第五章 投影变换.ppt

第五章投影变换 本章内容 要求 本章从另一种角度讲授如何求几何元素的实长 实形及几何元素间的实距 实际夹角等 掌握换面法的条件 方法及应用 第五章投影变换 一 问题的提出 如何求一般位置直线的实长 如何求一般位置平面的真实大小 另一解决方法 更换投影面 使几何元素处于特殊位置 被保留的投影面 被替换的投影面 二 新投影面的选择原则 1 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置 平行于新的投影面 垂直于新的投影面 2 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系 点的一次投影变换 A点的两个投影 a a A点的两个投影 a a1 新投影体系的建立 三 点的投影变换规律 ax1 V H X V1 H X1 a a a1 V H A a ax X a1 ax1 新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1 ax1 a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离 ax a 一般规律 点的新投影和与它有关的原投影的连线 必垂直于新投影轴 更换H面 求新投影的作图方法 V H X 由点的不变投影向新投影轴作垂线 并在垂线上量取一段距离 使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离 a a ax ax1 ax1 更换V面 作图规律 更换两次投影面 先把V面换成平面V1 V1 H 得到中间新投影体系 V1 H X1 新投影体系的建立 按次序更换 A a V H a ax X a a X V H 求新投影的作图方法 作图规律a2a1 X2轴a2ax2 aax1 ax 1 把一般位置直线变换成投影面平行线 用V1面代替V面 在V1 H投影体系中 AB V1 空间分析 不行 作图 新投影轴的位置 与ab平行 四 换面法的六个基本问题 2将投影面的平行线变换为投影面的垂直线 功用 一次换面后可用于求点与直线 两平行直线间的距离等 问题的关键 新轴要垂直于反映实长的那个投影 X1 一般位置直线变换为垂直线 3 把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析 a b a b X V H 作图 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 X2轴的位置 与a1 b1 垂直 一次换面把直线变成投影面平行线 两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面 则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面 A D 4 把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线 那么该平面则变换成新投影面的垂直面 空间分析 一般位置直线变换成投影面垂直线 需经几次变换 能否只进行一次变换 功用 可求解平面与投影面的倾角 点与平面的距离 两平行面间的距离等 问题的关键 在平面上作一条投影面平行线 新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影 在平面内取一条投影面平行线 经一次换面后变换成新投影面的垂直线 则该平面变成新投影面的垂直面 作图方法 思考 若变换H面 需在面内取什么位置直线 正平线 a b c a c b X V H 例 把三角形ABC变换成投影面垂直面 作图过程 在平面内取一条水平线AD 将AD变换成新投影面的垂直线 反映平面对哪个投影面的夹角 5 将投影面的垂直面变成投影面的平行面 功用 一次换面后可求解平面实形 形心 两直线交角等 问题的关键 新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影 一次换面 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面 二次换面 再变换成新投影面的平行面 6 把一般位置平面变换成投影面平行面 a b a c b X V H c 作图 AB是水平线 空间分析 X2轴的位置 平面的实形 与其平行 c1 1 求直线实长和与投影面的倾角将直线变换成投影面的平行线 2 求平面实形和形心将平面变换成投影面的平行面 3 求平面与投影面的倾角将平面变换成投影面的垂直面 4 求距离 1 点与直线之间a将直线变换成投影面垂直线 b将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面 五 换面法的应用 2 点与平面之间将平面变换成投影面垂直面 3 两平行线之间将两直线变换成投影面垂直线 4 两平行平面之间将两平面变换成投影面垂直面 5 求夹角 1 两直线之间将两直线组成的平面变换成投影面平行面 2 两平面之间将两平面变换成投影面的垂直面 即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线 距离 d1 如下图 当直线AB垂直于投影面时 CD平行于投影面 其投影反映实长 作图 求C点到直线AB的距离 就是求垂线CD的实长 空间及投影分析 过c1作线平行于x2轴 b a a b c d 例2 已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN 且AB为水平线 求CD及MN的投影 空间及投影分析 V H X 圆半径 MN 作图 请注意各点的投影如何返回 求m点是难点 空间及投影分析 AB与CD都平行于投影面时 其投影的夹角才反映实角 60 因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面 例3 过C点作直线CD与AB相交成60 角 a b a c b X V H c 作图 几个解 两个解 已知点C是等边三角形的顶点 另两个顶点在直线AB上 求等边三角形的投影 思考 如何解 解法相同 D点的投影如何返回 V H X 例4 求平面ABC和ABD的两面角 空间及投影分析 由几何定理知 两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角 在投影图中 两平面的交线垂直于投影面时 则两平面垂直于该投影面 它们的投影积聚成直线 直线间的夹角为所求 小结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法 一 换面法就是改变投影面的位置 使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置 二 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系 同时又有利于解题需要 这样才能使正投影规律继续有效 三 点的变换规律是换面法的作图基础 四个基本问题是解题的基本作图方法 必需熟练掌握 换面法的四个基本问题 2 把一般位置直线变成投影面垂直线 1 把一般位置直线变成投影面平行线 3 把一般位置平面变成投影面垂直面 4 把一般位置平面变成投影面平行面 变换一次投影面 变换一次投影面 变换两次投影面 变换两次投影面 需先在面内作一条投影面平行线 四 解题时一般要注意下面几个问题 分析已给条件的空间情况 弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置 并把这些条件抽象成几何元素 点 线 面等 根据要求得到的结