外心，BOC=2A=100说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：BIC=90+ A；BOC=4BIC-360例2、已知，在RtABC中，C=90，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解解：由勾股定理得： 连结OA、OB、OC，设O的半径为r，则： ，又 ， 答：直角三角形内切圆的半径为1说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度例3、（陕西省，2001）如图，点I是ABC的内心，AI的延长线交边BC于D，交ABC的外接圆于点E （1）求证：IE=BE； （2）若IE=4，AE=8，求DE的长证明：（1）连结BI，BIE=BAI+ABI=（BAC+ABC），IBE=IBC+EBC=ABC+EAC=（ABC+BAC），BIE=IBEIE=BE解：（2）I是ABC的内心，BAE=CAE，又DBE=CAE，BAE=DBE，又E为公共角，ABEBDE， ， ， 说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B组第3题的变形与结合；（3）本题为中档题习题精选选择题：1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ）（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四边形2、如图，菱形ABCD中，周长为40，ABC=120，则内切圆的半径为（ ）（A） （B） （C） （D） 3、如图，O是ABC的内切圆，D、E、F是切点，A=50，C=60，则DOE=（ ）（A）70（B）110（C）120（D）1304、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ ）（A）1 （B）12 （C）1 2（D）1235、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）平行四边形解答题：6、画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切圆7、（山西省，1998）如图，已知点I为ABC的内心，射线AI交ABC的外接圆于点D， 交BC边于点E(1)求证：ID=BD；(2)设ABC外接圆半径R=3，ID=2，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求函数y与自变量x间的函数关系式，并指出自变量的取值范围提示：（1）与典型例题2一样；（2）由 ， ，BDAD 2R，自变量x的取值范围是2x 2答案：BDBDC第十节：切线长定理典型例题例1、如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于C图中互相垂直的线段有 OAAP、OBBP、ABPE （只要写出三对线段）说明：目的是对切线长定理的基本图形的研究例2、如图，RtABC中，C=90，BC=5，O内切RtABC的三边AB、BC、CA于D、E、F，半径r=2求ABC的周长解：设AF=x，O内切RtABC，AC=x+2，AB=x+3由勾股定理，得： ，解方程，得x=10则RtABC的周长c=AB+BC+CA=13+5+12=30说明：利用代数方法解决几何问题，培养学生的综合应用知识能力例3、（上海市，2001）如图，RtABC中，B=90，A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作D求证：（1）AC是D的切线； （2）AB+EB=AC证明：（1）过D作DFAC，F为垂足AD是